1、5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y1x，y x的导数(难点) 2掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用(重点、易混点) 3能利用导数的运算法则求函数的导数(重点、易混点) 1.通过基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，体现数学运算的核心素养 2 借助导数运算法则的应用，提升逻辑推理的核心素养. 1几个常用函数的导数 (1)f (x)c(常数)，则 f (x)0； (2)f (x)x，则 f (x)1； (3)f (x)x2，则 f (x)2x； (4)f (x)x3，则 f
2、(x)3x2； (5)f (x)1x，则 f (x)1x2； (6)f (x) x，则 f (x)12 x. 【新知初探】 2基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)c(c 为常数) f (x)_ f (x)x(Q，且 0) f (x)_ f (x)sin x f (x)_ f (x)cos x f (x)_ f (x)ax(a0，且 a1) f (x)_(a0，且 a1) f (x)ex f (x)_ f (x)logax(a0，且 a1) f (x) (a0，且 a1) f (x)ln x f (x) 0 x1 cos x sin x axln a ex 1xln a 1x 3导
3、数的运算法则 (1)和差的导数f (x) g(x)_ (2)积的导数 f (x)g(x)_； cf (x)_ (3)商的导数fxgx (g(x)0) f (x) g(x) f (x)g(x)f (x)g(x) cf (x) fxgxfxgxgx2 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 f (x)0，则 f (x)0( ) (2)若 f (x)f (x)g(x)，则 F (x)f (x)g(x)( ) (3)若 f (x)ln x，则 f (e)1( ) (4)若f (x)x32x， 那么f (x)在x0处的切线最小时x00 ( ) 【初试身手】 提示 (2)f (x)g(x)f
4、(x)g(x)f (x)g(x)，(2)错； (3)f (x)ln x 时，f (x)1x.f (e)1e1，(3)错 (4)f (x)x32x，f (x)3x22，当 x0 时，f (x)min2，(4)正确 答案 (1) (2) (3) (4) 212等于( ) A12 B1 C0 D12 2 C 因常数的导数等于 0，故选 C. 3(1)x2x_；(2)(xex)_. (1)1xln 22x (2)(1x)ex (1)x2x2xx2xln 22x21xln 22x； (2)(xex)exxex(1x)ex. 4设函数 f (x)在(0，)内可导，且 f (ex)xex，则 f (1)_.
5、 2 法一：令 ext(t0)，则 xln t，f (ex)xex， f (t)ln tt，f (t)1t1，f (1)112. 法二：对函数两边同时求导，得 f (ex)1ex， 令 x0，得 f (e0)f (1)1e02. 类型一 利用导数公式求函数的导数 【例 1】 求下列函数的导数 (1)ycos 6；(2)y1x5；(3)yx2x； (4)ylg x；(5)y5x；(6)ycos2x . 【合作探究】 解 (1)ycos 632，y0. (2)y1x5x5，y5x6. (3)yx2xx2x12x32，y32x12. (4)ylg x，y1xln 10. (5)y5x，y5xln 5
6、. (6)ycos2x sin x，ycos x. 【规律方法】 1若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2 对于不能直接利用公式的类型， 一般遵循“先化简， 再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误 3要特别注意“1x与 ln x”，“ax与 logax”，“sin x 与 cos x”的导数区别 跟进训练 1求下列函数的导数： (1)yx3x；(2)yxx(x0)；(3)ysin(x) 解 (1)yx3xx43，yx4343x13433x. (2)yxx x(x0)，y( x)12 x. (3)ysin(x)sin x，ycos x. 类型二 利用导数的运算法则求导数 探究问题 1如
7、何求函数 ytan x 的导数？ 提示 ytan xsin xcos x， 故 ysin xcos xcos xsin xcos x2cos2xsin2xcos2x1cos2x. 2如何求函数 y12sin 2x 的导数？ 提示 y12sin 2xsin xcos x y(sin x)cos xsin x(cos x)cos2xsin2xcos 2x. 【例 2】 求下列函数的导数： (1)yx3sin x；(2)y3x2xcos x；(3)yx1x1. 解 (1)y(x3sin x)(x3)(sin x)3x2cos x. (2)y(3x2xcos x)(3x2)(xcos x) 32xxc
