1、6.3.1 平面向量基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理， 会用基底表示平面内任一向量(重点) 2.掌握两个向量共线的定义以及两向量垂直的定义(难点) 3.两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点) 1.通过作图教学引导学生自主得出平面向量基本定理，培养学生直观想象和数据分析的核心素养. 2.通过向量夹角和基底的学习，培养了学生直观想象和逻辑推理的核心素养. 1平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个_ 结论 对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a_ 基底 _的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一
2、组基底 不共线向量 1e12e2 不共线 【自主预习】 思考：0 能与另外一个向量 a 构成基底吗？ 提示 不能，0 不能作为基向量 2.两向量夹角的概念 已知两个非零向量 a 和 b，作OAa，OBb，则 ， 叫作向量 a 与 b 的夹角 (1)范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是 (2)当 0 时，a 与 b (3)当 180 时，a 与 b AOB 0180 同向 反向 3垂直 如果 a 与 b 的夹角是 ，我们说 a 与 b 垂直，记作 90 ab 1若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e112e2 C2
3、e23e1，6e14e2 De1e2，e1e2 D A、B、C 中两个向量都满足 ab，故选 D. 【基础自测】 2给出下列三种说法： 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量 其中，说法正确的为( ) A B C D B 根据基底的概念，可知正确 3若 ABC 是等边三角形，则AB与BC的夹角的大小为 120 由向量夹角的定义知AB与BC的夹角与B 互补，大小为 120 . 4如图所示，向量OA可用向量 e1，e2表示为 4e13e2 由图可知，OA4e13e2. 类型一 用基底表
4、示向量 【例 1】 (1)D，E，F 分别为 ABC 的边 BC，CA，AB 上的中点，且BCa，CAb，给出下列结论： AD12ab；BEa12b； CF12a12b；EF12a. 其中正确的结论的序号为 【合作探究】 (2)如图所示，ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G， 若ABa， ADb， 试用 a， b 表示向量DE， BF. 思路点拨：用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则 (1) 如图，ADACCDb12CBb12a，正确； BEBCCEa12b，正确； ABACCBba， CFCA12ABb12(ba
5、) 12b12a，正确； EF12CB12a，不正确 (2)DEDAABBE ADAB12BC ADAB12ADa12b. BFBAADDF ABAD12ABb12a. 母题探究 1若本例(2)中条件不变，试用 a，b 表示AG. 解 由平面几何的知识可知BG23BF， 故AGABBGAB23BFa23b12a a23b13a23a23b. 2若本例(2)中的基向量“AB，AD”换为“CE，CF”，即若CEa，CFb，试用 a，b 表示向量DE，BF. 解 DEDCCE2FCCE2CFCE2ba. BFBCCF2ECCF2CECF2ab. 【规律方法】 用基底表示向量的三个依据和两个用基底表示
6、向量的三个依据和两个“模型模型” (1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 向量减法的几何意义； 数乘向量的几何意义 (2)模型： 类型二 向量的夹角 【例 2】 (1)已知向量 a，b，c 满足|a|1，|b|2，cab，ca，则 a，b 的夹角等于 (2)若 a0，b0，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角 思路点拨：可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决 (1)120 作BCa，CAb，则 cabBA(如图所示)， 则 a，b 夹角为 180 C. |a|1，|b|2，ca， C60 ， a，b 的夹角为 120 . (2)解 由向量运算的几何意义知 ab，
7、ab 是以 a，b 为邻边的平行四边形两条对角线 如图，|a|b|ab|，BOA60 . 又OCab，且在菱形 OACB 中，对角线 OC 平分BOA， a 与 ab 的夹角是 30 . 【规律方法】 两向量夹角的实质与求解方法：两向量夹角的实质与求解方法： (1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决 (2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出 提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误 【跟踪训练】 在 ABC 中，若A120 ，ABAC，则AB与BC
8、夹角的大小为 150 如图所示，因为A120 ，ABAC，所以B30 ，所以AB与BC的夹角为 180 B150 . 类型三 平面向量基本定理的唯一性及其应用 探究问题 若存在实数 1，2，1，2及不共线的向量 e1，e2，使向量 a1e12e2，a1e12e2，则 1，2，1，2有怎样的大小关系？ 提示：由题意 1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2，由于e1，e2不共线，故 11，22. 【例 3】 如图所示，在 OAB 中，OAa，OBb，点 M 是 AB 上靠近 B 的一个三等分点，点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四等分点若 OM与 BN 相交于点 P，求OP. 思路
9、点拨：可利用OPtOM及OPONNPONsNB两种形式来表示OP，并都转化为以 a，b 为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得 s，t，进而得OP. 解 OMOAAMOA23AB OA23(OBOA)13a23b. 因为OP与OM共线， 故可设OPtOMt3a2t3b. 又NP与NB共线，可设NPsNB， OPONsNB34OAs(OBON)34(1s)asb， 所以34（1s）t3，s23t，解得t910，s35， 所以OP310a35b. 母题探究 1将本例中“点 M 是 AB 上靠近 B 的一个三等分点”改为“点 M是 AB 上靠近 A 的一个三等分点”，“点 N 是 OA 上靠
10、近 A 的一个四分点”改为“点 N 为 OA 的中点”，求 BPPN 的值 解 BNONOB12ab， OMOAAMOA13ABOA13(OBOA) 23OA13OB23a13b. 因为 O，P，M 和 B，P，N 分别共线， 所以存在实数 ， 使BPBN2ab， OPOM23a3b， 所以OBOPPBOPBP232a3 b， 又OBb，所以2320，31，解得45，35， 所以BP45BN，即 BPPN41. 2将本例中点 M，N 的位置改为“OM12MB，N 为 OA 的中点”，其他条件不变，试用 a，b 表示OP. 解 AMOMOA13OBOA13ba， BNONOB12OAOB12ab
11、. 因为 A，P，M 三点共线，所以存在实数 使得APAM3ba， 所以OPOAAP(1)a3b. 因为 B，P，N 三点共线，所以存在实数 使得 BPBN2ab， 所以OPOBBP2a(1)b. 即12，31，解得35，45， 所以OP25a15b. 【规律方法】 1任意一向量基底表示的唯一性的理解：任意一向量基底表示的唯一性的理解： 条件一 平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1，e2 条件二 a1e11e2且 a2e12e2 结论 12，12 2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：任意一向量基底表示的唯一性的应用： 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内
12、两个不共线向量 e1，e2的线性组合 1e12e2.在具体求 1，2时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理 (2)利用待定系数法，即利用定理中 1，2的唯一性列方程组求解 1对基底的理解对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底 【课堂小结】 2准确理解平面向量基本定理准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形
13、式，且分解是唯一的 (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 1下列四种说法正确的个数为( ) 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的； e1，e2是平面 内两个不共线向量，若存在实数 ， 使得 e1e20，则 0.( ) A1 B2 C3 D4 【当堂达标】 C 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，根据平面向量基本定理可知正确 2已知平行四边形 ABCD，则下列各
14、组向量中，是该平面内所有向量基底的是( ) AAB，DC BAD，BC CBC，CB DAB，DA D 由于AB，DA不共线，所以是一组基底 3若 a 与 b 的夹角为 45 ，那么 2a 与3b 的夹角是 135 2a 与 a 方向相同，3b 与 b 方向相反，所以 2a 与3b的夹角为 45 的补角 135 . 4如图，已知 ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若ABa，ACb，用 a，b 表示AD，AE，AF. 解 ADABBDAB12BC a12(ba)12a12b； AEABBEAB13BCa13(ba)23a13b； AFABBFAB23BCa23(ba)13a23b.