1、8.4.1 平面 知识点一 平面 概念 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是_的 画法 常常把水平的平面画成一个_，并且其锐角画成_，且横边长等于邻边长的_， 为了增强立体感， 被遮挡部分用_画出来 表示 方法 (1)一个希腊字母：如 ， 等； (2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； (3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点 无限延展 平行四边形 45 2 倍 虚线 【新知初探】 1.直线在平面内的概念 如果直线 l 上的_都在平面 内，就说直线 l 在平面 内，或者说平面 _直线 l. 所有点 经过 2一些文字语言、数学符号与图形的对
2、应关系 数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达 _ 点 A 在直线 l 上 _ 点 A 在直线 l 外 _ 点 A 在平面 内 _ 点 A 在平面 外 _ 直线 l 在平面 内 _ 直线 l 在平面 外 _ 直线 l，m 相交于点 A _ 平面 ， 相交于直线 l Al Al A A l l lmA l 状元随笔 1.平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量； 2平面无厚薄、无大小，是无限延展的 知识点二 平面的基本性质 内容 图形 符号 基本事 实 1 如果一条直线上的_ _在一个平面内， 那么这条直线在_ Al，Bl 且 A，B_ 基本事 实 2 过 _的三点， _
3、一个平面 A，B，C 三点不共线存在唯一的平面 使 A，B，C 基本事 实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的_ P且P _ 点 此平面内 l 不在同一条直线上 有且只有 公共直线 l 且 Pl 两 状元随笔 1.基本事实 1 的作用：用直线检验平面(常被应用于实践， 如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)； 判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的说理中) 2基本事实 2 的作用：确定平面；证明点、线共面基本事实 2 中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面
4、；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性 3基本事实 3 的主要作用：判定两个平面是否相交；证明共线问题；证明线共点问题. 基本事实 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面 知识点三 重要推论 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 提示： 在日常生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支
5、撑照相机由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实： 基本事实基本事实 1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 教材思考 1教材思考 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 2教材思考 如果直线 l 与平面 有一个公共点 P，直线 l 是否在平面 内？如果直线 l 与平面 有两个公共点呢？ 提示： 在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实： 基本事实基本事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 3教材思考 如图，把三角尺的一个角立在
6、课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点 B？为什么？ 提示： 想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面可以想象，两个平面相交于一条直线教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线由此我们又得到一个基本事实： 基本事实基本事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 1经过空间任意三点作的平面( ) A只有一个 B只有两个 C有无数个 D只有一个或有无数个 解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能作一个平面 答案：D 【基础自测】 2如果 a，b，laA，lbB，那么下列关系成立的
7、是( ) Al Bl ClA DlB 解析：laA 又 a，Al 且 A. 同理 Bl 且 B.l. 答案：A 3如果空间四点 A、B、C、D 不共面，那么下列判断正确的是( ) AA、B、C、D 四点中必有三点共线 BA、B、C、D 四点中不存在三点共线 C直线 AB 与 CD 相交 D直线 AB 与 CD 平行 解析：A、B、C、D 四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线 AB 与 CD 既不平行也不相交，否则 A、B、C、D 共面 答案：B 4已知 m，a，b，abA，则直线 m 与 A的位置关系用集合符号表示为_ 解析：因为 m，Aa，所以 A，同理 A， 故 A 在 与 的交线
8、m 上 答案：Am 题型一 平面经典例题 例 1 下面四种说法： 平面的形状是平行四边形； 任何一个平面图形都可以表示平面； 平面 ABCD 的面积为 10 cm2；空间图形中，后引的辅助线都是虚线其中正确的说法的序号为_ 【课堂探究】 【解析】 本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，如矩形、
9、圆、正多边形等表示平面，但不能说它是平面综上，错误，正确故填. 【答案】 状元随笔 平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念. 方法归纳 平面画法的四个关注点 通常画的平行四边形表示的是整个平面需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示 加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面 画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 ，横边画成邻边的两倍 画表示竖直平面的平行四边形时，通常
10、把它的一组对边画成铅垂线. 跟踪训练 1 如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是( ) 解析：对于，图中没有画出平面 与平面 的交线，另外图中的实线、 虚线也没有按照画法原则去画， 因此的画法不正确 同样的道理，可知的画法不正确，中画法正确 答案： 题型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化经典例题 例 2 (1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： A，B； A，mA，Al，l； Pl，P，Ql，Q； (2)用符号语言表示下列语句，并画出图形： 三个平面 ， 相交于一点 P，且平面 与平面 相交于 PA，平面 与平面 相交于 PB，平面 与平面 相交于
11、PC； 平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD， 平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC. 【解】 (1)点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内； 直线 l 在平面 内，直线 m 与平面 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上； 直线 l 经过平面 外一点 P 和平面 内一点 Q. 图形分别如图所示 (2)符号语言表示：P，PA，PB，PC.图形表示如图所示 符号语言表示： 平面 ABD平面 BDCBD， 平面 ABC平面 ADCAC.图形表示如图所示. 方法归纳 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语
12、言表示，再用符号语言表示 (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示；直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示 (3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时， 要注意实线和虚线的区别 跟踪训练 2 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母： A_平面 ABC， A_平面 BCD， BD_平面 ABC，平面 ABC平面 ACD_. 答案： AC 题型三 平面性质的应用经典例题 例 3 如图， ABC 在平面 外， ABP， ACQ，BCR.求证：P，Q，R 三点共线 【证明】 方法一方法一 ABP，PAB，P. 又 AB平面 ABC，P平面 ABC. 由公理 3 可
13、知点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上， 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 的交线上， P，Q，R 三点共线 方法二方法二 APAQA，直线 AP 与直线 AQ 确定平面 APQ. 又 ABP，ACQ，平面 APQPQ. B平面 APQ，C平面 APQ，BC平面 APQ. RBC，R平面 APQ，又 R，RPQ， P，Q，R 三点共线. 方法归纳 (1)证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点 (2)证明点、 线共面问题的理论依据是公理 1 和公理 2， 常用方法有： 先由部分点、
14、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”； 先由其中一部分点、线确定一个平面 ，其余点、线确定另一个平面 ，再证平面 与 重合，即用“辅助平面法”； 假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法” 跟踪训练 3 如图，三个平面 、 两两相交，c，a，b，若直线 a 和 b 不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点 证明：b，a，a，b， a 与 b 不平行，a 与 b 必相交， 设 abP，则 Pa，Pb， a，b，P，P. 又 c，Pc，即交线 c 经过点 P. a、b、c 三条直线相交于同一点 状元随笔 证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点. 常结合公理 3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点