1、6.4.3 第2课时 正弦定理 考点考点 学习目标学习目标 核心素养核心素养 正弦定理 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法 逻辑推理 【导学聚焦】 预习教材内容，思考以下问题： 1在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2正弦定理的内容是什么？ 【问题导学】 1正弦定理正弦定理 条件 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 结论 _bsin B_ 文字 叙述 在一个三角形中， 各边和它所对角的_的比相等 asin A csin C 正弦 【新知初探】 名师点拨名师点拨 对正弦定理的理对正弦定理的理解解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形
2、都成立 (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式 (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系 2正弦定理的变形正弦定理的变形 若 R 为ABC 外接圆的半径，则 (1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； (2)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R； (3)sin Asin Bsin Cabc； (4)abcsin Asin Bsin C2R. 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)正弦定理不适用于直角三角形( ) (2)在ABC 中必有 asin Abs
3、in B( ) (3)在ABC 中，若 ab，则必有 sin Asin B( ) (4)在ABC 中，若 sin Asin B，则必有 AB.( ) 【自我检测】 在ABC 中，a3，b5，sin A13，则 sin B( ) A.15 B.59 C.53 D.1 解析：选 B.因为 a3，b5，sin A13， 所以由正弦定理得 sin Bbsin Aa513359. 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 若 A105，B45，b2 2，则 c( ) A.22 B.1 C. 2 D.2 解析：选 D.由三角形内角和定理得， C180(AB)180(10545)
4、30. 由正弦定理得， cbsin Csin B2 2sin 30sin 452. 在ABC 中，若sin Aacos Bb，则 B 的度数为_ 解析：根据正弦定理知，sin Aasin Bb，结合已知条件可得 sin Bcos B，又 0B180，所以 B45. 答案：45 【例 1】在ABC 中，已知 c10，A45，C30， 解这个三角形 探究点一 已知两角及一边解三角形 【探究互动】 【解】 因为 A45 ，C30 ，所以 B180 (AC)105 . 由asin Acsin C得 acsin Asin C10sin 45sin 3010 2. 因为 sin 75 sin(30 45
5、) sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 2 64， 所以 bcsin B sin C10 sin（AC）sin 30202 645 25 6. 【规律方法】 已知三角形的两角和任一边解三角形的思路已知三角形的两角和任一边解三角形的思路 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角 (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边 【跟踪训练】 1在ABC 中，已知 a8，B60，C75，则 b( ) A4 2 B4 3 C4 6 D323 解析：选 C.A180BC45， 由正弦定理
6、asin Absin B，得 basin Bsin A8sin 60sin 454 6. 2在ABC 中，A60，sin B12，a3，求三角形中其他边与角的大小 解：因为 sin B12，所以 B30或 150， 当 B30时，由 A60得 C90； 当 B150时，不合题意，舍去 所以由正弦定理bsin Bcsin Casin A， 得 bsin Bsin Aasin 30sin 603 3， csin Csin Aasin 90sin 6032 3. 【例 2】已知ABC 中的下列条件，解三角形： (1)a10，b20，A60； (2)a2，c 6，C3. 探究点二 已知两边及其中一边的
7、对角解三角形 【解】 (1)因为bsin Basin A， 所以 sin Bbsin Aa20sin 6010 31， 所以三角形无解 (2)因为asin Acsin C，所以 sin Aasin Cc22. 因为 ca，所以 CA.所以 A4. 所以 B512，b csin Bsin C6 sin512sin3 31. 互动探究互动探究 变条件变条件若本例(2)中 C3改为 A4，其他条件不变，求 C，B, b. 解：因为asin Acsin C，所以 sin Ccsin Aa32. 所以 C3或23. 当 C3时，B512，basin Bsin A 31. 当 C23时，B12，basin
8、 Bsin A 31. 【规律方法】 (1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； 如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角； 如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 (2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； 在ABC 中，已知 a，b 和 A，以点 C 为圆心，以边长 a 为半径画弧，此弧与除去顶点 A 的射线 AB 的公共点的个数即为三角形解的个数
9、， 解的个数见下表： A 为钝角 A 为直角 A 为锐角 ab 一解 一解 一解 ab 无解 无解 一解 absin A 两解 absin A 一解 a2 Bx2 C2x2 2 D2x2 3 解析：选 C.由 asin Bba，得22x2x，所以 2x2 2. 【例 3】已知在ABC 中，角 A，B 所对的边分别是 a 和 b， 若 acos Bbcos A，则ABC 一定是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 探究点三 判断三角形的形状 【解析】 由正弦定理得：acos Bbcos Asin Acos B sin Bcos Asin(AB)0，由于AB， 故必有
10、 AB0，AB，即ABC 为等腰三角形 【答案】 A 互动探究互动探究 变条件变条件若把本例条件变为“bsin Bcsin C” ，试判断ABC 的形状 解：由 bsin Bcsin C 可得 sin2Bsin2C， 因为三角形内角和为 180， 所以 sin Bsin C所以 BC. 故ABC 为等腰三角形 【规律方法】 判断三角形形状的两种途径判断三角形形状的两种途径 注意注意 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 【跟踪训练】已知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 所对的边，满足acos Abcos Bccos C，则ABC 的形状是(
11、) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 解析：选 C.由正弦定理得asin Absin Bcsin C， 又acos Abcos Bccos C，得sin Acos Asin Bcos Bsin Ccos C， 即 tan Atan Btan C，所以 ABC， 即ABC 为等边三角形 1在ABC 中，AB2，AC3，B60，则 cos C( ) A.33 B.63 C.32 D.62 解析：选 B.由正弦定理，得ABsin CACsin B，即2sin C3sin 60，解得sin C33.因为 ABAC，所以 CB，所以 cos C 1sin2C63. 【达标反馈】
12、 2 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 ABC123，则 abc( ) A123 B321 C2 31 D1 32 解析：选 D.在ABC 中，因为 ABC123， 所以 B2A，C3A，又 ABC180， 所以 A30，B60，C90， 所以 abcsin Asin Bsin C sin 30sin 60sin 901 32. 3在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c acos B(2ab)cos A，则ABC 的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 解析：选 D.已知 cacos B(2ab)cos A，由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以 sin(AB) sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，化简得 cos A(sin Bsin A)0，所以 cos A0 或 sin Bsin A0，则 A90或 AB，故ABC 为等腰三角形或直角三角形