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2022届浙江省高考模拟卷数学试题(二)含答案解析

1、浙江省普通高等学校招生考试模拟数学试卷(二)选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 设集合,则等于( )A. B. C 或D. 2. 已知复数满足(是虚数单位),则复数的共轭复数为( )A. B. C. D. 3. 已知实数满足,则的最大值是( )A. B. 3C. 5D. 74. 已知函数,则是恒成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分不必要条件5. 设双曲线的左右焦点分别为,双曲线右支上一点P (异于顶点),交轴于,垂直于的角平分线,若,则双曲线的离心率为 ( )

2、A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是( )A. B. C. D. 7. 已知函数,若函数恰有个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 8. 对任意正实数不等式恒成立,则( )A. 实数有最小值1B. 实数有最大值1C. 实数有最小值D. 实数有最大值9. 如图,已知椭圆长轴端点为,短轴端点为,焦点为,.现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折,则在翻折过程中(不共面),以下说法不正确的是( )A. 存某个位置,使B. 存在某个位置,使二面角的平面角为C. 对任意位置,都有平面D. 异面直线与所成角取值范围是10. 已知数列满足,给出以下结论,正确的个数是( );存在无穷多个,使;

3、A. 4B. 3C. 2D. 1非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11. 函数的部分图象如图所示,则_;_.12. 已知,的系数为_;系数最大的项是第_项.13. 已知圆C的方程是,则实数m的取值范围是_;若C上恰有三个点到直线距离为1,则m=_.14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_,表面积为_.15. 在中,点P在的平分线上,则的最小值为_.16. 有编号分别为、的个红球和个黑球,从中取出个,设其中编号相同的球的对数为,则_.17. 若实数满足,则xy=_.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答题写出文字说明

4、、证明过程或演算步骤.18. 设A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在单位圆上,且其横坐标为,直角坐标系原点为O.(1)设是以OA为始边,OB为终边的角,求的值;(2)若P在单位圆上,且位于第一象限,点在第二象限,求的面积S的最大值.19. 在四棱锥中,二面角的大小为,且PA=PD=,.(1)求证:;(2)设E是直线PC上一点,求AE与平面PAB所成角正弦的最大值.20. 在数列中,当时,其前n项和满足:.(1)求证:数列是等差数列;(2)若对一切正整数n恒成立,求实数k的最大值.21. 已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合.(1)求抛物线的方程;(2)过点F作直线l交抛物线于A,C两点,过A

5、,C作l的垂线分别与y轴交于B,D,求四边形ABCD面积的最小值.22 已知函数.(1)设函数,且恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:;(3)设函数的两个零点、,求证:.浙江省普通高等学校招生考试模拟数学试卷(二)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 设集合,则等于( )A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合、,利用交集的定义可求得结果.【详解】因为,因此,.故选:D.2. 已知复数满足(是虚数单位),则复数的共轭复数为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简复数,利用

6、共轭复数的定义可得结果.【详解】由已知可得,因此,.故选:B.3. 已知实数满足,则的最大值是( )A. B. 3C. 5D. 7【答案】D【解析】【分析】先由约束条件作出可行域,化目标函数为,则表示直线在轴上的截距,结合图像,即可得出结果.【详解】先由约束条件作出可行域,如图将目标函数为则表示直线在轴上的截距要求的最大值,即求直线在轴上的截距的最大值.由图可知直线过点时,在轴上的截距的最大值.由,可得 所以的最大值为故选:D4. 已知函数,则是恒成立的( )A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用导数求出的最小值,然后可判断出

7、答案.【详解】因为,其定义域为所以所以当时,单调递增;当时,单调递减因为,所以所以由恒成立可得,所以是恒成立的必要不充分条件故选:B5. 设双曲线的左右焦点分别为,双曲线右支上一点P (异于顶点),交轴于,垂直于的角平分线,若,则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,根据条件可得,为等边三角形,然后可得,然后可得答案.【详解】因为,设,所以,因为垂直于的角平分线,所以,所以为等边三角形所以,由双曲线定义可得,所以因为,所以,所以故选:C6. 函数的大致图象是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用排除法,先判断函数的奇偶性,再取特殊值

