1、5.1.2 导数的概念及其几何意义 学 习 目 标 核 心 素 养 1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景 2 了解导函数的概念， 理解导数的几何意义 3 根据导数的几何意义， 会求曲线上某点处的切线方程(重点) 4 正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程(易混点) 1.通过导数概念和导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养 2借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养. 1导数的概念 如果当 x0 时， 平均变化率yx无限趋近于一个确定的值， 即yx有极限， 则称 yf (x)在 xx0处_， 并把这个_叫做 yf (x)在 x
2、x0处的导数(也称为_)，记作 f (x0)或_，即f (x0) . 可导 确定的值 瞬时变化率 y|xx0 limx0 yx limx0 fx0 xfx0 x 【新知初探】 思考：f (x0)0 和 f (x0)0 反映了怎样的意义？ 提示 f (x0)0 反映了瞬时变化率呈增长趋势，f (x0)0反映了瞬时变化率呈下降趋势 2导数的几何意义 (1)导数的几何意义 如图，割线 P0P 的斜率 k_.记 xxx0，当点 P 沿着曲线 yf (x)无限趋近于点 P0时，即当 x0 时，k 无限趋近于函数yf (x)在 xx0处的导数， 因此， 函数 yf (x)在 xx0处的导数 f (x0)就
3、是_的斜率 k0，即 k0limx0 fx0 xfx0 xf (x0) fxfx0 xx0 切线 P0T (2)切线方程 曲线 yf (x)在点(x0，f (x0)处的切线方程为_ yf (x0)f (x0)(xx0) 3导函数 对于函数 yf (x)，当 xx0时，f (x0)是一个唯一确定的数，当 x 变化时， f (x)便是 x 的一个函数， 我们称它为 yf (x)的导函数(简称为导数)， 即 f (x)y . limx0 fxxfxx 思考： f (x0)与 f (x)有什么区别？ 提示 f (x0)是一个确定的数，而 f (x)是一个函数 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)
4、(1)函数 yf (x)在 xx0处的导数即为在该点处的斜率，也就是 kf (x0)( ) (2)f (x1)f (x2)反映了曲线在xx1处比在xx2处瞬时变化率较大( ) (3)f (x0)就是导函数 yf (x)在 x0处的函数值( ) (4)若 f (x0)0，则曲线在 xx0处切线不存在( ) 【初试身手】 提示 (1)根据导数的几何意义知正确 (2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误 (3)根据导函数的定义知正确 (4)若 f (x0)0 说明曲线在 xx0处切线平行于 x 轴，不能说不存在 答案 (1) (2) (3) (4) 2若曲线 yf (x)在点(x0，f (
5、x0)处的切线方程为 2xy10，则( ) Af (x0)0 Bf (x0)0 Cf (x0)0 Df (x0)不存在 C 由题意可知，f (x0)20，故选 C. 3函数 yf (x)的图象如图所示，下列描述错误的是( ) Ax5 处比 x2 处变化快 Bx4 处呈上升趋势 Cx1 和 x2 处增减趋势相反 Dx0 处呈上升趋势 D 根据导数的几何意义：f (5)0，f (4)0，f (2)0， f (0)0，f (1)f (2)0，故 D 错误，故选 D. 4已知函数 f (x)在 x0处的导数为 f (x0)1，则函数 f (x)在 x0处切线的倾斜角为_ 45 设切线的倾斜角为 ，则
6、tan f (x0) 1， 又 0 ，180 )，45 . 5若函数 f (x)在点 A(1，2)处的导数是1，那么过点 A的切线方程是_ xy30 切线的斜率为 k1，点 A(1，2)处的切线方程为 y2(x1)，即 xy30. 类型一 求函数在某点处的导数 【例 1】 (1)若函数 yf (x)在 xx0处可导， 则limh0 fx0hfx0hh等于( ) Af (x0) B2f (x0) C2f (x0) D0 (2)求函数 y3x2在 x1 处的导数 【合作探究】 (1)B x(x0h)(x0h)2h. limh0 fx0hfx0hh 2limh0 fx0hfx0h2h2f (x0)故
7、选 B. (2)解：yf (1x)f (1)3(1x)236x3(x)2， yx63x，f (1)limx0 yxlimx0 (63x)6. 【规律方法】 利用导数定义求导数 1取极限前，要注意化简yx，保证使 x0 时分母不为 0. 2函数在 x0处的导数 f x0只与 x0有关，与 x 无关. 3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛. 跟进训练 1建造一栋面积为 x m2的房屋需要成本 y 万元，y 是 x 的函数，yf (x)x10 x100.3，求 f (100)，并解释它的实际意义 解 根据导数的定义，得 f (100)limx0 yxlimx0 f100 xf100 x li
8、mx0 100 x 100 x3100 100310 x limx0 110100 x1010 x limx0 110110 100 x10 1101101010 0.105. f (100)0.105 表示当建筑面积为 100 m2时， 成本增加的速度为 1 050 元/m2. 类型二 导数几何意义的应用 【例 2】 (1)已知函数 yf (x)的图象如图所示， 则其导函数yf (x)的图象可能是( ) A B C D (2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测， 这四种方案均能在规定时间 T 内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下
9、所示 在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( ) A B C D (1)B (2)B (1)由 yf (x)的图象及导数的几何意义可知，当 x0 时， f (x)0； 当 x0 时， f (x)0； 当 x0 时， f (x)0，故 B 符合 (2)从函数图象上看，要求图象在0，T上越来越陡峭，在各选项中，只有 B 项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高故选 B. 【规律方法】 导数几何意义理解中的两个关键 关键点一：yf x在点 xx0处的切线斜率为 k，则 k0f x00；k0f x00；k0f x00. 关键点二：|f x0|越大在
