1、8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(一) 【课标要求】 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 1旋转体的表面积 【知识导学】 2圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧 rrS圆台侧 r0 S圆锥侧 . 2rl (rr)l rl 知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体的体积 几何体 体积 圆柱 V圆柱 (r 为底面半径) 圆锥 V圆锥 (r 为底面半径) 圆台 V圆台 (r，r 分别为上、下底面半径) r2h 13r2h 13h(r2rrr2) 1对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同 (2)等底、 等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以
2、通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍 (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 VShV13(S SSS)hV13Sh. 【新知拓展】 2圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键 3计算圆柱、圆锥、圆台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积( ) (3)圆台的高就是相应母线的长(
3、 ) 【基础自测】 2做一做 (1)已知圆柱的底面半径 r1，母线长 l 与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( ) A6 B8 C9 D10 (2)若圆锥的底面半径为 1，高为 3，则圆锥的侧面积为_ (3)已知某圆台的上、下底面面积分别是 ，4，侧面积是 6，则这个圆台的体积是_ 答案 (1)A (2)2 (3)7 33 题型一 旋转体的表面积 例 1 如图所示，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，D 为 BC 的中点，H，G 分别是 BD，CD 的中点，若将正三角形 ABC绕 AD 旋转 180 ，求阴影部分形成的几何体的表面积 【题型探究】 解 该
4、旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体 令 BDR，HDr，ABl，EHh， 则 R2，r1，l4，h 3. 所以圆锥的表面积 S1R2Rl222412， 圆柱的侧面积 S22rh21 32 3. 所以所求几何体的表面积 SS1S2122 3(122 3). 【规律方法】 求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成多个基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积， 另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积 【跟踪训练 1】 圆台的上、下底面半径和高的比为 144，若母线长为 10，则圆台的表面积为( ) A81 B100 C168 D169
5、 解析 圆台的轴截面如图所示， 答案 C 设上底面半径为 r，下底面半径为 R， 则它的母线长为 l h2Rr2 4r23r25r10， 所以 r2，R8. 故 S侧(Rr)l(82)10100， S表S侧r2R2100464168. 题型二 旋转体的体积 例 2 如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是( ) A.4 33 B.36 C.2 D.33 解析 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半， 故所求的体积为121312 336. 答案 B 【规律方法】 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的
6、体积，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解 (2)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 【跟踪训练 2】 将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形， 其圆心角之比为 34，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比 解 设圆的半径为 r，则两个圆锥的母线长为 r. 由已知可得两个圆锥的底面半径分别为2r37237r，2r47247r， 所以两圆锥的体积之比为337r2 r237r2347r2 r247r23 33088. 题型三 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90 ，ADa，BC2a，D
7、CB60 ，在平面 ABCD 内过点 C 作 lCB，以 l 为轴旋转一周求旋转体的表面积和体积 解 如题图，在梯形 ABCD 中，ABC90 ， ADBC，ADa，BC2a，DCB60 ， CDBCADcos602a，ABCDsin60 3a. DDAA2AD2BC2AD2a. DO12DDa. 由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥 由上述计算知，圆柱的母线长为 3a，底面半径为 2a， 圆锥的母线长为 2a，底面半径为 a. 圆柱的侧面积 S122a 3a4 3a2， 圆锥的侧面积 S2a 2a2a2， 圆柱的底面积 S3(2a)2
8、4a2， 圆锥的底面积 S4a2. 组合体上底面面积 S5S3S43a2. 旋转体的表面积 SS1S2S3S5(4 39)a2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积 V柱Sh (2a)2 3a4 3a3. V锥13Sh13 a2 3a33a3. VV柱V锥4 3a333a311 33a3. 【规律方法】 求组合体的表面积与体积的方法 (1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法补法是指把不规则(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体 (2)解答本题时易出现忘
9、加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢 【跟踪训练 3】 若直角梯形的一个底角为 45 ， 下底长为上底长的32， 这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5 2)，求这个旋转体的体积 解 如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，A90 ，B45 ， 绕 AB 边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体 过点 C 作 CEAB 于点 E， 设 CDx，AB32x，则 ADCEBEABCDx2，BC22x. S表S圆柱底S圆柱侧S圆锥侧AD22AD CDCE BC x242x2 xx222x5 24x2. 根据题设，5
10、 24x2(5 2)，则 x2. 所以旋转体的体积 VAD2 CD3 CE2 BE 12 23 12 173. 1若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A12 B1 3 C1 5 D. 32 解析 设圆锥底面半径为 r，则高 h2r，其母线长 l 5r. S侧rl 5r2，S底r2，S底S侧1 5.故选 C. 答案 C 【随堂达标】 2已知圆锥 SO 的高为 4，体积为 4，则底面半径 r_. 解析 圆锥 SO 的高为 4，体积为 4， 443r2，r 3. 答案 3 3把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图
11、所示，则该小玩具的体积为_ 解析 由主视图数据可知半圆柱的半径为 2，母线长为 8， 四棱锥的底面是边长为 4 和 8 的矩形，高为 4， 所以体积 V1222813484161283. 答案 161283 4一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积 所以 S表22324053， h l2Rr2 6413 7， 所以 V13(4 499)3 719 7. 解 设圆台的上底半径为 r，下底半径为 R. 由题图知母线 l8,2r416,2R424， 所以 r2，R3，S侧(23)840， 5已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积 解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为 l，底面半径为 r， 则 r 3，AD 6，l 62 32 93. 故几何体的表面积为 Srlr22r AD 33( 3)22 3 6 3 336 2(3 336 2)(cm2) 几何体的体积为 VV圆柱V圆锥r2 AD13r2 AD 3 6133 62 6(cm3)