1、7.2.2 复数的乘、除运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握复数的乘法和除法运算(重点、难点) 2 理解复数乘法的交换律、 结合律和乘法对加法的分配律(易混点) 3了解共轭复数的概念(难点) 1.通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养 2 借助复数的乘除运算， 提升数学运算的素养. 1复数的乘法法则 (1)复数代数形式的乘法法则 已知 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则 z1 z2 (abi)(cdi)_. (acbd)(adbc)i 【自主预习】 思考 1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 提示 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2
2、换成1，再把实部、虚部分别合并 (2)复数乘法的运算律 对于任意 z1，z2，z3C，有 交换律 z1 z2z2 z1 结合律 (z1 z2) z3_ 乘法对加法的分配律 z1(z2z3)_ z1 z2z1 z3 z1 (z2 z3) 思考 2：|z|2z2，正确吗？ 提示 不正确例如，|i|21，而 i21. 2复数代数形式的除法法则 (abi) (cdi)acbdc2d2bcadc2d2i(a，b，c，dR，且 cdi0) 1复数(32i)i 等于( ) A23i B23i C23i D23i B (32i)i3i2i i23i，选 B. 【基础自测】 2已知 i 是虚数单位，则3i1i(
3、 ) A12i B2i C2i D12i D 3i1i3i1i1i1i24i212i. 类型一 复数代数形式的乘法运算 【例 1】 (1)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) 【合作探究】 (2)计算： (12i)(34i)(2i)； (34i)(34i)； (1i)2. (1)B z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以 a10，解得 a1 ，故选 B. (2)解 (12i)(34i)(2i)(112i)(2i) 2015i. (34i)(34i)32(4i)29(16)2
4、5. (1i)212ii22i. 【规律方法】 1两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算， 例如平方差公式、 完全平方公式等 2常用公式 (1)(abi)2a22abib2(a，bR)； (2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)； (3)(1 i)2 2i. 【跟踪训练】 1(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) Ai(1i)2 Bi2(1i) C(1i)2 Di(1i) (2)复数 z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 (1)C (2)5 (1)A 项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，
5、不是纯虚数 B 项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数 C 项，(1i)212ii22i，是纯虚数 D 项，i(1i)ii21i，不是纯虚数 故选 C. (2)(12i)(3i)3i6i2i255i， 所以 z 的实部是 5. 类型二 复数代数形式的除法运算 【例 2】 (1)3i1i( ) A12i B12i C2i D2i (2)若复数 z 满足 z(2i)117i(i 是虚数单位)，则 z 为( ) A35i B35i C35i D35i (1)D (2)A (1)3i1i3i1i1i1i42i22i. (2)z(2i)117i， z117i2i117i2i2i2i1525i535i.
6、 【规律方法】 1两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式 2常用公式 (1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii. 【跟踪训练】 2.(1)如图，在复平面内，复数 z1，z2对应的向量分别是OA，OB， 则复数z1z2对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)计算：1i1i8. (1)B 由复数的几何意义知，z12i，z2i， 所以z1z22ii12i，对应的点在第二象限 (2)解：法一：法一：1i1i81i1i2 42i2i4
7、(1)41. 法二：法二：因为1i1i1i21i1i2i2i， 所以1i1i8i81. 类型三 复数运算的综合问题 探究问题 1若 zz，则 z 是什么数？这个性质有什么作用？ 提示 zzzR，利用这个性质可证明一个复数为实数 2若 z0 且 zz0，则 z 是什么数？这个性质有什么作用？ 提示 z0 且 zz0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数 3三个实数|z|，|z|，z z具有怎样的关系？ 提示 设 zabi，则zabi， 所以|z| a2b2，|z| a2b2 a2b2， z z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2， 所以|z|2|z|2z z. 【例 3】
8、 (1)已知复数 z3i1 3i2，z是 z 的共轭复数， 则 z z等于( ) A.14 B.12 C1 D2 (2)已知复数 z 满足|z| 5，且(12i)z 是实数，求z. 思路探究 可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解 (1)A 法一法一：z3i1 3i2 3i2i1 3i2i1 3i1 3i2i1 3i i1 3i434i4，z34i4，z z14. 法二法二：z3i1 3i2， |z|3i1 3i2| 3i|1 3i2|2412，z z14. (2)解 设 zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i.又
9、因为(12i)z 是实数，所以 b2a0，即 b2a，又|z| 5，所以 a2b25.解得 a 1，b 2.所以z12i 或12i， 所以z12i 或12i， 即z (12i) 母题探究 1在题设(1)条件不变的情况下，求zz. 解 由例题(1)的解析可知 z34i4，z34i4，z z14， zzz2z z34i42141232i. 2把题设(2)的条件“(12i)z 是实数”换成“(12i)z 是纯虚数”，求z. 解 设 zabi，则zabi，由例题(2)的解可知 a2b， 由|z| a2b2 5b2 5，得 b1，a2；或 b1，a2. 所以z2i，或z2i. 【规律方法】 1由比较复杂
10、的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数 2注意共轭复数的简单性质的运用 1复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i21 的应用. 2复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用 z z|z|2解题 【课堂小结】 3记住几个常用结论： (1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN) (2)(1 i)2 2i. (3)若 zzz 是实数；若 zz0，则 z 是纯虚数；z z|z|2|z|2. 1判断正误 (1)实数不存在共轭复数( ) (2)两个共轭复数的差为纯虚数( ) (3)若 z1，z2C，且
11、 z21z220，则 z1z20.( ) 答案 (1) (2) (3) 【当堂达标】 2已知复数 z2i，则 z z的值为( ) A5 B. 5 C3 D. 3 A z z(2i)(2i)22i2415. 3若复数 z 满足 z(1i)2i(i 为虚数单位)，则|z|( ) A1 B2 C. 2 D. 3 C 因为 z(1i)2i，所以 z2i1i2i1i21i， 故|z| 1212 2. 4已知复数 z1(1i)(1bi)，z2a2i1i，其中 a，bR. 若 z1与 z2互为共轭复数，求 a，b 的值 解 z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i, z2a2i1ia2i1i1i1iaai2i22a22a22i. 由于 z1和 z2互为共轭复数，所以有 a22b1，a221b，解得 a2，b1.