1、6.2.2 向量的减法运算 1了解相反向量的概念 2掌握向量减法运算，理解其几何意义 【学习目标】 【新知初探】 1.相反向量 定义：如果两个向量 ，方向相反，那么称这两个向量是相反向量. 大小相等 性质： (1)对于相反向量有：a+(-a)=0. (2)若a，b互为相反向量，则a=-b，a+b=0. (3)零向量的相反向量仍是零向量. 【思考】 有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“大小相等”是多余的，对吗？ 提示:不对，相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解，不是仅方向相反，还必须大小相等. (2)作法： ， 如图所示. OAuuu rOBuuu rBAuur在平面内任取一点O，作
2、 =a， =b，则向量a-b= 2.向量的减法 (1)定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x 满足b+x=a， 则称x为向量a，b的差，记作x=a-b. a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. (3)向量减法的三角形法则：当向量a，b不共线时，向量a，b，a-b正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则. (4)a-b=a+(-b). 【思考】 (1)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？ 提示：求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量. (2)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何
3、 联系？ 提示：向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反 向量的定义， ，就可以把减法转化为加法. AB BAuuu r uur 1在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，则ADAC等于( ) A.CB B.BC C.CD D.DC 解析： 在ABC 中，D 是 BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得ADACCD. 答案： C 【基础自测】 2在三角形 ABC 中，BCa，CAb，则AB( ) Aab Bba Cab D.ab 解析： ABCBCABCCAab. 答案： D 3下列四式中不能化简为AD的是( ) A(ABCD)BC B(ADMB)(BCCM) C.OCOACD D.
4、MBADBM 解析： 对于 A，有ABBCCDAD；对于 B，有AD(MBBC)CMAD(MCCM)AD； 对于 C， 有(OCOA)CDACCDAD；只有 D 无法化简为AD. 答案： D 4如图，在四边形 ABCD 中，设ABa，ADb，BCc，则DC可用 a，b，c 表示为_ 解析： DCACADABBCADabc. 答案： abc 题型一 向量的减法运算 【例 1】化简下列各式： (1)(ABMB)(OBMO)； (2)ABADDC. 【题型探究】 解：(1)法一：法一：原式ABMBBOOM (ABBO)(OMMB)AOOBAB. 法二：法二：原式ABMBBOOM AB(MBBO)OM
5、ABMOOMAB0AB. (2)法一：法一：原式DBDCCB. 法二：法二：原式AB(ADDC)ABACCB. 规律方法 1向量减法运算的常用方法 2向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和 (2)起点相同且为差 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用 变式训练 1在四边形 ABCD 中，ABDCCB_. 解析： ABDCCBABCDBC (ABBC)CDACCDAD. 答案： AD 题型二 已知向量作差向量 【例 2】如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 abc. 解： 法一：法一： 如图， 在平面内任取一点 O， 作OAa， OBb， OCc， 连接 BC， 则C
6、Bbc.过点 A 作 AD 綊 BC， 连接 OD， 则ADbc，所以ODOAADabc. 法二：法二：如图所示，在平面内任取一点 O，作OAa，ABb，则OBab，再作OCc，则CBabc. 法三：法三：如图所示，在平面内任取一点 O，作OAa，ABb，则OBab，再作CBc，连接 OC，则OCabc. 规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如 ab，可以先作b，然后作 a(b)即可 (2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 变式训练 2.如图，已
7、知向量 a，b，c，求作向量 abc. 解：在平面内任取一点 O，作向量OAa，OBb，则向量 abBA，再作向量BCc，则向量CAabc. 题型三 用已知向量表示其他向量 【例 3】如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示DB； (2)用 b，c 表示DB； (3)用 a，b，e 表示EC； (4)用 d，c 表示EC. 解：由题意知，ABa，BCb，CDc，DEd，EAe，则 (1)DBDEEAABade. (2)DBCBCDBCCDbc. (3)ECEAABBCabe. (4)ECCE(CDDE)cd. 规律方法 用已知向量表示其他向量的三个关注点用已知向量表示其他向量的三个关注
8、点 (1)搞清楚图形中的相等向量、 相反向量、 共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道 (2)注意综合应用向量加法、 减法的几何意义以及向量加法的结合律、 交换律来分析解决问题 (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则 例如，在四边形 ABCD 中，ABBCCDDA0. 变式训练 3(1)如图，O 为平行四边形 ABCD 内一点，OAa，OBb，OCc，则OD_； (2)如图所示， 四边形 ACDE 是平行四边形， 点 B 是该平行四边形外一点，且ABa，ACb，AEc，试用向量 a，b，c 表示向量CD，BC，BD. 解析： (1)因为BACD， B
9、AOAOB， CDODOC， 所以ODOCOAOB，ODOAOBOC，所以OD abc. (2)因为四边形 ACDE 是平行四边形， 所以CDAEc， BCACABba，故BDBCCDbac. 答案： (1)abc 解题方法 利用向量证明平面几何问题 如图所示，O 为ABC 的外心，H 为垂心，求证：OHOAOBOC. 【证明】作直径 BD，连接 DA，DC，则OBOD， DAAB，AHBC，CHAB，CDBC. CHDA，AHDC， 故四边形 AHCD 是平行四边形AHDC， 又DCOCODOCOB， OHOAAHOADCOAOBOC. 【点评】 利用向量法证明平面几何问题： 要把几何问题中的边转化为相应的向量； 通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.