1、5.1.1 变化率问题 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过对大量实例的分析， 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率(重点) 3.理解函数的平均变化率， 瞬时变化率及瞬时速度的概念(易混点) 1.通过对函数的平均变化率、 瞬时变化率、瞬时速度的概念的学习，培养数学抽象的核心素养. 2.通过求平均变化率、 瞬时变化率及瞬时速度的学习， 培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 1平均变化率 对于函数 yf (x)，从 x1到 x2的平均变化率： (1)自变量的改变量：x_. (2)函数值的改变量：y_ (3)平均变化率yx . x2x1 f (x2)f (
2、x1) fx2fx1x2x1 fx1xfx1x 【新知初探】 思考：x，y 以及平均变化率一定为正值吗？ 提示 x，y 可正可负，y 也可以为零，但 x 不能为零，平均变化率yx可正可负可为零 2瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在_的速度称为瞬时速度 (2)函数 f (x)在 xx0处的瞬时变化率是函数 f (x)从 x0到 x0 x 的平均变化率在 x0 时的极限，即limx0 yx . 某一时刻 limx0 fx0 xfx0 x 3曲线的切线斜率 (1)设 P0(x0，f (x0)，P(x，f (x)是曲线 yf (x)上任意不同两点，则平均变化率fxfx0 xx0fx0 xfx0 x为割
3、线 P0P 的_ (2)当 P 点逐渐靠近 P0点，即 x 逐渐变小，当 x0 时，瞬时变化率 就是 yf (x)在 x0处的_的斜率即 k . 斜率 切线 limx0 fx0 xfx0 x limx0 fx0 xfx0 x 思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？ 提示 不是二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在 xx0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)x 趋近于零时表示 x0( ) (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等( ) (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况( ) (4)
4、函数 yf (x)在某 xx0的切线斜率可写成 klimx0 fx0 xfx0 x( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 【初试身手】 2函数 yf (x)，自变量 x 由 x0改变到 x0 x 时，函数的改变量 y 为( ) Af (x0 x) Bf (x0)x Cf (x0)x Df (x0 x)f (x0) D yf (x0 x)f (x0)，故选 D. 3若一质点按规律 s8t2运动，则在一小段时间2，2.1内的平均速度是( ) A4 B4.1 C0.41 D1.1 B vsts2.1s22.122.12220.14.1，故选 B. 4一辆汽车运动的速度为 v(t)t22，则该汽
5、车在 t3 时的加速度为_ 6 vt3t22322tt26tt6t， 当 t0 时，vt6，即汽车在 t3 时加速度为 6. 5火箭发射 t s 后，其高度(单位：m)为 h(t)0.9t2.那么 t_ s时火箭的瞬时速度为 3.6 m/s. 2 ht0.9t0t20.9t20t1.8tt00.9t2t0.9t1.8t0. 当 t0 时ht1.8 t0.即 tt0时的瞬时速度为 1.8t0， 由 1.8t03.6 得 t02. 类型一 求平均变化率 【例 1】 (1)如图，函数 yf (x)在1，5上的平均变化率为( ) A12 B12 C2 D2 (2)函数 y2x21 在区间1， 1x内的
6、平均变化率为_ 【合作探究】 (1)B (2)42x (1)yxf5f151135112.故选 B. (2)y2(1x)21(2121)2x(2x)， 所以平均变化率为yx2x2xx42x. 【规律方法】 1求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量 xx2x1； 第二步，求函数值的改变量 yf (x2)f (x1)； 第三步，求平均变化率yxfx2fx1x2x1. 2求平均变化率的一个关注点 求点 x0附近的平均变化率，可用fx0 xfx0 x的形式 跟进训练 1函数 yx2从 x0到 x0 x(x0)的平均变化率为 k1，从 x0 x到 x0的平均变化率为 k2，则 k1与 k2
7、的大小关系是( ) Ak1k2 Bk1k2 Ck1k2 Dk1与 k2的大小关系不确定 A 函数 yf (x)x2从 x0到 x0 x 的改变量为 y1f (x0 x)f (x0)(x0 x)2x20 x(2x0 x)， k1y1x2x0 x. 函数 yf (x)x2从 x0 x 到 x0的改变量为 y2f (x0)f (x0 x)x20(x0 x)2x(2x0 x)， k2y2x2x0 x，k1k22x，而 x0，k1k2. 类型二 求瞬时速度 探究问题 1物体的路程 s 与时间 t 的关系是 s(t)5t2，如何计算物体在1，1t这段时间内的平均速度？ 提示 s5(1t)2510t5(t)
