1、6.2.3 向量的数乘运算 1通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定 2理解两向量共线的含义，并能用向量共线定理解决简单的几何问题 3掌握向量数乘运算的运算律，并会进行有关运算 【目标导航】 知识点一 向量数乘运算 实数 与向量 a 的积是一个_，这种运算叫作向量的_， 记作_，它的长度与方向规定如下： (1)|a|a|. (2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向_； 当 1，有|a|a|(a 为非零向量)， 这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长到原来的|倍；当 0|1 时，有|a|a|，这意味着表示向量 a的有向线段在原方向(01)或反方向(10)上缩短到原来
2、的|倍 向量之间的数乘关系有助于解决平面几何中的平行、相似问题. 1下列各式计算正确的个数是( ) (7)6a42a；a2b2(ab)3a；ab(ab)0. A0 B.1 C2 D.3 解析： 根据向量数乘的运算律可验证正确；错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数 答案： C 【基础自测】 2如图，已知ABa，ACb，BD3DC，用 a，b 表示AD，则AD( ) Aa34b B.34a14b C.14a14b D.14a34b 解析： ADABBDAB34BCAB34(ACAB)14AB34AC14a34b. 答案： D 3若点 O 为平行四边形 ABCD 的中心，A
3、B2e1，BC3e2， 则32e2e1( ) A.BO B.AO C.CO D.DO 解析： BDADABBCAB3e22e1，BO12BD32e2e1. 答案： A 4已知向量 a，b 满足|a|3，|b|5，且 ab， 则实数 的值是_ 解析： 由 ab，得|a|b|b|. |a|3，|b|5，|35，即 35. 答案： 题型一 向量的线性运算 【例 1】(1)计算： 4(ab)3(ab)8a； (5a4bc)2(3a2bc)； 234a3b13b146a7b . (2)设向量 a3i2j，b2ij，求13ab a23b (2ba) 【题型探究】 解： (1)原式4a4b3a3b8a7a7
4、b. 原式5a4bc6a4b2cac. 原式234a3b13b32a74b 2352a1112b ， 53a1118b. (2)原式13aba23b2ba 1311 a1232 b 53a53b53(3i2j)53(2ij) 5103i10353j 53i5j. 规律方法 向量线性运算的基本方法向量线性运算的基本方法 (1)类比方法： 向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算 例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数 (2)向量也可以通过列方程来解， 把所求向量当作未知数， 利用代数方程
5、的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察， 恰当运用运算律，简化运算. 变式训练 1若 2x13a 12(bc3x)b0，其中 a，b，c 为已知向量， 求未知向量 x. 解： 因为 2x23a12b12c32xb0，所以72x23a12b12c0， 所以72x23a12b12c，所以 x421a17b17c. 题型二 向量共线定理及应用 【例 2】已知非零向量 e1，e2不共线 (1)如果ABe1e2，BC2e18e2，CD3(e1e2)， 求证：A、B、D 三点共线； (2)欲使 ke1e2和 e1ke2共线，试确定实数 k 的值 解： (1)证明：ABe1e2， BDBCCD2e18e2
6、3e13e25(e1e2)5AB. AB，BD共线，且有公共点 B， A、B、D 三点共线 (2)ke1e2与 e1ke2共线， 存在实数 ，使 ke1e2(e1ke2)， 则(k)e1(k1)e2. 由于 e1与 e2不共线，只能有 k0，k10， k 1. 规律方法 向量共线定理的应用向量共线定理的应用 (1)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行 (2)若 ba(a0)， 且 b 与 a 所在的直线有公共点， 则这两条直线重合 例如，若ABAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法. 变式训练
7、2(1)已知 e1，e2是平面内不共线的两个向量，a2e13e2， be16e2，若 a，b 共线，则 等于( ) A9 B.4 C4 D.9 (2)设 a，b 为不共线的两个非零向量，已知向量ABakb，CB2ab， CD3ab， 若 A， B， D 三点共线， 则实数 k 的值等于( ) A10 B10 C2 D.2 解析： (1)由 a，b 共线知 amb，mR， 于是 2e13e2m(e16e2)，即(2m)e1(6m3)e2. 由于 e1，e2不共线，所以 6m30，2m0，所以 4. (2)因为 A，B，D 三点共线，所以ABBD(CDCB)， 所以 akb(3ab2ab)(a2b
8、)，所以 1，k2. 答案： (1)B (2)C 题型三 用已知向量表示未知向量 【例 3】如图所示，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，M，N 分别是 DE，BC 的中点，已知BCa，BDb，试用 a，b 分别表示DE，CE，MN. 解： 由三角形中位线定理，知 DE 綊12BC， 故DE12BC，即DE12a. CECBBDDEab12a12ab. MNMDDBBN12EDDB12BC14ab12a14ab. 规律方法 用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表
9、示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用 变式训练 3如图，四边形 OADB 是以向量OAa，OBb 为边的平行四边形 又BM13BC，CN13CD，试用 a，b 表示OM，ON，MN. 解： BM13BC16BA16(OAOB)16(ab)， OMOBBMb16a16b16a56b. CN13CD16OD， ONOCCN12OD16OD23OD23(OAOB)23(ab) MNONOM23(ab)16a56b12a16b. 思想方法 数形结合思想在向量线性运算中的应用 如图所示，在ABC 中，AD23AB，DEBC 交 AC 于 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N， 设ABa， ACb， 用 a， b 表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN. 【分析】 利用DEBC等条件进行转化 【解】 DEBC，AD23AB， AE23AC23b，BCACABba. 由ADEABC，得DE23BC23(ba) 又 AM 是ABC 底边 BC 的中线，DEBC.DN12DE13(ba) AMABBMa12BCa12(ba)12(ab) ANADDN23AB13(ba)13(ab) 【点评】 向量本身具有“数”和“形”的双重特征所以在进行向量的线性运算中，结合图形可使运算更直观更快捷数形结合思想是向量运算中体现最为明显的