1、4.4 数学归纳法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解数学归纳法的原理(难点、易混点) 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重点、难点) 1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养. 2.通过数学归纳法的应用，培养学生逻辑推理的核心素养. 1数学归纳法的定义 一般地， 证明一个与正整数 n 有关的命题， 可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当 nn0(n0N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当 nk(kN*，kn0)时命题成立”为条件，推出“当_时命题也成立” 只要完成这两个步骤， 就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立这种证明方法称为数学归纳法
2、nk1 【新知初探】 思考：数学归纳法的第一步 n0的初始值是否一定为 1? 提示 不一定如证明 n 边形的内角和为(n2) 180 ，第一个值 n03. 2数学归纳法的框图表示 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可( ) (2)数学归纳法证明 3nn2(n3，nN*)，第一步验证 n3( ) (3)设 Sk1k1k11k21kk，则 Sk11k1k11k2 1k1k1( ) 【初试身手】 提示 (1)数学归纳法两个步骤缺一不可， (3)中，Sk11k11k212k12k112k1. 答案 (1) (2) (3) 2用数学归纳法证明 1aa2
3、an11an21a(a1， nN*)，在验证 n1 成立时，左边计算所得的项是( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 C 当 n1 时，左边1aa111aa2，故 C 正确 3用数学归纳法证明 123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是( ) A(2k1)(2k2) B(2k1)(2k1) C(2k2)(2k3) D(2k2)(2k4) C 当 nk 时，左边是共有 2k1 个连续自然数相加，即 123(2k1)，所以当 nk1 时，左边共有 2k3 个连续自然数相加，即 123(2k1)(2k2)(2k3) 所以左边需增添的代数式是(2k2)
4、(2k3)故选 C. 4 已知 f (n)112131n(nN*)， 计算得 f (2)32， f (4)2，f (8)52， f (16)3， f (32)72， 由此推测， 当 n2 时， 有_ 答案 f (2n)n22 5已知数列an满足 a1a，2an1anan11，猜想an的通项an_. n1n2ann1a a1a，由 2an1anan11 得 a212a， a32a32a，a432a43a，所以可猜想 ann1n2ann1a. 类型一 用数学归纳法证明等式 【例 1】 (1)用数学归纳法证明(n1) (n2) (nn) 2n13(2n1)(nN*)，“从 k 到 k1”左端增乘的代
5、数式为_ (2)用数学归纳法证明： 12132235n22n12n1nn122n1(nN*) 【合作探究】 (1)2(2k1) 令 f (n)(n1)(n2)(nn)，则 f (k)(k1) (k2)(kk)， f (k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)， 所以fk1fk2k12k2k12(2k1) (2)证明：当 n1 时，12131223成立 假设当 nk(kN*)时等式成立，即有 12132235k22k12k1kk122k1， 则当 nk1 时，12132235k22k12k1k122k12k3 kk122k1k122k12k3k1k222k3， 即当 nk1 时等式也成
6、立 由可得对于任意的 nN*等式都成立 【规律方法】 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 1弄清 n 取第一个值 n0时等式两端项的情况； 2弄清从 nk 到 nk1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； 3证明 nk1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 nk1 证明目标的表达式变形. 跟进训练 1用数学归纳法证明等式 12223242(1)n1n2(1)n1nn12. 证明 当 n1 时，左边121， 右边(1)01221，左边右边，等式成立； 假设当 nk(k1，kN*)时等式成立， 即有 12223242(1)k1k2(1)k1kk12， 那么，当 nk1 时，
7、 12223242(1)k1k2(1)k (k1)2 (1)k1kk12(1)k (k1)2 (1)k(k1)k1k2(1)kk1k22， 所以当 nk1 时，等式也成立， 由知，对任意 nN*，都有 12223242(1)n1n2(1)n1nn12. 类型二 归纳猜想证明 【例 2】 已知数列114，147，1710，13n23n1的前 n 项和为 Sn，计算 S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明 解 S1114 14 ；S214 147 27 ； S327 1710 310 ；S4310 11013 413 . 可以看出，上面表示四个结果的分数中，
