1、7.1.1 数系的扩充和复数的概念 1了解数系的扩充过程 2理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 3了解复数的代数表示法 【学习目标】 问题1 方程2x23x10.试求方程的整数解？方程的实数解？ 问题2 方程x210在实数范围内有解吗？ 提示2 没有解 提示 1 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和12. 【入门答疑】 问题3 若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗？ 提示3 有解，xi但不是实数范围内 问题4 实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作abi，这一新数集形式如何表示？ 提示4 Cabi|a，bR 1复数的定义：形如_的数叫做复数其中i叫做_，满足：i2_
2、. 2复数的表示：复数通常用字母z表示，即_，这种表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数z的_，实数b叫做复数z的_ 知识点一 复数的概念及其代数表示法 abi 虚数单位 1 zabi 实部 虚部 【新知初探】 1复数的分类： 知识点二 复数的分类 2集合表示： 设a，b，c，d都是实数，那么abicdi_. 知识点三 复数相等的充要条件 ac且bd 思维启迪 1理解复数与复数集的概念时应注意以下几点 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成abi(a，bR)的形式，其中000i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数zabi只有在a，bR时才是复数的代数形式，否则不是代
3、数形式 2复数代数形式的应用 (1)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数 若z是纯虚数，可设zbi(b0，bR) 若z是虚数，可设zabi(b0，bR) 若z是复数，可设zabi(a，bR) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小 1复数ii2的虚部为( ) A0 B1 Ci D2 解析： ii21i. 答案： B 【自主练习】 2用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) ACRI BRI0 CRCI DRI 解析： 由复数的概念可知RC，IC，RI. 答案： D 3如果(m21)(m22m)i0，则实数m的值为
4、_ 答案： 2 解析： 由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知 (m21)(m22m)i 应为实数，得 m210，m22m0，解得 m2. 4如果(xy)(x3)i(3x2y)yi，求实数x，y的值 解： 由复数相等的充要条件得 xy3x2y，x3y， 解得 x1，y2. 题型一 复数的概念及分类 【例1】下列命题中，正确命题的个数是( ) 复数3i5的实部是3，虚部是5； 若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1； 若x2y20，则xy0. A0 B1 C2 D3 思路点拨 本题主要考查复数的基本概念及分类，解题时要注意abi中，a，b的取值为实数 【题型探究】 解析： 3i553i，
5、3i5的实部是5，虚部是3，是假命题由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题当x1，yi时，x2y20成立，是假命题故选A. 答案： A 【规律方法】 在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件利用举反例的形式否定一个命题是很有效的方法 【变式训练】 1设复数zabi(a，bR)，则z为纯虚数的必要不充分条件是( ) Aa0 Ba0且b0 Ca0且b0 Da0且b0 解析： 由纯虚数的概念可知：a0且b0是复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件而题中要选择的是必要不充分条件因此，我们要选择的应该是由“且
6、”字连接的复合命题“a0且b0”的子命题，“a0”或“b0”对照各选择项的情况，故选A. 答案： A 题型二 复数的概念 【例 2】已知复数 za27a6a21(a25a6)i(aR)，试求实数 a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数 思路点拨 【规律方法】 复数的分类：复数的分类： 复数zabi(a，bR)，当满足b0时复数z是实数，b0时复数z是虚数，a0，b0时复数z是纯虚数研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是否有意义 特别提醒：特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用的是标准形式的代数式，若不是复数的标
7、准代数形式，应先化为复数的标准代数形式zabi(a，bR)，再依据概念求解、判断复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的实部是否有意义 【变式训练】 2实数 x 分别取什么值时，复数 zx2x6x3(x22x15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 解： (1)要使 z 是实数，必须且只需 x30 x22x150，解得 x5. (2)要使 z 为虚数，必须且只需 x30 x22x150， 解得 x3 且 x5. (3)要使 z 为纯虚数，必须且只需 x2x6x30，x22x150， 解得 x3 或 x2. 【例 3】 (1)已知(2x1)iy(3y)i，其中 x，yR，求 x
8、 与 y； (2)已知关于 x，y 的方程组 x322y1iy4xi，2xay4xybi98i有实数解，求实数 a，b 的值 题型三 复数相等的充要条件 思路点拨 确定实部与虚部，列方程组求解 (2)由复数相等的充要条件知 x32y， 2y14x， 2xay9， 4xyb8， 由得 x52，y4，代入得 a1b2. 解：(1)根据复数相等的充要条件得 2x1y，13y，解得 x52，y4. 【规律方法】 1.一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小 2复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据， 是复数问题实数化的桥梁纽带 3必须在标准代数形式下确定实部、虚部后才可应用 【变式训练】 3(1)若43aa2ia24ai，则实数a_. (2)已知x2y22xyi2i，求实数x，y的值 答案： (1)4 解析： (1)由复数相等的充要条件知 43aa2，a24a，a4. (2)x2y22xyi2i， x2y202xy2，解得 x1y1或 x1y1.