1、7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 【课标要求】 知识点一 复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则 (abi) (cdi) . (2)复数加法的运算律 复数的加法满足 、 ，即对任何 z1，z2，z3C，有 z1z2 ；(z1z2)z3 (a c)(b d)i 交换律 结合律 z2z1 z1(z2z3) 【知识导学】 知识点二 复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 设OZ1， OZ2分别与复数 abi， cdi 对应， 则OZ1(a， b)， OZ2(c， d) 由平面向量的坐标运算法则，得OZ1OZ2(ac，bd)这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)(b
2、d)i 对应的向量 因此复数的加法可以按照向量加法来进行 (2)复数减法的几何意义 复数 z1z2是连接向量OZ1， OZ2的 ， 并指向被减向量的向量Z2Z1所对应的复数设 z1x1y1i，z2x2y2i，则 d|Z1Z2|Z2Z1|z1z2|(x1y1i)(x2y2i)|(x1x2)(y1y2)i| x1x22y1y22. (3)复平面内的两点间距离公式：d . 其中 z1，z2是复平面内的两点 Z1和 Z2所对应的复数，d 为 Z1和 Z2间的距离 终点 |z1z2| 如图：设复数 z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形 OZ1ZZ2为平行四边形，则与 z1z2对应的向量是 ，与
3、 z1z2对应的向量是 . OZ Z2Z1 复数模的两个重要性质 (1)|z1|z2|z1 z2|z1|z2|； (2)|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2. 【新知拓展】 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)复数与向量一一对应( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数( ) (3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小( ) (4)两个共轭虚数的差为纯虚数( ) 【基础自测】 2做一做 (1)计算：(35i)(34i)_. (2)(56i)(22i)(33i)_. (3)已知向量OZ1对应的复数为 23i，向量OZ2对应的复数为 34i， 则向量Z1Z
4、2对应的复数为_ 答案 (1)6i (2)11i (3)1i 题型一 复数的加、减运算 例 1 计算：(1)(35i)(4i)(34i)； (2)(7i5)(98i)(32i) 解 (1)原式(343)(514)i410i. (2)原式(593)(782)i1i. 【题型探究】 【规律方法】 复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部这种运算类似于初中的合并同类项 【跟踪训练 2】 计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)； (2)(i2i)|i|(1i) 解 (1)原式(13i)(2i)(12i)(32i)
5、(12i)2. (2)原式(1i) 012(1i)1i1(1i)12i. 题型二 复数加、减运算的几何意义 例 2 已知四边形 ABCD 是复平面内的平行四边形，且 A，B，C三点对应的复数分别是 13i，i,2i，求点 D 对应的复数 解 解法一：解法一：设点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)， 则 D(x，y)又由已知得 A(1,3)，B(0，1)，C(2,1)， AC 中点为32，2 ，BD 中点为x2，y12. 平行四边形对角线互相平分， 32x2，2y12， x3，y5. 即点 D 对应的复数为 35i. 解法二：解法二：设点 D 对应的复数为 xyi(x，yR) 则AD对应的复
6、数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i， 又BC对应的复数为(2i)(i)22i. 由已知得ADBC，(x1)(y3)i22i， x12，y32， x3，y5， 即点 D 对应的复数为 35i. 条件探究 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为 13i， i,2i，求第四个顶点对应的复数 解 设 13i，i,2i 对应 A，B，C 三点，D 为第四个顶点，则当四边形 ABCD 是平行四边形时， 点 D 对应的复数是 35i.当四边形ABDC是平行四边形时， 点D对应的复数为13i.当四边形ADBC是平行四边形时，点 D 对应的复数为1i. 【规律方法】 (1)根据复数的两种几何意义可知
7、：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算 (2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则 (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能 【跟踪训练 2】 已知复平面内平行四边形 ABCD，A 点对应的复数为 2i，向量 BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i，求： (1)点 C，D 对应的复数； (2)平行四边形 ABCD 的面积 解 (1)因为向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i， 所以向量AC对应的复数为(3i)(12i)23i. 又OCOAAC，所以点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i.
