1、6.4.3 第1课时 余弦定理 【课标要求】 知识点一 余弦定理 知识点二 余弦定理的推论 cosA ，cosB ，cosC . 三角形中任何一边的平方， 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍即 a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB， c2a2b22abcosC b2c2a22bc a2c2b22ac a2b2c22ab 【知识导学】 知识点三 解三角形 (1)把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素 (2) 叫做解三角形 知识点四 余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知 解三角形，另一类是已知 解三角形 三个角
2、A，B，C 对边 a，b，c 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 两边及其夹角 三边 1对余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立 (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦” (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系 (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化 【新知拓展】 2判定三角形的形状 (1)有关三角形边角关系解三角形问题， 就是从“统一”入手， 体现转化思想 判断三角形的形状有两条思路： 化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式 化角为边，再进行代数恒等
3、变换，求出三边之间的数量关系式 (2)判定三角形形状时经常用到下列结论： 在ABC 中，若 a2b2c2，则 0 A90 ；反之，若 0 A90 ，则 a2b2c2.例如： 在不等边ABC 中， a 是最大的边， 若 a2b2c2， 则90 A180 ； 反之， 若90 Ab2c2. 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况( ) (2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广( ) (3)已知ABC 中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状( ) 【基础自测】 2做一做 (1)在ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为 a，
4、b，c，若 a1，b 7，c 3，则 B_. (2)已知ABC 的三边分别为 2,3,4，则此三角形是_三角形 (3)在ABC 中，若 a2b2c2ab，则角 C 的大小为_ (4)在ABC 中，AB4，BC3，B60 ，则 AC 等于_ 答案 (1)56 (2)钝角 (3)3 (4) 13 题型一 已知两边及一角解三角形 例 1 在ABC 中，a2 3，c 6 2，B45 ，解这个三角形 解 由余弦定理得 b2a2c22accosB (2 3)2( 6 2)222 3( 6 2)cos45 8， b2 2，又 cosAb2c2a22bc8 6 222 3222 2 6 212， A60 ，C
5、180 (AB)75 . 【题型探究】 【规律方法】 已知两边及一角解三角形的两种情况已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解 (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长 【跟踪训练 1】 (1)在ABC 中，已知 a4，b6，C120 ，则边 c 的值是( ) A8 B2 17 C6 2 D2 19 (2)在ABC 中，已知 b3，c3 3，B30 ，求角 A，C 和边 a. 答案 (1)D (2)见解析 解析 (1)根据余弦定理，c
6、2a2b22abcosC 1636246cos120 76，c2 19. (2)由余弦定理，得 b2a2c22accosB， 32a2(3 3)22a3 3cos30 ， a29a180，解得 a3 或 6. 当 a3 时，A30 ，C120 . 当 a6 时，由余弦定理，得 cosAb2c2a22bc92736233 30. A90 ，C60 . 题型二 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在ABC 中，若 a7，b4 3，c 13，则ABC 的最小角为( ) A3 B6 C4 D12 (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ab4，ac2b，且最大角为
7、120 ，求此三角形的最大边长 解析 (1)因为 cbb，且 ab4，又 ac2b，则 b4c2b，所以 bc4，则 bc，从而 abc，所以 a 为最大边，A120 ，ba4，ca8. 由余弦定理，得 a2b2c22bccosA(a4)2(a8)2(a4)(a8)，即 a218a560，解得 a4 或 a14.又 ba40，所以 a14.即此三角形的最大边长为 14. 答案 (1)B (2)见解析 条件探究 若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？ 解 因为 cbab，知角 C 为最大角，则 cosCa2b2c22ab12， C120 ，即此三角形的最大角为 120 . 答案 120 4在ABC 中，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，b 2，c1 3，且 a2b2c22bcsinA，则边 a_. 解析 由已知及余弦定理，得 sinAb2c2a22bccosA， A45 ，a2b2c22bccos45 4，a2. 答案 2 5在ABC 中，basinC，cacosB，试判断ABC 的形状 解 由余弦定理知 cosBa2c2b22ac，代入 cacosB， 得 caa2c2b22ac，c2b2a2， ABC 是以 A 为直角的直角三角形 又 basinC，baca，bc， ABC 也是等腰三角形 综上所述，ABC 是等腰直角三角形