8、验证即可【详解】因为,所以为奇函数,所以函数图象关于原点对称,所以排除CD,因为,所以排除B,故选:A7. 已知函数,若函数恰有个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析可知关于的方程有个不等的实根,构造函数,分析可知直线与函数的图象有两个交点,利用导数分析函数的单调性与极值,数形结合可得出实数的取值范围.【详解】易知,当时,由可得关于的方程有个不等的实根,令,当时,则,当时,则,此时函数单调递减,当时,则,此时函数单调递增,所以,函数的极小值为,作出函数与函数的图象如下图所示:由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,因此,实数的取值范围是.故选

9、:B.8. 对任意正实数不等式恒成立,则( )A. 实数有最小值1B. 实数有最大值1C. 实数有最小值D. 实数有最大值【答案】C【解析】【分析】化简得到,考虑和两种情况得到,根据均值不等式得到最值得到答案.【详解】,故,当时,不等式恒成立;当时,时等号成立,故,故.故选:C.9. 如图,已知椭圆的长轴端点为,短轴端点为,焦点为,.现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折,则在翻折过程中(不共面),以下说法不正确的是( )A. 存在某个位置,使B. 存在某个位置,使二面角的平面角为C. 对任意位置,都有平面D. 异面直线与所成角的取值范围是【答案】B【解析】【分析】选项A. 设在平面的射影为,当时,可

10、判断;选项B. 设为 的中点, 为二面角的平面角,从而可得范围,即可判断; 选项C. 由可判断; 选项D. 直线, 将左边半个椭圆沿短轴进行翻折,则在翻折过程中,异面直线与所成角,即为以为轴,为母线的圆锥的母线与所成角,从而可判断.【详解】由 ,所以为锐角则为锐角三角形,故过作的垂线,垂足在线段上,设,当平面时,则,又所以平面,且平面,所以,故A正确; 如图,设为 的中点,由 , 则 所以为二面角平面角.设, 则, 所以当时,所以所以,所以不存在某个位置,使二面角的平面角为,故B错;由,分别为的中点,则,由平面,平面,则平面,故C正确; 直线, 将左边半个椭圆沿短轴进行翻折,则在翻折

11、过程中异面直线与所成角,即为以为轴,为母线的圆锥的母线与所成角.以为轴,为母线的圆锥轴截面顶角为,故D正确.故选:B10. 已知数列满足,给出以下结论,正确的个数是( );存在无穷多个,使;A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】归纳猜想可说明正确错误,利用放缩法可证明,从而,可证明正确,由得,可知,累加法可证明正确.【详解】,,,则单调递增且大于0, 所以单调递增,所以 ,即故正确;令,则,所以在上单调递增,且当且仅当时,所以,即.因为,且,故正确;,由归纳法可知,故不存在无穷多个,使,故错误;由得,累加可得:可知正确.故选:B.非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题

12、共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11. 函数的部分图象如图所示,则_;_.【答案】 . . 【解析】【分析】由图象可得,利用图象得出函数的最小正周期,利用正弦型函数的周期公式可求得的值.【详解】由图象可得,函数的最小正周期为,所以,.故答案为:;.12. 已知,的系数为_;系数最大的项是第_项.【答案】 . 28 . 5【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式,然后令的次数为2,求出,从而可求出,利用二项式的性质可求得系数最大的项【详解】展开式的通项公式为,令,得,所以的系数为,因为的展开式有9项,所以由二项式的性质可知系数最大的项是第5项,故答案为:28,513. 已

13、知圆C的方程是,则实数m的取值范围是_;若C上恰有三个点到直线距离为1,则m=_.【答案】 . . 【解析】【分析】由二次方程表示圆的条件建立不等式,解之可求得实数m的取值范围;由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离,从而得出圆的半径,由此可求得m.【详解】解:由得,因为表示圆,所以,解得;因为圆C的圆心,半径,所以圆心到直线的距离为,又C上恰有三个点到直线距离为1,所以,解得,故答案为:;.14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_,表面积为_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据三视图还原该几何体即可求解【详解】由三视图还原该几何体,得该几何体为一个长、宽、高分别为2,2,