8、2，vst105t. 2当 t 趋近于 0 时，探究 1 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示 当 t 趋近于 0 时，st趋近于 10，这时的平均速度即为当 t1 时的瞬时速度 【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可用函数 s(t)t2t1 表示，求物体在 t1 s 时的瞬时速度 解 sts1ts1t 1t21t11211t3t， limt0 stlimt0 (3t)3. 物体在 t1 处的瞬时变化率为 3. 即物体在 t1 s 时的瞬时速度为 3 m/s. 母题探究 1(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度 解 求物体的初速度，即
9、求物体在 t0 时的瞬时速度 sts0ts0t0t20t11t1t， limt0 (1t)1. 物体在 t0 时的瞬时变化率为 1，即物体的初速度为 1 m/s. 2(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 9 m/s. 解 设物体在 t0时刻的瞬时速度为 9 m/s. 又stst0tst0t(2t01)t. limt0 stlimt0 (2t01t)2t01. 则 2t019，t04. 则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s. 【规律方法】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 sst，则求物体在 tt0时刻的瞬时速度的步
10、骤如下： 1写出时间改变量 t，位移改变量 ssst0tst0. 2求平均速度：vst. 3求瞬时速度 v：当 t0 时，stv常数. 类型三 求函数在某点的切线斜率及方程 【例 3】 (1)已知函数 yx1x，则该函数在点 x1 处的切线斜率为_ (2)求曲线 f (x)x21 在点 P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程 (1)2 y(1x)11x111 x111xxx1x， yxxx1xx111x， 斜率 klimx0 yxlimx0 111x112. (2)解 显然点 P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义， 可知切线的斜率为 klimx0 f1xf1x limx0 1x2112
11、1x limx0 x22xx limx0 (x2) 2. 故切线方程为 y22(x1)，即 y2x. 【规律方法】 求函数 yf (x)在点 x0处的导数的三个步骤 跟进训练 2求函数 y4x2在 x2 处的切线方程 解 y4x224224x221x24xx22， yxx4x22， klimx0 yxlimx0 x4x22441. 又 x2 时 y4221， 切线方程为 y11(x2)，即 xy30. 1函数 yf (x)在 xx0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况即： klimx0 yxlimx0 fx0 xfx0 x limxx0 fxfx0 xx0
12、. 2瞬时速度与平均速度的区别和联系 区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于 0 时的极限值 【课堂小结】 1一物体的运动方程是 s32t，则在2，2.1这段时间内的平均速度是( ) A0.4 B2 C0.3 D0.2 B vs2.1s22.124.240.12. 【学以致用】 2物体自由落体的运动方程为 s(t)12gt2，g9.8 m/s2，若 v limt0 s1ts1t9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( ) A9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段
13、时间内的速率 B9.8 m/s 是 1 s 到(1t)s 这段时间内的速率 C9.8 m/s 是物体在 t1 s 这一时刻的速率 D9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1t)s 这段时间内的平均速率 C 结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确 3已知函数 f (x)2x21 的图象上一点(1，1)及其附近一点(1x，f (1x)，则yx等于_ 42x yf (1x)f (1)2(1x)21(2121)4x2(x)2，yx2x4. 4设函数 f (x)在 x1 处切线斜率为 2，则limx0 f1xf13x_. 23 根据条件知 klimx0 f1xf1x2， limx0 f1xf13x13limx0 f1xf1x23. 5已知函数 f (x)3x25，求 f (x)： (1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率； (2)在区间x0，x0 x上的平均变化率 解 (1)因为 f (x)3x25， 所以从 0.1 到 0.2 的平均变化率为 30.22530.1250.20.10.9. (2)f (x0 x)f (x0)3(x0 x)25(3x205) 3x206x0 x3(x)253x2056x0 x3(x)2. 函数 f (x)在区间x0，x0 x上的平均变化率为 6x0 x3x2x6x03x.