1、8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台 【课标要求】 知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念 1空间几何体的定义 【知识导学】 2空间几何体的分类及相关概念 知识点二 棱柱的结构特征 1棱柱的定义、图形及相关概念 2棱柱的分类及特殊棱柱 (1)按 ，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱 (2)直棱柱： (3)斜棱柱： (4)正棱柱： (5)平行六面体： 底面多边形的边数 侧棱垂直于底面的棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 底面是平行四边形的四棱柱 知识点三 棱锥的结构特征 1棱锥的定义、图形及相关概念 2.棱锥的分类及特殊的棱锥 (1)按 ，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 (2)正
2、棱锥： 底面多边形的边数 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 知识点四 棱台的结构特征 1棱台的定义、图形及相关概念 2棱台的分类 (1)依据： (2)举例： (由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得) 由几棱锥截得 三棱台 1几类特殊的四棱柱 四棱柱是一种非常重要的棱柱， 平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下 【新知拓展】 2棱柱、棱锥、棱台之间的关系 棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩
3、小为一点时，转化为棱锥如图所示 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)棱柱的侧面可以不是平行四边形( ) (2)各面都是三角形的多面体是三棱锥( ) (3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点( ) 【基础自测】 2做一做 (1)有两个面平行的多面体不可能是( ) A棱柱 B棱锥 C棱台 D以上都错 (2)面数最少的多面体的面的个数是_ (3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有_个 (4)四棱台有_个顶点，_个面，_条边 答案 (1)B (2)4 (3)4 (4)8 6 12 题型一 对棱柱、棱锥、棱台概念的理解 例 1 下列命题中，真命题有_ 棱柱的侧面都是平行四边形； 棱
4、锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； 棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形； 棱台的侧棱所在直线均相交于同一点； 多面体至少有 4 个面 【题型探究】 答案 解析 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故正确棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故正确 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后， 截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故错误，正确显然正确因而真命题有. 【规律方法】 关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法 (1)根据几何体
5、的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断 (2)解决该类题目需准确理解几何体的定义， 要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可 【跟踪训练 1】 下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法： 棱台的侧面一定不会是平行四边形； 由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥； 棱柱的侧棱与底面一定垂直 其中正确说法的序号是_ 答案 解析 正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三
6、棱锥；错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直. 题型二 对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断 例 2 如图长方体 ABCDA1B1C1D1， (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？ 解 (1)是棱柱是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱 (2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱 BB1FCC1E 和棱柱ABFA1DCED1. 条件探究 若本例(2)中将平面 BCEF 改为
7、平面 ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？ 解 截后的两部分分别为棱柱 ADD1BCC1和棱柱 AA1D1BB1C1. 【规律方法】 棱柱判断的方法 判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面底面，再判断其余面侧面是否为四边形及侧棱是否平行 【跟踪训练 2】 判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？ 解 根据棱台的定义， 可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平
8、行，因此也不是棱台. 题型三 空间几何体的展开图问题 例 3 如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 解 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义， 可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示： 所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台 【规律方法】 空间几何体的展开图 (1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力 (2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面 (3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推 【跟踪训练 3】 根据如下图所给的平面图形，画出立体图 解 将各平
9、面图折起来的空间图形如下图所示 1下列说法中，正确的是( ) A棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 答案 D 【随堂达标】 解析 A 选项不符合棱柱的特点；B 选项中，如图，构造四棱柱 ABCDA1B1C1D1，令四边形 ABCD 是梯形，可知平面 ABB1A1平面 DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图，底面 ABCD 可以是平行四边形；D 选项是棱柱的特点故选 D. 2下列三种叙述，正确的有( ) 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两
10、个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案 A 解析 本题考查棱台的结构特征中的平面不一定平行于底面，故错误；可用如图的反例检验，故不正确故选 A. 3下列图形中，不是三棱柱展开图的是( ) 解析 本题考查三棱柱展开图的形状 显然 C 无法将其折成三棱柱，故选 C. 答案 C 4棱锥的各个侧面都是三角形； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥； 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； 棱锥的各侧棱长相等 以上说法正确的序号有_ 答案 解析 由棱锥的定义，知棱
11、锥的各侧面都是三角形，故正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故错误 5 已知 M 是棱长为 2 cm 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1的中点，求沿正方体表面从点 A 到 M 的最短路程是多少？ 解 若以 BC 或 DC 为轴展开，则 A，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为 2 cm,3 cm，故两点之间的距离为13 cm，若以 BB1为轴展开，则 A，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为 1 cm，4 cm.故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从 A 到 M 的最短路程是 13 cm.