1、专题专题 12 12 数形结合思想数形结合思想 专题概述：专题概述： 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、 习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法， 培养用数学思想方法解决问题的意识 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题
2、中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 名词诠释名词诠释： 数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 运用举例：运用举例： 一数形结合思想在绝对值中的运用 1两只小虫 A、B 躺在数轴上睡大觉，
3、已知它们之间的距离为 10 个单位长度，其中小虫 A 躺在数+4 对应的点上，小虫 B 所在位置的数的绝对值大于 6，则小虫 B 所在位置表示的数是 14 【点睛】设小虫 B 所在位置表示的数是 a，可得|a4|10，解可得答案 【解析】解：设小虫 B 所在位置表示的数是 a， 有|a4|10， 解可得 a14 或6， 小虫 B 所在位置的数的绝对值大于 6， a14 故答案为 14 二数形结合思想在因式分解中的运用 2将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系 （1）根据你发现的规律填空：x2+px+qx+pqx2+（p+q）x+pq
4、（ x+p ）（ x+q ） （2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式： x2+7x+10 y27y+12 【点睛】 （1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答； （2）根据（1）的结论直接作答 【解析】解： （1） （x+p） （x+q） （4 分） （2）x2+7x+10（x+2） （x+5） （6 分） y27y+12（y3） （y4） （8 分） 三数形结合思想在函数中的运用 3某物流公司的快递车和货车每天往返于 A、B 两地，快递车比货车多往返一趟图表示快递车距离 A 地的路程 y（单位：千米）与所用时间 x（单位：时）的函数图象已知货车比快递车
5、早 1 小时出发，到达B 地后用 2 小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回 A 地晚 1 小时 （1）请在图中画出货车距离 A 地的路程 y（千米）与所用时间 x（时）的函数图象； （2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案） ； （3）求两车最后一次相遇时，距离 A 地的路程和货车从 A 地出发了几小时？ 【点睛】 （1）货车从出发到返回共 10 小时，所以前 4 小时一段、后 4 小时一段、中间 2 小时路程不变； （2）分别求出函数解析式解方程组即可 【解析】解： （1）根据题意，图象经过（1，0） 、 （3，200）和（5，200） 、 （9，0） 如图： （2
6、）4 次； （3）如图，设直线 EF 的解析式为 yk1x+b1 图象过（9，0） ， （5，200） ， 200 = 51+ 10 = 91+ 1， 1= 501= 450， y50 x+450 ， 设直线 CD 的解析式为 yk2x+b2 图象过（8，0） ， （6，200） ， 200 = 62+ 20 = 82+ 2， 2= 1002= 800， y100 x+800 ， 解由组成的方程组得： = 7 = 100， 最后一次相遇时距离 A 地的路程为 100km，货车应从 A 地出发 8 小时 四数形结合思想在几何中的运用 4如图，在平面直角坐标系中，A（2，3） ，B（5，3） ，C
7、（2，5）是三角形的三个顶点，求 BC 的长 【点睛】根据点 A、B、C 的坐标求出 AB、AC 的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解 【解析】解：A（2，3） ，B（5，3） ，C（2，5） ACy 轴，ABx 轴， A90， AC532，AB523， 在 RtABC 中，由勾股定理得，BC= 2+ 2= 22+ 32= 13 5如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合， 其余的两个顶点在矩形的边上） ， 则剪下的等腰三角形的面积为 8cm2或 215cm2或 27cm2 【点睛】因为等腰
8、三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： （1）AEF 为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可； （2）先利用勾股定理求出 AE 边上的高 BF，再代入面积公式求解； （3）先求出 AE 边上的高 DF，再代入面积公式求解 【解析】解：分三种情况计算： （1）当 AEAF4 时，如图： SAEF=12AEAF=12448（cm2） ； （2）当 AEEF4 时，如图： 则 BE541， BF= 2 2= 42 12= 15， SAEF=12AEBF=124 15 =215（cm2） ； （3）当 AEEF4 时，如图： 则 DE743， DF= 2 2= 42 32= 7， SAEF
9、=12AEDF=124 7 =27（cm2） ； 故答案为：8cm2或 215cm2或 27cm2 6已知ABC 的三边分别为 m2n2，2mn，m2+n2（m，n 为正整数，且 mn） ，求证：ABC 是直角三角形 【点睛】 判断一组数能否成为直角三角形的三边， 就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方 【解析】证明：（m2n2）2+（2mn）2m4+n42m2n2+4m2n2m4+n4+2m2n2（m2+n2）2， ABC 是直角三角形 五数形结合思想在最值问题中的运用 7如图，点 P 是AOB 内任意一点，OP5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，PM
10、N周长的最小值是 5cm，则AOB 的度数是（ ） A25 B30 C35 D40 【点睛】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出 PMDM，OPOC，COAPOA；PNCN，OPOD，DOBPOB，得出AOB=12COD，证出OCD 是等边三角形，得出COD60，即可得出结果 【解析】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD， 分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： 点 P 关于 OA 的对称点为 D，关于 OB 的对
11、称点为 C， PMDM，OPOD，DOAPOA； 点 P 关于 OB 的对称点为 C， PNCN，OPOC，COBPOB， OCOPOD，AOB=12COD， PMN 周长的最小值是 5cm， PM+PN+MN5， DM+CN+MN5， 即 CD5OP， OCODCD， 即OCD 是等边三角形， COD60， AOB30； 故选：B 8已知 a、b 均为正数，且 a+b2，求 W= 2+ 4 + 2+ 1的最小值 【点睛】将 b2a 代入 W= 2+ 4 + 2+ 1，得到 W 的关于 a 的表达式，再利用勾股定理，将表达式转化为直角三角形两斜边 AP、BP 的和，利用勾股定理求和即可 【解析】解：得 W= 2+ 22+ (2 )2+ 12， （5 分） 构造如下图形，其中 ED2，AE2，BD1，AEl，BDl， P 是 ED 上任意一点，点 C 是点 A 关于直线 l 的对称点， 设 PEa，则 W= 2+ 22+ (2 )2+ 12=AP+BP， （5 分） 当 B、P、C 三点共线时，W 的值最小，此时由勾股定理可求得2+ 4 + 2+ 1的最小值为13 （5分）