1、8.5.1 直线与直线平行 【课标要求】 知识点一 基本事实 4(平行定理) (1)文字语言： (2)符号语言：ab，bc . 知识点二 等角定理 (1)文字语言： (2)符号语言：对于ABC 和ABC，ABAB，BCBCABC ABC或ABCABC180 . 平行于同一条直线的两条直线平行 ac 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 【知识导学】 1求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实 4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点 2等角定理是立体几何的基本定理之一对
2、于空间两个不相同的角，如果它们的两组对应边分别平行， 则这两个角相等或互补 当角的两组对应边同时同向或同时反向时， 两角相等； 当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补 【新知拓展】 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于空间的三条直线 a，b，c，如果 ab，a 与 c 不平行，那么 b 与 c 不平行( ) (2)如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等( ) (3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行( ) (4)对于空间直线 a，b，c，d，如果 ab，bc，cd，那么 ad.( ) 【基础自测】 2做一做 (1)已知 ABPQ，BCQR，若ABC30
3、，则PQR 等于( ) A30 B30 或 150 C150 D以上结论都不对 (2)如图， 在三棱锥 PABC 中， G， H 分别为 PB， PC 的中点， M， N 分别为PAB，PAC 的重心，且ABC 为等腰直角三角形，ABC90 .求证：GHMN. 答案 (1)B (2)证明：如图，取 PA 的中点 Q，连接 BQ，CQ， 则 M，N 分别在 BQ，CQ 上 因为 M，N 分别为PAB，PAC 的重心， 所以QMMBQNCN12，则 MNBC. 又 G，H 分别为 PB，PC 的中点， 所以 GHBC，所以 GHMN. 题型 基本事实 4 及等角定理的应用 例 如图，在正方体 AB
4、CDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱 AD 和 A1D1的中点 求证：(1)四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)BMCB1M1C1. 【题型探究】 证明 (1)在正方形 ADD1A1中，M，M1分别为 AD，A1D1的中点， A1M1綊 AM，四边形 AMM1A1是平行四边形， A1A 綊 M1M，又 A1A 綊 B1B，M1M 綊 B1B， 四边形 BB1M1M 为平行四边形 (2)由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， B1M1BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， C1M1CM. 由平面几何知识可知， BMC 和B1M1C1都是锐角 BMCB1M1C1.
5、 【规律方法】 证明两条直线平行及角相等的方法 (1)空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；利用基本事实 4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行 (2)由基本事实 4 可以想到，平面几何中的有些结论推广到空间仍然是成立的，但有些平面几何的结论推广到空间是错误的因此，要把平面几何中的结论推广到空间，必须先经过证明 (3)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 【跟踪训练】 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q，M，N 分别为 AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1PCN，A1QCM，且PA1QMCN. 证明
6、 如图，取 A1B1的中点 K，连接 BK，KM. 易知四边形 MKBC 为平行四边形，CMBK. 又 A1KBQ 且 A1KBQ， 四边形 A1KBQ 为平行四边形 A1QBK，由基本事实 4 有 A1QCM，同理可证 A1PCN， 由于PA1Q 与MCN 对应边分别平行，且方向相反， PA1QMCN. 1已知角 的两边和角 的两边分别平行，且 80 ，则 ( ) A80 B100 C80 或 100 D不能确定 解析 由等角定理可知， 或 180 ，100 或 80 . 答案 C 【随堂达标】 2已知空间四边形 ABCD，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F，G 分别是 CB，CD 上的
7、点，且CFCBCGCD23.则四边形 EFGH 的形状是( ) A空间四边形 B平行四边形 C矩形 D梯形 解析 在ABD 中可得 EHBD, EH12BD， 在CBD 中可得 FGBD，FG23BD， 所以 EH，FG 平行且不相等，所以四边形 EFGH 是梯形 答案 D 3若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是( ) Al1l4 Bl1l4 Cl1与 l4既不垂直也不平行 Dl1与 l4的位置关系不确定 答案 D 解析 在如图所示的正六面体中，不妨设 l2为直线 AA1，l3为直线 CC1，则直线 l1，l4可以是 A
8、B，BC；也可以是 AB，CD；也可以是 AB，B1C1，这三组直线垂直、平行、异面，故选 D. 4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E2ED，CF2FA，则 EF 与 BD1的位置关系是( ) A相交但不垂直 B相交且垂直 C异面 D平行 答案 D 解析 连接 D1E 并延长，与 AD 交于点 M，则MDED1A1E， 因为 A1E2ED，所以 M 为 AD 的中点 连接 BF 并延长，交 AD 于点 N， 同理可得，N 为 AD 的中点 所以 M，N 重合，又MEED112，MFBF12， 所以MEED1MFBF，所以 EFBD1. 5如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，与棱 AA1平行的棱共有几条？分别是什么？ 解 与 AA1平行的棱共有两条，分别是 BB1，CC1.