1、7.1.2 复数的几何意义 【课标要求】 知识点一 复平面的相关概念 如图，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 zabi 可用点 Z(a，b)表示这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 复数集 C 中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数 zabi一一对应复平面内的点 Z(a，b) 复平面 实轴 虚轴 【知识导学】 知识点二 复数的向量表示 如图，设复平面内的点 Z 表示复数 zabi，连接 OZ，显然向量OZ是由 唯一确定的；反过来，点 Z 也可以由向量 唯一确定 点 Z OZ 复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系 (实
2、数 0 与零向量对应)，即 复数 zabi一一对应平面向量OZ. 这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示 同一个复数 知识点三 复数的模的定义公式 向量OZ的模叫做复数 zabi 的模或绝对值， 记作 或 ， 即|z|abi| a2b2(a，bR) 如果 b0，那么 zabi 是一个实数 ，它的模等于 (a 的 ) 知识点四 共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫 |z| |abi| a |a| 绝对值 共轭复数 共轭虚数 1复数的向量表示 (1)任何一个复数 zabi 与复平面内一点 Z(a，b)对应，而任一
3、点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点 Z(a，b)为终点的向量OZ对应，这些对应都是一一对应，即 【新知拓展】 (2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁， 使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行 2共轭复数的性质 (1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称 (2)实数的共轭复数是它本身，即 z zzR. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数 (3)z z|z|2| z|2R. z 与 z互为实数化因式 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)在复平面内，对应于
4、实数的点都在实轴上( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数( ) (3)复数的模一定是正实数( ) (4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件( ) 【基础自测】 2做一做 (1)若OZ(0，3)，则OZ对应的复数为_ (2)复数 z14i 位于复平面上的第_象限 (3)复数 3i 的模是_ (4)复数 56i 的共轭复数是_ 答案 (1)3i (2)四 (3) 3 (4)56i 题型一 复平面内复数与点的对应 例 1 在复平面内，若复数 z(m2m2)(m23m2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线 yx 上，分别求实数 m 的取值范围 解 复
5、数 z(m2m2)(m23m2)i 的实部为 m2m2， 虚部为 m23m2. (1)由题意得 m2m20，解得 m2 或 m1. (2)由题意得 m2m20， 1m2或m1，1m0，解得 m5， 所以当 m5 时，复数 z 对应的点在 x 轴上方 (2)由题意得(m25m6)(m22m15)40， 解得 m1 或 m52，所以当 m1 或 m52时， 复数 z 对应的点在直线 xy40 上. 题型二 复平面内复数与向量的对应 例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0,32i，24i，试求：(1)AO表示的复数；(2)CA表示的复数；(3)点 B 对应的复
6、数 解 由题意得 O 为原点，OA(3,2)，OC(2,4) (1)AOOA(3,2)(3，2) AO表示的复数为32i. (2)CAOAOC(3,2)(2,4)(5，2)， CA表示的复数为 52i. (3)OBOAOC(3,2)(2,4)(1,6)， OB表示的复数为 16i， 即点 B 对应的复数为 16i. 【规律方法】 复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解 【跟踪训练 2】 (1)复数 43i 与25i 分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是_； (2)在复平面内，O 为原点，向量
7、OA对应复数为12i，则点 A 关于直线 yx 对称点为 B，向量OB对应复数为_ 答案 (1)68i (2)2i 解析 (1)因为复数 43i 与25i 分别表示向量OA与OB，所以OA(4,3)，OB(2，5)，又ABOBOA(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量AB表示的复数是68i. (2)点 A(1,2)关于直线 yx 对称的点为 B(2,1)，所以OB2i. 题型三 复数模的综合应用 例 3 设 zC，则满足条件|z|34i|的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的集合是什么图形？ 解 由|z|34i|得|z|5. 这表明向量OZ的长度等于 5，即点 Z 到原点的距离等于 5. 因
8、此满足条件的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 5 为半径的圆 【规律方法】 巧用复数的几何意义解题巧用复数的几何意义解题 (1)复平面内|z|的意义 我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的点与原点 O 间的距离那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数 z 的点 Z 到坐标原点间的距离也就是向量OZ的模，|z|OZ|. (2)复平面内任意两点间的距离 设复平面内任意两点 P，Q 所对应的复数分别为 z1，z2，则|PQ|z2z1|. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题 【跟踪训练 3】 设 zC，且满足下列条件，在复平面内，复数 z 对应的点
9、Z 的集合是什么图形？ (1)1|z|2； (2)|zi|1. 解 (1)根据复数模的几何意义可知， 复数 z 对应的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心， 以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环，不包括环的边界 (2)根据模的几何意义，|zi|1 表示复数 z 对应的点到复数 i 对应的点(0,1)的距离为 1. 满足|zi|1 的点 Z 的集合为以(0,1)为圆心，以 1 为半径的圆内的部分(不含圆的边界) 1已知 aR，且 0a1，i 为虚数单位，则复数 za(a1)i 在复平面内所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 0a0 且 a10，故复数 za(
10、a1)i 在复平面内所对应的点(a，a1)位于第四象限故选 D 答案 D 【随堂达标】 2复数 z(a22a)(a2a2)i 对应的点在虚轴上，则( ) Aa2 或 a1 Ba2 且 a1 Ca0 Da2 或 a0 解析 由点 Z 在虚轴上可知，点 Z 对应的复数是纯虚数和 0， a22a0，解得 a2 或 a0. 答案 D 3已知复数 z12i(i 是虚数单位)，则|z|_. 解析 因为 z12i，所以|z| 1222 5. 答案 5 4已知复数 z3ai，且|z|5，则实数 a 的取值范围是_ 解析 |z| 32a25，解得4a4. 答案 4a0，4m28m30，解得 m32. 所以实数 m 的取值范围为 ，1 5232， .