1、8.5.2 直线与平面平行 【课标要求】 知识点一 直线与平面平行的判定定理 1 文字语言： ，那么该直线与此平面平行 2符号语言：a ，b ，且 a. 3图形语言：如图所示 4作用：证明 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 ab 直线与平面平行 【知识导学】 知识点二 直线与平面平行的性质定理 1定理：一条直线与一个平面平行，如果 ， 那么 2符号表示：若 ，则 . 3作用： 过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 a，a，b ab 证明或判断线线平行 1利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线 2直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一
2、不可 直线 a 和平面 平行，即 a. 平面 和平面 相交于直线 b，即 b. 直线 a 在平面 内，即 a. 【新知拓展】 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)如果一条直线和平面内一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行( ) (2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线， 则这条直线和这个平面平行( ) (3)若直线a平面， 则直线a与平面内的任意一条直线平行 ( ) (4)若直线a平面， 则平面内有唯一一条直线与直线a平行 ( ) 【基础自测】 2做一做 (1)下列选项中，一定能得出直线 m 与平面 平行的是( ) A直线 m 在平面 外 B直线 m 与平面 内的两条直线平行
3、 C平面 外的直线 m 与平面内的一条直线平行 D直线 m 与平面 内的一条直线平行 (2)梯形 ABCD 中，ABCD，AB平面 ，CD平面 ，则直线CD 与平面 内的直线的位置关系只能是( ) A平行 B平行或异面 C平行或相交 D异面或相交 (3)已知 l， m 是两条直线， 是平面， 若要得到“l”， 则需要在条件“m，lm”中另外添加的一个条件是_ (4)如图，空间四边形 ABCD 中，若 M，N，P 分别是 AB，BC，CD 的中点，则与 MN 平行的平面是_，与 NP 平行的平面是_ 答案 (1)C (2)B (3)l (4)平面 ACD 平面 ABD 题型一 直线与平面平行的理
4、解 例 1 能保证直线 a 与平面 平行的条件是( ) Ab，ab Bb，c，ab，ac Cb，A，Ba，C，Db，且 ACBD Da，b，ab 【题型探究】 解析 A 错误，若 b，ab，则 a 或 a；B 错误，若 b，c，ab，ac，则 a 或 a；C 错误，若满足此条件，则 a 或 a 或 a与 相交；D 正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件故选 D. 答案 D 【规律方法】 平行问题的实质 (1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线和平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决 (2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是
5、解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法 【跟踪训练 1】 给出下列几个说法： 若直线 a 在平面 外，则 a；若直线 ab，直线 b，则 a；若直线 ab，b，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线其中正确说法的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 对于，直线 a 在平面 外包括两种情况：a 或 a 与 相交，a 和 不一定平行，说法错误 对于，直线 ab，b，则只能说明 a 和 b 无公共点，但 a 可能在平面 内，a 不一定平行于 ，说法错误 对于，ab，b，a 或 a，a 与平面 内的无数条直线平行，说法正确故选 B. 题型二 直线与平面平行的判定 例
6、2 如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 为 PB 的中点求证：PD平面 MAC. 证明 如图所示，连接 BD 交 AC 于点 O，连接 MO， 则 MO 为BDP 的中位线，PDMO. PD平面 MAC，MO平面 MAC， PD平面 MAC. 【规律方法】 证明线面平行的方法、步骤 (1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面 内找一条直线 b 和已知直线 a 平行即要证直线 a 与平面 平行，先证直线 a 与直线 b 平行即由立体向平面转化 (2)证明线面平行的一般步骤：在平面内找一条直线；证明线线平行；由判定定理得出结论 (3)在与中点有关的平行
7、问题中，常考虑中位线定理 【跟踪训练 2】 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是面对角线 A1B， B1C 的中点 求证：EF平面 ABCD. 证明 如图，分别取 AB，BC 的中点 G，H， 连接 EG，FH，GH. 则由三角形中位线性质知： EGFH，且 EGFH， 四边形 EGHF 是平行四边形，EFGH. EF平面 ABCD，而 GH平面 ABCD， EF平面 ABCD. 题型三 直线与平面平行性质定理的应用 例 3 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， E， H 分别为棱 A1B1， D1C1上的点，且 EHA1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1
8、相交，交点分别为 F，G，求证：FG平面 ADD1A1. 证明 因为 EHA1D1，A1D1B1C1， EH平面 BCC1B1，B1C1平面 BCC1B1， 所以 EH平面 BCC1B1. 又平面 FGHE平面 BCC1B1FG， 所以 EHFG，即 FGA1D1. 又 FG平面 ADD1A1，A1D1平面 ADD1A1， 所以 FG平面 ADD1A1. 【规律方法】 利用线面平行的性质定理解题的步骤 【跟踪训练 3】 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过G 和 AP 作平面交平面 BDM
9、 于 GH，求证：APGH. 证明 如图，连接 MO. 四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 AC 的中点 又 M 是 PC 的中点，APOM. 又 AP平面 BDM，OM平面 BDM，AP平面 BDM. 又 AP平面 APGH，平面 APGH平面 BDMGH，APGH. 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 CD 上的动点，则直线 MC1与平面 AA1B1B 的位置关系是( ) A相交 B平行 C异面 D相交或平行 解析 由线面平行的判定定理可知，B 正确 答案 B 【随堂达标】 2如图，下列正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 M，N，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出 AB
10、平面 MNP 的是( ) 解析 在图 A，B 中，易知 ABA1B1MN，所以 AB平面 MNP； 在图 D 中，易知 ABPN，所以 AB平面 MNP； 在图 C 中，AB 与平面 MNP 相交，故选 C. 答案 C 3过平面 外的直线 l，作一组平面与 相交，如果所得的交线分别为 a，b，c，则这些交线的位置关系为( ) A都平行 B都相交且一定交于同一点 C都相交但不一定交于同一点 D平行或都相交于同一点 答案 D 解析 因为 l，所以 l 或 lA.若 l，则由线面平行的性质定理可知，la，lb，lc，所以由基本事实 4 可知，abc.若 lA，则 Aa，Ab，Ac，abcA，故选 D
11、. 4如图，a，A 是 的另一侧的点，B，C，Da，线段 AB，AC，AD 分别交 于 E， F，G， 若 BD4， CF4， AF5， 则 EG_. 答案 209 解析 a，平面 ABDEG，EGa. AFACEGBD，545EG4，即 EG209. 5在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ABD 和BCD 的重心，求证：MN平面 ADC. 证明 如图，连接 BM，BN 并延长，分别交 AD，DC 于 P，Q 两点，连接 PQ. M，N 分别是ABD 和BCD 的重心， BMMPBNNQ21，MNPQ. 又 MN平面 ADC，PQ平面 ADC，MN平面 ADC. 6如图所示，已知两条异面直线 AB 与 CD，平面 MNPQ 与 AB，CD 都平行，且 M，N，P，Q 依次在线段 AC，BC，BD，AD 上，求证：四边形 MNPQ 是平行四边形 证明 AB平面 MNPQ，过 AB 的平面 ABC 交平面 MNPQ 于 MN， ABMN，又过 AB 的平面 ABD 交平面 MNPQ 于 PQ， ABPQ，MNPQ，同理可证 NPMQ. 四边形 MNPQ 为平行四边形.