1、8.6.2 直线与平面垂直(一) 考点考点 学习目标学习目标 核心素养核心素养 异面直线所成的角 会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线 所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角 直观想象、逻辑推理、 数学运算 【导学聚焦】 考点考点 学习目标学习目标 核心素养核心素养 直线与平面垂直的定义 理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中 “任意”两字的重要性 直观想象 直线与平面垂直的判定定理 掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关 线面垂直的问题 直观想象、逻辑推理 预习教材内容，思考以下问题： 1异面直线所成的角的定义是什么？ 2异面直线所成的角的范围是什么？ 3异面直线
2、垂直的定理是什么？ 4直线与平面垂直的定义是什么？ 5直线与平面垂直的判定定理是什么？ 【问题导学】 1异面直线所成的角异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直线 aa，bb，把直线 a与 b所成的_叫做异面直线 a与 b 所成的角(或夹角) (2)垂直：如果两条异面直线所成的角是_，就说这两条异面直线_ 直线 a 与直线 b 垂直， 记作_ (3)范围：设 为异面直线 a 与 b 所成的角，则 0 90 . 角 直角 互相垂直 ab 【新知初探】 名师点拨名师点拨 当两条直线 a，b 相互平行时，规定它们所成的角为 0 .所以空间两条直线所成角 的
3、取值范围是 0 90 .注意与异面直线所成的角的范围的区别 2直线与平面垂直直线与平面垂直 定义 一般地，如果直线 l 与平面 内的_直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直 记法 l 有关 概念 直线 l 叫做平面 的_，平面 叫做直线 l 的_它们唯一的公共点 P 叫做_ 图示 及画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 任意一条 垂线 垂面 垂足 名师点拨名师点拨 (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形 (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线” 3直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理 文字 语言
4、如果一条直线与一个平面内的_直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 la，lb，a，b，abPl 两条相交 名师点拨名师点拨 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交” ，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)异面直线 a，b 所成角的范围为0 ，90 ( ) (2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直( ) (3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直( ) 【基础自测】 直线 l 与平面 内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面 的位置关系是( ) A平行
5、 B垂直 C在平面 内 D无法确定 答案：D 已知直线 a直线 b，b平面 ，则( ) Aa Ba Ca Da 是 的斜线 答案：C 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，AC 与 BD 相交于点 O，则直线 OB1与 A1C1所成角的度数为_ 解析：连接 AB1，B1C，因为 ACA1C1， 所以B1OC(或其补角)是异面直线 OB1与 A1C1所成的角 又因为 AB1B1C，O 为 AC 的中点，所以 B1OAC， 故B1OC90 ，所以 OB1与 A1C1所成的角的大小为 90 . 答案：90 探究点一 异面直线所成的角 【例 1】如图，在正方体 ABCD- EFGH 中，O 为侧面
6、 ADHE 的中心 求：(1)BE 与 CG 所成的角； (2)FO 与 BD 所成的角 【探究互动】 【解】 (1)如图，因为 CGBF. 所以EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角， 又在BEF 中，EBF45 ，所以 BE 与 CG 所成的角为 45 . (2)连接 FH，因为 HDEA，EAFB，所以 HDFB， 又 HDFB，所以四边形 HFBD 为平行四边形，所以 HFBD，所以HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角 连接 HA，AF，易得 FHHAAF， 所以AFH 为等边三角形，又知 O 为 AH 的中点， 所以HFO30 ，即 FO 与 BD
