1、专题专题 08 08 转化思想转化思想 专题概述：专题概述： 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、 习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法， 培养用数学思想方法解决问题的意识 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数
2、学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 名词诠释名词诠释： 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 运用举例：运用举例： 一、转化思想在代数中的运用 1概念性的转
3、化 例例1.1.解关于x，y的方程组 【点睛】本题若解方程组，解法较繁但若用方程根的定义则可更漂亮地解决 【详解】解解：若a=b时，则方程组有无数组解因为此时方程组就等价于 x+ay=a2这个二元一次方程， 对于任意一个实数x， 都可求得相应的实数y， 因此它有无数组解 若ab， 则由已知方程组的定义，得a、 b是方程x+yt=t2(即t2-yt-x=0)的根 由韦达定理， 得a+b=y， ab=-x 原方程组的解为bayabx 2方法上的转化 例例2 2 把(ab-1)2+(a+b-2)(a+b-2ab)分解因式 【点睛】一般地说本题难度很大但若用换元法就可转化为较易解的问题 【详解】解：解
4、： 注意本题特点，a+b与ab重复出现，于是设abx，a+b=y，则 原式=(x-1)2+(y-2)(y-2x) =x2-2(y-1)x+(y-1)2(注意用公式) =x-(y-1)2=ab-(a+b)+12(代回) (a-1)(b-1)2(a-1)2(b-1)2 例例3 3 已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值 【点睛】 这是条件求值问题，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁了但通过变形，用降次的方法进行转化，便迎刃而解了 【详解】解法一解法一 x2+x-1=0， x2=1-x 原式=x(1-x)+2(1-x)+5 =x-x2+2-2x+5 =x-(1-x)+7-2x6
5、转化的方法常不是唯一的 灵活思考会得到不同的转化途径 若把待求式拆拼出已知形式可得下列解法 解法二解法二 x2+x-1=0， 原式=(x3+x2-x)+(x2+x+5) =x(x2+x-1)+(x2+x-1)+6=6 这叫凑零法还可以有多种方法，但用多项式除法原理则更简捷 原式=(x+1)(x2+x-1)+6 x2+x-10， 原式=6 二、转化思想几何中的运用 1利用平移变换转化 例例4 4 已知梯形ABCD中， CDAB， BAD+ABC=90， M、 N分别为AB和CD的中点， 求证MN=12（ ） 【点睛】本题求证中线段的关系较分散从题目特点考虑，注意到BAD+ABC=90，则将AD、
6、BC向内平移会出现基本图形RtNEF 问题转化为证明MN为RtNEF斜边上的中线， 又转化为AB-CD=EF=2MN即可(证明略) 2利用相似变换转化 例例5 5 如图，ABC中，AD=DB，DF交AC于E，交BC延长线于F求证：AECF=ECBF 【点睛】我们把AECF=ECBF改写成比例的形式：CFBFECAC,就找不出相似三角形，于是考虑做辅助线转化为相似三角形(或平行线分线段成比例定理）.作CGAB,交DF于G.易得出两个比例式CGBDCFBFCGADECAE,儿AD=BD.CFBFECAE,即AECF=ECBF(证明略) 3用化归方法转化 例例6 6 如图，圆内接四边形ABCD的对角
7、线相交于P点求证：ABADCBCD=APPC 【点睛】这个题难度很大，很难下手，但方法对头就由难转易，如果我们采取化归的办法清理思路就不难了从求证中看出比例式两边方次不同，可能是右边约去了因式，然而又很难寻找约去的因式，怎么办呢？可考虑“化归” 我们从求证中看到ABAD与 CBCD都是相邻两边乘积，于是可联想到很容易的一道题，即 已知： ABC内接于O， AD为ABC中BC边上的高， AE为ABC外接圆的直径 求证： AB AC=AD AE 这个题目是很容易证的，只要连结BE，证明ABEADC，或连结EC，证明ABDAEC即可这个题用语言叙述就是“三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边上的高之积” 用这个题的结论去证例6可以发挥绝妙的作用对例6不必再做分析就可证明 4形数间的转化 例例 7 7 矩形 ABCD 中，E 在 AD 上，AEED，F 在 BC 上，若 EF 把矩形 ABCD 的面积分为 1：2，则_（BFFC） 【点睛】 同学对这样的问题总觉得不好下手 其实设一些参数,用方程易解.设BC=a， AB=b,则AE=ED=2，再设BF=x，则FC=a-x 根据梯形面积公式易得方程 2 ( +2)2=( +2)2 解得：x=6则 ax=56 则=15