8、因为ADBC，所以向量AD对应的复数为 3i，即AD(3，1)， 设 D(x，y)，则AD(x2，y1)(3，1)， 所以 x23，y11，解得 x5，y0. 所以点 D 对应的复数为 5. (2)因为BA BC|BA|BC|cosB， 所以 cosBBA BC|BA|BC|325 1015 2210. 所以 sinB75 27 210， 所以 S|BA|BC|sinB 5 107 2107. 所以平行四边形 ABCD 的面积为 7. 题型三 复数加、减运算的几何意义的应用 例 3 已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|. 解 解法一：解法一：设 z1abi，z2cdi(a，b，c，d
9、R)， |z1|z2|z1z2|1， a2b2c2d21， (ac)2(bd)21. 由得 2ac2bd1. |z1z2| ac2bd2 a2c2b2d22ac2bd 3. 解法二：解法二：设 O 为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为 A，B，C. |z1|z2|z1z2|1，OAB 是边长为 1 的正三角形， 四边形 OACB 是一个内角为 60 ，边长为 1 的菱形， 且|z1z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长， |z1z2|OC| |OA|2|AC|22|OA|AC|cos120 3. 【规律方法】 掌握以下常用结论： 在复平面内，z1，z2对应的点为 A，B，z1z2对应
10、的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB： 为平行四边形； 若|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为矩形； 若|z1|z2|，则四边形 OACB 为菱形； 若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为正方形 【跟踪训练 3】 若复数 z 满足|zi|zi|2，求|zi1|的最小值 解 解法一：解法一：设复数i，i，(1i)在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，Z3.如图， 因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2， 所以复数 z 对应的点 Z 的集合为线段 Z1Z2. 问题转化为：动点 Z 在线段 Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值， 由图可知|Z1Z3|为最小
11、值且最小值为 1. 解法二：解法二：设 zxyi(x，yR) 因为|zi|zi|2， 所以 x2y12 x2y122， 又 x2y122 x2y120， 所以 0 x2y122， 因为 x2y122 x2y12， 所以两边平方可得 1y x2y12， 即(1y)2x2(y1)2，且 01y2. 所以 x0 且1y1，则 zyi(1y1) 所以|zi1|1(y1)i| 12y121， 等号在 y1 即 zi 时成立 所以|zi1|的最小值为 1. 1复数 z13i，z21i，则 z1z2在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 z1z2(3i)(1i)2
12、2i， z1z2在复平面内对应的点位于第一象限 答案 A 【随堂达标】 2已知|z|3，且 z3i 是纯虚数，则 z等于( ) A3i B3i C 3i D4i 解析 设 zxyi(x，yR)，由 z3ix(y3)i 为纯虚数， 得 x0，且 y3，又|z| x2y2|y|3， y3，z3i， z3i.故选 A. 答案 A 3非零复数 z1，z2分别对应复平面内的向量 OA，OB， 若|z1z2|z1z2|，则( ) AOAOB B|OA|OB| COAOB DOA，OB共线 答案 C 解析 如图， 由向量的加法及减法法则可知， OCOAOB， BAOAOB.由复数加法及减法的几何意义可知，|
13、z1z2|对应 OC的模，|z1z2|对应BA的模又|z1z2|z1z2|，所以四边形 OACB 是矩形，则 OAOB. 4复数 z 满足 z(1i)2i，则 z 等于( ) A1i B1i C1i D1i 解析 z2i(1i)1i.故选 A. 答案 A 5如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别对应复数 0,32i，24i.求： (1)向量AO对应的复数 (2)向量CA对应的复数 (3)向量OB对应的复数 解 (1)因为AOOA，所以向量AO对应的复数为32i. (2)因为CAOAOC，所以向量CA对应的复数为(32i)(24i)52i. (3)因为OBOAOC，所以向量OB对应的复数为(32i)(24i)16i.