7、所成的角为 30 . 互动探究 1变条件变条件在本例正方体中，若 P 是平面 EFGH 的中心，其他条件不变，求 OP 和 CD 所成的角 解：连接 EG，HF，则 P 为 HF 的中点， 连接 AF，AH，OPAF，又 CDAB， 所以BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于ABF 是等腰直角三角形，所以BAF45 ，故 OP 与 CD 所成的角为 45 . 2变条件变条件在本例正方体中，若 M，N 分别是 BF，CG 的中点，且 AG 和 BN 所成的角为 39.2 ，求 AM 和 BN 所成的角 解：连接 MG，因为 BCGF 是正方形，所以BFCG， 因为 M， N 分别是
8、 BF， CG 的中点，所以 BMNG，所以四边形 BNGM 是平行四边形，所以 BNMG，所以AGM(或其补角)是异面直线 AG 和 BN 所成的角，AMG(或其补角)是异面直线AM 和 BN 所成的角，因为 AMMG，所以AGMMAG39.2 ，所以AMG101.6 ，所以 AM 和 BN 所成的角为 78.4 . 【规律方法】 求异面直线所成的角的步骤求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线； 若异面直线依附于某几何体， 且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线 (2)求转化为求一个三角形的内角，
9、通过解三角形， 求出所找的角 (3)结论设由(2)所求得的角的大小为 .若 0 90 ， 则 为所求；若 90 180 ，则 180 为所求 提醒提醒 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角 的范围是 0 90 . 【跟踪训练】如图所示，在三棱锥 A- BCD 中，ABCD，ABCD，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求 EF 与 AB 所成的角 解：如图所示，取 BD 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别为 BC，AD 的中点，ABCD， 所以 EGCD，GFAB，且 EG12CD，GF12AB. 所以GFE(或其
10、补角)就是异面直线 EF 与 AB 所成的角，EGGF. 因为 ABCD，所以 EGGF，所以EGF90 . 所以EFG 为等腰直角三角形，所以GFE45 ， 即 EF 与 AB 所成的角为 45 . 探究点二 直线与平面垂直的定义 【例 2】(1)直线 l平面 ，直线 m，则 l 与 m 不可能( ) A平行 B相交 C异面 D垂直 (2)设 l，m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( ) A若 lm，m，则 l B若 l，lm，则 m C若 l，m，则 lm D若 l，m，则 lm 【解析】 (1)因为直线 l平面 ，所以 l 与 相交又因为m，所以 l 与 m 相交或异
11、面由直线与平面垂直的定义，可知 lm.故 l 与 m 不可能平行 (2)对于 A，直线 lm，m 并不代表平面 内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于 B，因为 l，则 l 垂直于 内任意一条直线，又 lm，由异面直线所成角的定义知，m 与平面 内任意一条直线所成的角都是 90 ，即 m，故 B 正确；对于 C，也有可能是 l，m 异面；对于 D，l，m 还可能相交或异面 【答案】 (1)A (2)B 【规律方法】 对线面垂直定义的理解对线面垂直定义的理解 (1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时， 该直
12、线就垂直于这个平面内的任何直线 由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直 (2)由定义可得线面垂直线线垂直，即若 a，b，则 ab. 【跟踪训练】下列命题中，正确的序号是_ 若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l； 若直线 l 不垂直于平面 ，则 内没有与 l 垂直的直线； 若直线 l 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直； 若平面内有一条直线与直线l不垂直， 则直线l与平面不垂直 解析： 当 l 与 内的一条直线垂直时， 不能保证 l 与平面 垂直，所以不正确；当 l 与 不垂直时，l 可能与 内的无数条平行直线垂直，所以不
13、正确，正确根据线面垂直的定义，若l，则 l 与 内的所有直线都垂直，所以正确 答案： 探究点三 直线与平面垂直的判定 【例 3】如图，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，AEPB于点 E，AFPC 于点 F. (1)求证：PC平面 AEF； (2)设平面 AEF 交 PD 于点 G，求证：AGPD. 【证明】 (1)因为 PA平面 ABCD，BC平面 ABCD， 所以 PABC，又 ABBC，PAABA， 所以 BC平面 PAB，AE平面 PAB， 所以 AEBC.又 AEPB，PBBCB， 所以 AE平面 PBC，PC平面 PBC，所以 AEPC. 又因为 PCAF，AEAFA，所以
