1、6.2.1 向量的加法运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律(难点) 2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算(重点) 3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别(易混点) 1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养. 2.对比数的加法， 给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养. 1向量加法的定义 定义：求 的运算，叫做向量的加法 对于零向量与任意向量 a，规定 0aa . 两个向量和 0 a 【新知初探】 2向量求和的法则 三角形法则 已知非零
2、向量 a，b，在平面内任取一点 A，作ABa，BCb，则向量AC叫做 a 与 b 的和，记作_，即 abABBC_. ab AC 平行四边形法则 已知两个不共线向量 a，b，作ABa，ADb，以AB，AD为邻边作ABCD，则对角线上的向量_ab. AC 思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法 3向量加法的运算律 (1)交换律：ab . (2)结合律：(ab)c a(bc) ba 1下列各式不一定成立的是( ) Aabba B0aa C.ACCBAB D|ab|a|b| D A，B，C 项满足运算律，而 D 项向量和的模不一定与向量
3、模的和相等，满足三角形法则 【基础自测】 2.CBADBA等于( ) A.DB B.CA C.CD D.DC C CBADBACBBAADCD. 3如图，在平行四边形 ABCD 中，DADC_. DB 由平行四边形法则可知DADCDB. 4小船以 10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_km/h. 20 根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以 小船实际速度大小为 10 3210220(km/h) 类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 探究问题 1求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？
4、提示 (1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等 (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等 【合作探究】 2设 A1，A2，A3，An(nN，且 n3)是平面内的点，则一般情况下，A1A2A2A3A3A4An1An的运算结果是什么？ 提示 将三角形法则进行推广可知 A1A2A2A3A3A4An1AnA1An. 【例 1】 (1)如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F 为线段 DE 延长线上一点，DEBC，ABCF，连接 CD，那么(在横线上只填一个向量)： ABDF_； ADFC_； ADBCFC_. (2)如图甲所示，求作向量和 ab； 如图乙所示，求作向量和
5、 abc. 甲 乙 思路探究 (1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简 (2)用三角形法则或平行四边形法则画图 (1)AC AB AC 如题图，由已知得四边形 DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： ABDFABBCAC. ADFCADDBAB. ADBCFCADDFFCAC. (2)解 首先作向量OAa，然后作向量ABb， 则向量OBab.如图所示 法一法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OAa，再作向量ABb，则得向量OBab，然后作向量BCc，则向量OC(ab)cabc 即为所求 法二法二(平行四边形法则)：如图
6、所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OAa，OBb，OCc，以 OA，OB 为邻边作OADB，连接OD，则ODOAOBab.再以 OD，OC 为邻边作ODEC，连接 OE，则OEODOCabc 即为所求 母题探究 1在本例(1)条件下，求CBCF. 解 因为 BCDF，BDCF， 所以四边形 BCFD 是平行四边形， 所以CBCFCD. 2在本例(1)图形中求作向量DADFCF. 解 过 A 作 AGDF 交 CF 的延长线于点 G， 则DADFDG，作GHCF，连接DH， 则DHDADFCF，如图所示 【规律方法】 1向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用 (2)两个向
7、量的和向量仍是一个向量 (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用 2利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量 提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 类型二 向量加法运算律的应用 【例 2】 (1)化简： BCAB； DBCDBC； ABDFCDBCFA. (2)如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： DGEACB； EGC
8、GDAEB. 思路探究 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向 量的结合律调整向量顺序后相加 解 (1)BCABABBCAC； DBCDBCBCCDDB0； ABDFCDBCFAABBCCDDFFA0. (2)DGEACBGCBECBGCCBBEGBBEGE； EGCGDAEBEGGDDAAEEDDAAEEAAE0. 【规律方法】 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义： 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 (2)应用原则： 利用代数方法通
9、过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序 【跟踪训练】 1向量(ABPB)(BOBM)OP化简后等于( ) A.BC B.AB C.AC D.AM D 原式(ABBM)(PBBOOP)AM0AM. 类型三 向量加法的实际应用 【例 3】 如图， 用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，ACW150 ， BCW120 ， 求 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计) 思路探究 解 如图所示，设CE，CF分别表示 A，B 所受的力，10 N的重力用CG表示，则CECFCG. 易得ECG180 150 30 ， FCG180 12
10、0 60 . |CE|CG| cos 30 10325 3， |CF|CG| cos 60 10125. A 处所受的力的大小为 5 3 N，B 处所受的力的大小为 5 N. 【规律方法】 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 【跟踪训练】 2在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35 的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55 的方向飞行800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和 解 设AB，BC分别表示飞机从 A 地按北偏东 35 的方向飞行800 km，从 B 地按南偏东 55 的方向飞行 800 km，则飞机飞行
11、的路程指的是|AB|BC|； 两次飞行的位移的和是ABBCAC. 依题意，有|AB|BC|8008001 600(km)， 又 35 ，55 ，ABC35 55 90 ， 所以|AC|AB|2|BC|2 80028002800 2(km) 其中BAC45 ，所以方向为北偏东 35 45 80 . 从而飞机飞行的路程是 1 600 km， 两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东 80 . 1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则 2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量
12、的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行 【课堂小结】 3使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成 0，而不能写成 0. 1判断正误 (1)任意两个向量的和仍然是一个向量( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线( ) (4)|a|b|ab|.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 【当堂达标】 2对于任意一个四边形 ABCD，下列式子不能化简为BC的是( ) A.BAADDC B.BDDAAC C.AB
13、BDDC D.DCBAAD C 在 A 中，BAADDCBDDCBC；在 B 中，BDDAACBAACBC；在 C 中，ABBDDCADDCAC；在 D中，DCBAADDCBDBDDCBC. 3若 a 表示“向东走 8 km”，b 表示“向北走 8 km”，则|ab|_，ab 的方向是_ 8 2 km 东北方向 如图所示，作OAa，ABb， 41 则 abOAABOB. 所以|ab|OB| 82828 2(km)， 因为AOB45 ， 所以 ab 的方向是东北方向 4如图所示，设 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求下列向量： (1)OAOC； (2)BCFE. 解 (1)由题图可知，四边形 OABC 为平行四边形 由向量加法的平行四边形法则，得OAOCOB. (2)由题图可知，BCFEODAO， BCFEAOODAD.