14、3的长方体和一个半径为2的半球的组合体,则其体积为,表面积为.答题空1:答题空2:【点睛】本题考查几何体的三视图、体积和表面积的计算,根据三视图正确还原几何体是解题的关键,属于简单题.15. 在中,点P在的平分线上,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设,由题意可得,从而表示出,,由数量积的定义可得答案.【详解】设方向上单位向量,设方向上的单位向量如图,设,则点在在的平分线上,所以由余弦定理得 所以 则 故 故答案为:16. 有编号分别为、的个红球和个黑球,从中取出个,设其中编号相同的球的对数为,则_.【答案】【解析】【分析】分析可知,可能取值有、,计算出随机变量在不同取值下的概率,可求得

15、随机变量的数学期望值.【详解】分析可知,的可能取值有、,则,因此,.故答案为:.17. 若实数满足,则xy=_.【答案】#【解析】【分析】依题意同构可得,再根据的性质可得,即可得解;【详解】解:因为,即,因为,所以,又且,而函数在R上为增函数,即.故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在单位圆上,且其横坐标为,直角坐标系原点为O.(1)设是以OA为始边,OB为终边的角,求的值;(2)若P在单位圆上,且位于第一象限,点在第二象限,求的面积S的最大值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)求出点的纵

16、坐标,然后可得答案;(2)设是以OA为始边,OB为终边的角,是以OA为始边,为终边的角,然后和三角函数的知识可求出答案.【小问1详解】因为点B在单位圆上,且其横坐标为,所以其纵坐标为所以【小问2详解】设是以OA为始边,OB为终边的角,是以OA为始边,为终边的角,则,其中所以当时, 19. 在四棱锥中,二面角的大小为,且PA=PD=,.(1)求证:;(2)设E是直线PC上一点,求AE与平面PAB所成角正弦的最大值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1) 取中点,证明,由线面垂直判定定理证明平面,由此可证;(2)建立空间直角坐标系利用向量法求AE与平面PAB所成角正弦再求其最大值.

17、【小问1详解】取中点,则,PO,BO平面POB,平面,平面, ;【小问2详解】以为原点,为x,y轴,建立空间直角坐标系,由(1)知,则,设,则设平面的法向量,则,故取设与平面所成角,则故与平面所成角正弦的最大值,20. 在数列中,当时,其前n项和满足:.(1)求证:数列是等差数列;(2)若对一切正整数n恒成立,求实数k的最大值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)由,代入条件整理可得,即化为,从而可证明.(2)由题意分离参数可得,令,讨论出的单调性,得出其最小项即可得出答案.【小问1详解】, 即,所以,故数列是等差数列;【小问2详解】(2) ,令,则,令得,.由令,解得所以数

18、列中当时单调递减,时单调递增.所以21. 已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合.(1)求抛物线的方程;(2)过点F作直线l交抛物线于A,C两点,过A,C作l的垂线分别与y轴交于B,D,求四边形ABCD面积的最小值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先求得椭圆的焦点坐标,再根据抛物线的焦点为椭圆的一个焦点求解;(2)设直线AC:y=kx+1,与抛物线方程联立,设,根据直线的位置关系,得到直线AB的方程,令x=0得到点B的坐标,同理得到点D的坐标,然后由结合韦达定理求解.【小问1详解】解:椭圆的焦点坐标为:,因为抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合,所以,故抛物线的方程为;【小问2详解】

19、解:设直线AC:y=kx+1,代入抛物线方程得:,设,则,直线,同样可得 ,由抛物线对称性,只需考虑的情形,则,所以,令,得,当时,当时,所以当时,四边形ABCD面积最小,最小值为:.22. 已知函数.(1)设函数,且恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:;(3)设函数的两个零点、,求证:.【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析【解析】【分析】(1)利用参变量分离法得出,利用导数求出函数的最小值,即可得出实数的取值范围;(2)证明出,即可证得结论成立;(3)分析可得,证得,利用基本不等式可得出,构造函数,分析看可知函数在上为增函数,分析得出,结合函数的单调性可证得结论成立.【小问1

20、详解】解:由可得,可得,令,其中,则,当时,此时函数单调递减,当时,此时函数单调递增,所以,所以,;【小问2详解】解:要证,即证,由(1)可知,当且仅当时,等号成立,令,其中,则,当时,此时函数单调递增,当时,此时函数单调递减,所以,因为和取等的条件不同,故,即;【小问3详解】解:由题知,得,得.得,不妨设,记.令,则,所以在上单调递增,所以,则,即,所以.因为,所以,即.令,则在上单调递增.又,所以,即,所以.点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.