14、 PC平面 AEF. (2)由(1)知 PC平面 AEF， 又 AG平面 AEF，所以 PCAG， 同理 CD平面 PAD，AG平面 PAD， 所以 CDAG，又 PCCDC， 所以 AG平面 PCD，PD平面 PCD， 所以 AGPD. 互动探究 1变条件变条件在本例中，底面 ABCD 是菱形，H 是线段 AC 上任意一点，其他条件不变，求证：BDFH. 证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BDAC， 又 PA平面 ABCD， BD平面 ABCD， 所以 BDPA， 因为 PAACA， 所以 BD平面 PAC，又 FH平面 PAC， 所以 BDFH. 2 变条件变条件若本例中 PAAD
15、， G 是 PD 的中点， 其他条件不变，求证：PC平面 AFG. 证明：因为 PA平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 DCPA， 又因为 ABCD 是矩形，所以 DCAD， 又 PAADA，所以 DC平面 PAD， 又 AG平面 PAD，所以 AGDC， 因为 PAAD，G 是 PD 的中点，所以 AGPD， 又 DCPDD，所以 AG平面 PCD，所以 PCAG， 又因为 PCAF，AGAFA，所以 PC平面 AFG. 3变条件变条件本例中的条件“AEPB 于点 E，AFPC 于点 F”，改为“E，F 分别是 AB，PC 的中点，PAAD”，其他条件不变，求证：EF平面 PCD. 证
16、明：取 PD 的中点 G，连接 AG，FG. 因为 G，F 分别是 PD，PC 的中点， 所以 GF12CD，又 AE12CD，所以 GFAE， 所以四边形 AEFG 是平行四边形，所以 AGEF. 因为 PAAD，G 是 PD 的中点， 所以 AGPD，所以 EFPD， 易知 CD平面 PAD，AG平面 PAD， 所以 CDAG，所以 EFCD. 因为 PDCDD，所以 EF平面 PCD. 【规律方法】 (1)线线垂直和线面垂直的相互转化 (2)证明线面垂直的方法 线面垂直的定义 线面垂直的判定定理 如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 如果一条直线垂直于
17、两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面 提醒提醒 要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面 【跟踪训练】如图，AB 为O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，ANPM，N 为垂足 (1)求证：AN平面 PBM； (2)若 AQPB，垂足为 Q，求证：NQPB. 证明：(1)因为 AB 为O 的直径，所以 AMBM. 又 PA平面 ABM，所以 PABM. 又因为 PAAMA，所以 BM平面 PAM. 又 AN平面 PAM，所以 BMAN. 又 ANPM，且 BMPMM，所以 AN平面 PBM. (2)
18、由(1)知 AN平面 PBM，PB平面 PBM，所以 ANPB. 又因为 AQPB，ANAQA，所以 PB平面 ANQ. 又 NQ平面 ANQ，所以 NQPB. 1若直线 a平面 ，b，则 a 与 b 的关系是( ) Aab，且 a 与 b 相交 Bab，且 a 与 b 不相交 Cab Da 与 b 不一定垂直 解析：选 C.过直线 b 作一个平面 ，使得 c，则 bc.因为直线 a平面 ，c，所以 ac.因为 bc，所以 ab.当 b 与a 相交时为相交垂直，当 b 与 a 不相交时为异面垂直 【达标反馈】 2在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，与 AD1垂直的平面是( ) A平面 D
19、D1C1C B 平面 A1DB1 C平面 A1B1C1D1 D平面 A1DB 解析：选 B.因为 AD1A1D，AD1A1B1，且 A1DA1B1A1，所以 AD1平面 A1DB1. 3空间四边形的四边相等，那么它的对角线( ) A相交且垂直 B不相交也不垂直 C相交不垂直 D不相交但垂直 解析：选 D.如图，空间四边形 ABCD，假设 AC 与 BD 相交，则它们共面 ，从而四点 A， B， C， D 都在 内， 这与 ABCD为空间四边形矛盾，所以 AC 与 BD 不相交；取 BD 的中点 O，连接 OA 与 OC，因为 ABADDCBC，所以 AOBD，OCBD，从而可知 BD平面 AOC，故 ACBD. 4已知 a，b 是一对异面直线，而且 a 平行于ABC 的边 AB 所在的直线，b 平行于边 AC 所在的直线，若BAC120 ，则直线 a，b 所成的角为_ 解析：由 aAB，bAC，BAC120 ，知异面直线 a，b 所成的角为BAC 的补角，所以直线 a，b 所成的角为 60 . 答案： 60