1、章末复习课 【知识整合】 类型一 导数的几何意义 【例 1】 已知函数 f (x)x3x16. (1)求曲线 yf (x)在点(2，6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 yf (x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 yf (x)的某一切线与直线 y14x3 垂直，求切点坐标与切线的方程 【题型探究】 解 (1)f (x)(x3x16)3x21， f (x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf (2)13. 切线的方程为 y13(x2)(6)，即 y13x32. (2)设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f (x0)3x201， 直线 l 的方程
2、为 y(3x201)(xx0)x30 x016. 又直线 l 过点(0，0)，0(3x201)(x0)x30 x016. 整理得，x308，x02. y0(2)3(2)1626，k3 (2)2113. 直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26) (3)切线与直线 yx43 垂直，切线的斜率 k4. 设切点坐标为(x0，y0)，则 f (x0)3x2014，x0 1. x01，y014或 x01，y018.即切点为(1，14)或(1，18) 切线方程为 y4(x1)14 或 y4(x1)18. 即 y4x18 或 y4x14. 【规律方法】 1导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可
3、以求出曲线上任意一点处的切线方程 yy0f (x0)(xx0)，明确“过点 P(x0，y0)的曲线 yf (x)的切线方程”与“在点 P(x0，y0)处的曲线 yf (x)的切线方程”的异同点 2 围绕着切点有三个等量关系： 切点(x0， y0)， 则 kf (x0)， y0f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到 跟进训练 1设函数 f (x)x2bxaln x，若曲线 yf (x)在点(1，f (1)处的切线在 x 轴上的截距为2，在 y 轴上的截距为 2，求 a 与 b 的值 解 f (x)2xbax，f (1)1b，f (1)2ba， 曲线 yf (x)在点(
4、1，f (1)处的切线方程为 y1b(2ba)(x1)，即 y(2ba)xa1. 切线在 y 轴上的截距为 2，a12，a3. 又切线在 x 轴上的截距为2，1a2ba2，b2. 类型二 函数的单调性与导数 【例 2】 (1)若函数 f (x)x13sin 2xasin x 在(，)上单调递增，则 a 的取值范围是( ) A1，1 B1，13 C13，13 D1，13 (2)设函数 f (x)是奇函数 f (x)(xR)的导函数， f (1)0， 当 x0时， xf (x)f (x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A(，1)(0，1) B (1， 0)(1， ) C(，1)(1，0) D(
5、0，1)(1，) (1)C (2)A (1)f (x)123cos 2xacos x 123(2cos2x1)acos x43cos2xacos x53， f (x)在 R 上单调递增，则 f (x)0 在 R 上恒成立， 令 cos xt，t1，1， 则43t2at530 在1，1上恒成立， 即 4t23at50 在1，1上恒成立， 令 g(t)4t23at5， 则 g143a50，g143a50， 解得13a13，故选 C. (2)令 g(x)fxx，则 g(x)xfxfxx2，由题意知， 当 x0 时，g(x)0，g(x)在(0，)上是减函数 f (x)是奇函数，f (1)0， f (1
6、)f (1)0，g(1)f110， 当 x(0，1)时，g(x)0，从而 f (x)0； 当 x(1，)时，g(x)0，从而 f (x)0. 又g(x)fxxfxxfxxg(x)(x0)，g(x)是偶函数， 当 x(，1)时，g(x)0，从而 f (x)0； 当 x(1，0)时，g(x)0，从而 f (x)0. 综上，所求 x 的取值范围是(，1)(0，1)故选 A. 【规律方法】 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 fx与其导数 fx之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解. 求解参数范围的步骤为： 1对含参数的函数 fx求导，得到 fx； 2若函数 fx在a，b上单调递增，则
7、fx0 恒成立；若函数 fx在a，b上单调递减，则 fx0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； 3验证参数范围中取等号时， 是否恒有 fx0.若 fx0 恒成立， 则函数 fx在a，b上为常函数，舍去此参数值. 跟进训练 2若函数 f (x)13x312ax2(a1)x1 在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数 a 的取值范围 解 函数 f (x)的导数 f (x)x2axa1. 令 f (x)0，解得 x1 或 xa1. 当 a11，即 a2 时， 函数 f (x)在(1，)上为增函数，不合题意 当 a11，即 a2 时，函数 f (x)在(，1)上为增函数
8、， 在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数 依题意当 x(1，4)时，f (x)0， 当 x(6，)时，f (x)0. 故 4a16，即 5a7.因此 a 的取值范围是5，7. 类型三 函数的极值、最值与导数 探究问题 三次函数 f (x)ax3bx2cxd(a0)令 x1，x2为 f (x)的极值点 1在什么情况下，yf (x)有一个零点？ 提示 0 或 f (x1)f (x2)0， 即函数是单调的或者极大值和极小值同号 2在什么情况下，yf (x)有两个零点？ 提示 0 且 f (x1)f (x2)0.即函数有两个极值点且其中一个极值点为零 3在什么情况下，yf (x)有三个零点
9、？ 提示 0 且 f (x1)f (x2)0，即函数的极大值和极小值异号 【例 3】 已知函数 f (x)x3ax2b 的图象上一点 P(1，0)且在点 P 处的切线与直线 3xy0 平行 (1)求函数 f (x)的解析式； (2)求函数 f (x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值 解 (1)因为 f (x)3x22ax， 曲线在 P(1，0)处的切线斜率为 f (1)32a， 即 32a3，a3. 又函数过(1，0)点，即2b0，b2. 所以 a3，b2，f (x)x33x22. (2)由(1)得 f (x)x33x22， 得 f (x)3x26x. 由 f (x)0，得 x0 或