8、分子与项数 n 一致， 分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想Snn3n1 . 下面用数学归纳法证明这个猜想 (1)当 n1 时，左边S114 ， 右边n3n1 1311 14 ，猜想成立 (2)假设当 nk(kN*)时猜想成立，即 114 147 1710 13k23k1 k3k1 ， 则当 nk1 时， 114 147 1710 13k23k1 13k123k11 k3k1 13k13k4 3k24k13k13k4 3k1k13k13k4 k13k11， 所以，当 nk1 时猜想也成立 根据(1)和(2)，可知猜想对任意 nN*都成立 【规律方法】 1“归纳猜想证明”的一般环节 2“归纳
9、猜想证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前 n 项和 (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在 (3)给出一些简单的命题(n1，2，3，)，猜想并证明对任意正整数 n 都成立的一般性命题 跟进训练 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 a13， Snan1n21(n2) 求 a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式并用数学归纳法证明 解 当 n2 时，S2a1221，即 3a28，解得 a25； 当 n3 时，S3a2321，即 35a315，解得 a37； 当 n4 时，S4a3421，即 357a424，解得 a49. 猜
10、想 an2n1，下面用数学归纳法证明： 当 n1 时，a12113，猜想成立； 假设当 nk(kN*)时，猜想成立， 即 ak2k1，Skk32k12k22k， 则当 nk1 时，Sk1ak(k1)21， Skak1ak(k1)21， ak1ak(k1)21Sk， ak12k1(k1)21(k22k)2(k1)1， 所以猜想成立 综上所述， 对于任意 nN*，an2n1 均成立. 类型三 用数学归纳法证明不等式 探究问题 1你能指出下列三组数的大小关系吗？ (1)n， nn1， nn1(nN*)； (2)1n2，1nn1，1nn1(nN*，n1)； (3)12n112n，12n1(nN*) 提
11、示 (1) nn1n nn1； (2)1nn11n21nn1； (3)12n112n12n12n22n12n1，12n112n2k k12k1 kkN*，k1， 1k2k k1. (2)1k21kk11k1k1. (3)1k21k2 2k12k1 1k12 . 又 112 13 12k 12k1 12k2 12k2k 12 k2k12k 12 (k1)， 即当 nk1 时，命题成立 由(1)和(2)可知，命题对所有的 nN*都成立 【规律方法】 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知 fkgk，求证 fk1gk1时应注意灵活运用证明不
12、等式的一般方法比较法、分析法、综合法.具体证明过程中要注意以下两点： 1先凑假设，作等价变换； 2瞄准当 nk1 时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论. 跟进训练 3试用数学归纳法证明 11221321n221n(n2，nN*) 证明 (1)当 n2 时，11225421232，命题成立 (2)假设 nk(k2，且 kN*)时命题成立， 即 11221321k221k. 则当 nk1 时，11221321k21k1221k1k12 3n23n1 这一不等式时，应注意 n 必须为( ) AnN* BnN*，n2 CnN*，n3 DnN*，n4 【学以致用】 D 当 n1，n2，n3 时，
13、显然不等式不成立， 当 n4 时，6461 不等式成立， 故用数学归纳法证明 n33n23n1 这一不等式时， 应注意 n 必须为 n4，nN*，故选 D. 2 用数学归纳法证明 112213212n12212n1(n2)nN*时，第一步需要证明( ) A12121 B1122212n1 C112213221221 D112213214221221 C 用数学归纳法证明 112213212n12212n1(n2)(nN*)， 第一步应验证不等式 112213221221.故选 C. 3用数学归纳法证明 f (n)1414214n的过程中，f (k1)f (k)_. 14k1 依题意 f (k)
14、1414214k， f (k1)1414214k14k1， 所以 f (k1)f (k)14k1. 故答案为14k1. 4用数学归纳法证明1221321n12121n2.假设 nk 时，不等式成立，则当 nk1 时，应推证的目标不等式是_ 1221321k22121k3 从不等式结构看，左边 nk1 时，最后一项为1k22，前面的分母的底数是连续的整数，右边 nk1时，式子为121k12，即不等式为1221321k22121k3. 5用数学归纳法证明：当 n2，nN*时，1141191116 11n2n12n. 证明 (1)当 n2 时，左边11434， 右边212234，n2 时等式成立 (2)假设当 nk(k2，kN*)时等式成立， 即1141191116 11k2k12k， 那么当 nk1 时， 1141191116 11k211k12 k12k11k12k1212kk1k22k1 k112k1. 当 nk1 时，等式也成立 根据(1)和(2)知，对任意 n2，nN*，等式都成立