10、x0处瞬时变化越快；|f x0|越小在 x0处瞬时变化越慢. 跟进训练 2(1)已知 yf (x)的图象如图所示，则 f (xA)与 f (xB)的大小关系是( ) Af (xA)f (xB) Bf (xA)f (xB) Cf (xA)f (xB) D不能确定 (2)若曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则( ) Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 (1)B (2)A (1)由导数的几何意义，f (xA)，f (xB)分别是切线在点 A、B 处切线的斜率，由图象可知 f (xA)f (xB) (2)由题意， 知 ky|x0limx0 0 x2a0 x
11、bbx1， a1，又点(0，b)在切线上，b1，故选 A. 类型三 求切线方程 探究问题 1如何求曲线 f (x)在点(x0，f (x0)处的切线方程？ 提示 yy0k(xx0)即根据导数的几何意义，求出函数 yf (x)在点(x0，f (x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程 2曲线 f (x)在点(x0，f (x0)处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？ 提示 曲线 f (x)在点(x0，f (x0)处的切线，点(x0，f (x0)一定是切点，只要求出 kf (x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线 f (x)过某点(x0，y0)的切线
12、，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点 3曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ 提示 不一定曲线 yf (x)在点 P(x0，y0)处的切线 l 与曲线 yf (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示 【例 3】 已知曲线 C：yx3. (1)求曲线 C 在横坐标为 x1 的点处的切线方程； (2)求曲线 C 过点(1，1)的切线方程 解 (1)将 x1 代入曲线 C 的方程得 y1，切点 P(1，1) y|x1limx0 yxlimx0 1x31xlimx033x(x)23. ky|x13，曲线在点 P(1，1)处的切线方程为 y13(x1)，即 3xy20
13、. (2)设切点为 Q(x0，y0)，由(1)可知 y|xx03x20， 由题意可知 kPQy|xx0，即y01x013x20， 又 y0 x30，所以x301x013x20，即 2x303x2010，解得 x01 或 x012. 当 x01 时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为 3xy20. 当 x012时，切点坐标为12，18， 相应的切线方程为 y1834x12，即 3x4y10. 母题探究 1(变条件)把题中条件“yx3”改成“yx2”，求曲线在 x1 点处的切线方程 解 把 x1 代入 yx2得 y121.即切点 P(1，1)， y|x1limx0 yxlimx0 1x21xl
14、imx0 (x2)2， ky|x12，曲线 yx2在 P(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，即 2xy10. 2(变条件、变结论)求曲线 yx21 过点 P(1，0)的切线方程 解 设切点为 Qa，a21， klimx0 faxfaxlimx0 (2ax)2a. 在 Q 点处的切线方程为 y(a21)2a(xa)(*) 把点(1，0)代入(*)式得(a21)2a(1a) 解的 a1 2，再把 a1 2代入到(*)式中 即得 y(22 2)x(22 2)或 y(22 2)x(22 2) 这就是所求的切线方程 【规律方法】 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已
15、知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数 yf (x)在点 x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy0f (x0)(xx0) (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程 1函数 f (x)在 xx0处的导数 f (x0)0 并不能说明函数图象的上升与下降发生了转变，若函数在 xx0左右的导数都大于 0，或者都小于 0，则函数图象的走势并没有发生转变如函数 f (x)x3在x0 处的导数等于 0，但 f (x)x3的图象一直上升 【课堂小结】 2求切线方程时，
16、不仅要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解 (1)若“在”，则该点为切点 (2)若“过”， 则该点不一定是切点； 若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点 3曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度， 可以判断出曲线升降的快慢 1下面说法正确的是( ) A若 f (x0)不存在，则曲线 yf (x)在点(x0，f (x0)处没有切线 B若曲线 yf (x)在点(x0，f (x0)处有切线，则 f (x0)必存在 C若 f (x0)不存在，则曲线 yf (x)在点(x0，f (x0)处的切线斜率不存在 D若曲线 yf (x)在点(x0，f (
17、x0)处没有切线，则 f (x0)有可能存在 【学以致用】 C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故 A，B，D 错误 2 已知函数 yf (x)是可导函数， 且 f (1)2， 则limx0 f1xf12x( ) A12 B2 C1 D1 C 由题意可得：limx0 f1xf12x12limx0 f1xf1x12f (1)， 即：limx0 f1xf12x1221.故应选 C. 3设曲线 f (x)ax2在点(1，a)处的切线与直线 2xy60平行，则 a 等于( ) A1 B12 C12 D1 A 因为 f (1)limx0 a
18、1x2a12xlimx0 2axax2x limx0 (2aax)2a，所以 2a2，所以 a1. 4曲线 f (x)2x在点(2，1)处的切线方程为_ x2y40 f (2)limx0 f2xf2x limx0 22x1xlimx0 12x12， 切线方程为 y112(x2)，即 x2y40. 5已知曲线 y2x27 在点 P 处的切线方程为 8xy150，求切点 P 的坐标 解 设切点 P(m，n)，切线斜率为 k， 由 ylimx0 yxlimx0 2xx272x27x limx0 (4x2x)4x，得 ky|xm4m. 由题意可知 4m8，m2. 代入 y2x27 得 n1，故所求切点 P 为(2，1)