8、os xx(cos x) 6xcos xxsin x. (3)yx1x1x1x1x1x1x122x12. 母题探究 1(变条件)把例 2(2)的函数换成“yx2sin x2cos x2”，求其导数 解 yx2sinx2 cosx2x212sin x，y2x12cos x. 2(变条件)把例 2(3)的函数换成“yxtan x”，求其导数 解 y(x tan x)xsin xcos xxsin xcos xxsin xcos xcos2x sin xxcos xcos xxsin2xcos2xsin xcos xxcos2x. 【规律方法】 仔细观察和分析函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基
9、本初等函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形.另外，对较复杂的函数求导时，可先化简再求导，特别地，对于对数函数的真数是根式或分式时，可先根据对数函数的性质将真数转化为有理式或整式，然后求导. 类型三 导数计算的综合应用 【例 3】 (1)已知函数 f (x)axx23，若 f (1)12，则实数 a 的值为( ) A2 B4 C6 D8 (2)已知函数 f (x)ax3bx2cx 的图象过点(1，5)，其导函数yf (x)的图象如图所示，则函数 f (x)的解析式为_ (1)B (2)f (x)2x39x212x (1)f (x)axx23， f (x)ax232ax2x2323
10、aax2x232. f (1)12，3aa4212，解得 a4.故选 B. (2)因为 f (x)3ax22bxc，f (1)0，f (2)0， f (1)5，所以 3a2bc0，12a4bc0，abc5，解得 a2，b9，c12. 故函数 f (x)的解析式是 f (x)2x39x212x. 【规律方法】 三次函数求导问题 由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.这类题目比较受学生的青睐，解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影响等. 跟进训练 3如图中有一个图象是函数 f (x)13x3ax2(a21)x1
11、(aR，且 a0)的导函数的图象，则 f (1)( ) (1) (2) (3) A13 B13 C73 D13或53 B f (x)x22axa21x(a1)x(a1)， 图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是 y 轴，此时 a0，与题设不符合， 故图(3)中的图象是函数 f (x)的导函数的图象 由图(3)知 f (0)0，由根与系数的关系得 a1a10，a1a10， 解得 a1.故 f (x)13x3x21，所以 f (1)13. 1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归 2有些函数可先化
12、简再应用公式求导，如求 y12sin2x2的导数，因为 y12sin2x2cos x，所以 y(cos x)sin x. 3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化. 【课堂小结】 1给出下列命题： yln 2，则 y12；y1x2，则 y|x3227； y2x，则 y2xln 2；ylog2x，则 y1xln 2. 其中正确命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【学以致用】 C 对于，y0，故错；对于，y2x3， y|x3227，故正确；显然正确，故选 C. 2下列函数满足 f (x)f (x)的是( ) Af (x)ex Bf (x)cos x Cf
13、(x)sin x Df (x)ln x A 若 f (x)ex，则 f (x)exf (x)，故 A 正确；若 f (x)cos x，则f (x)sin xf (x)， 故 B错误； 若f (x)sin x， 则f (x)cos xf (x)，故 C 错误；若 f (x)ln x，则 f (x)1xf (x)，故 D 错误故选 A. 3已知 f (x)x(Q 且 0)，若 f (1)14，则 等于( ) A13 B12 C18 D14 D f (x)x，f (x)x1，f (1)14. 4函数 ysin xex在点(0，1)处的切线方程为_ 2xy10 当 x0 时，ysin 0e01，即点(
14、0，1)在函数 ysin xex的曲线上ysin xex的导数 ycos xex，在点(0，1)处的切线斜率为 kcos 0e02，即在点(0，1)处的切线方程为 2xy10. 5求下列函数的导数： (1)y5x3；(2)ylog2x2log2x； (3)ycos xx；(4)y2sin x212cos2x4. 解 (1)y(5x3)x3535x35135x25355x2. (2)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x)1xln 2. (3)法一：y1x cos x1xcos x1x(cos x) x12cos x1xsin x12x32cos x1xsin x cos x2 x31xsin xcos x2x x1xsin xcos x2xsin x2x x. 法二：ycos xxcos x xcos x x x2 sin x xcos x12 x12xxsin xcos x2 xxcos x2xsin x2x x. (4)y2sin x212cos2x4 2sin x22cos2 x41 2sin x2cos x2sin x， y(sin x)cos x.