10、x2. 当 0t2 时，在区间(0，t)上， f (x)0，f (x)在0，t上是减函数， 所以 f (x)maxf (0)2，f (x)minf (t)t33t22. 当 2t3 时，当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： x 0 (0， 2) 2 (2，t) t f (x) 0 0 f (x) 2 2 t33t22 f (x)minf (2)2，f (x)max为 f (0)与 f (t)中较大的一个 f (t)f (0)t33t2t2(t3)0，所以 f (x)maxf (0)2. 母题探究 1(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于 x 的方程 f (x)c在区间1，
11、3上恰有两个相异的实根，求实数 c 的取值范围 解 令 g(x)f (x)cx33x22c， 则 g(x)3x26x3x(x2) 在 x1，2)上，g(x)0；在 x(2，3上，g(x)0. 要使 g(x)0 在1，3上恰有两个相异的实根， 则 g10，g20，g30，解得2c0. 2(变结论)在本例条件不变的情况下，若 ym 与 yf (x)的图象相切，求 m 的值 解 由例(1)知 f (x)x33x22. 且 x0 时 f (x)maxf (0)2. x2 时 f (x)minf (2)2. ym 与 yf (x)的图象相切，m2 或2. 【规律方法】 1求连续函数 f (x)在区间a，
12、b上的最值的方法 (1)若函数 f (x)在区间a， b上单调递增或递减， 则 f (a)与 f (b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数 f (x)在闭区间a，b内有极值，则要先求出a，b上的极值，再与 f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成 2已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法 根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题 已知 f (x)在某点 x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解 跟进训练 3已知函数 f
13、(x)a2ln xx2ax. (1)若 a1 时，求 f (x)的极值； (2)若 f (x)0 恒成立，求 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时，f (x)ln xx2x(x0)， 则 f (x)1x2x12x2x1x. 令 f (x)0，即2x2x1x0，得 2x2x10， 由于 x0，解得 x12. 当 0 x12时，f (x)0，当 x12时，f (x)0. 所以，函数 yf (x)有极大值 f 12ln1234，无极小值 (2)因为 f (x)0 恒成立，所以 f (x)max0， f (x)a2x2xa2x2axa2x2xaxax. 当 a0 时，令 f (x)0，则 xa， 当
14、 0 xa 时，f (x)0，此时，函数 yf (x)单调递增； 当 xa 时，f (x)0，此时，函数 yf (x)单调递减 f (x)maxf (a)a2ln aa2a2a2ln a0，0a1； 当 a0 时，f (x)x20，成立； 当 a0 时，令 f (x)0，则 xa2， 当 0 xa2时，f (x)0，此时，函数 yf (x)单调递增； 当 xa2时，f (x)0，此时，函数 yf (x)单调递减 f (x)maxf a2a2lna2a24a22a2lna234a20， 即 lna234，得 0a2e34，解得2e34a0. 综上所述，实数 a 的取值范围为2e34，1. 类型四
15、 导数在生活中的应用 【例 4】 如图，曲线 AH 是一条居民平时散步的小道， 小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活， 要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所，已知空地 ABCD 和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，AB144，AD150，CH30，若以 AB 所在直线为 x 轴，A 为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线 AH 的方程为 ya x，记 AMt，规划的两块用地的面积之和为 S(单位：米) (1)求 S 关于 t 的函数 S(t)； (2)求 S 的最大值 解 (1)根据所建平面直角坐标系， 可得点 H(144，120)， 所以 120a 144，解得 a10，
16、又 AMt，所以 P(t，10 t)， 所以 S 关于 t 的函数关系式为 S(t)t (15010 t)(144t) 10 t 150t20t t1 440 t(0t144) (2)令 m t，则 S150m220m31 440m(0m12)， 所以 S300 m60m21 44060(m3)(m8)， S0m8 负值舍去；S00m8；S08m12； 所以函数 S 在区间(0，8)上单调递增，在区间(8，12)上单调递减， 所以当 m8 时，S 取得最大值，为 10 880 平方米 答：S 的最大值为 10 880 平方米 【规律方法】 解决优化问题的步骤 1要分析问题中各个数量之间的关系，
17、建立适当的函数模型，并确定函数的定义域. 2要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案， 使问题得以解决， 在这个过程中， 导数是一个有力的工具. 3验证数学问题的解是否满足实际意义. 跟进训练 4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为643立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为 3 千元， 半球体部分每平方米建造费用为4 千元设该容器的总建造费用为 y 千元 (1)将 y 表示成 r 的函数，并求该函数的定义域； (2)确定 r 和 l 为何值时， 该容器的建造费用最小， 并求出最小建造费用 解 (1)由题意可知 4r33r2l643，l643r24r3. 又圆柱的侧面积为 2rl1283r8r23， 两端两个半球的表面积之和为 4r2. 所以 y1283r8r2334r24128r8r2. 又 l643r24r30r243，所以定义域为(0，243) (2)因为 y128r216r16r38r2， 所以令 y0，得 2r243；令 y0，得 0r2. 所以当 r2 米时，该容器的建造费用最小， 为 96 千元，此时 l83米