1、5.2.2 导数的四则运算法则 知识点 导数的四则运算法则 1条件：f(x)，g(x)是可导的 2结论：(1)f(x) g(x) ； (2)f(x)g(x) ； (3)fxgx_ f(x) g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) fxgxfxgxgx2(g(x)0) 【新知初探】 1函数 ysin x cos x 的导数是 ( ) Aycos 2xsin 2x Bycos 2x Cy2cos x sin x Dycos x sin x 答案：B 【基础自测】 2函数 yxcos xsin x 的导数为_ 答案：xsin x 3函数 f(x)x1x在 x1 处的导数是_ 解析：因为 f(x)
2、x1xx1x11x2， 所以 f(1)110. 答案：0 名师点津 应用导数公式的注意事项 (1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算，即u(x) v(x) w(x)u(x) v(x) w(x)； (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导同上可推广到有限个函数的函数乘积的导数即： af(x)bg(x)af(x)bg(x)； u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x) (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导； (4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后
3、再求导，可简化求导过程 题型一 利用导数四则运算法则求导 例 1 求下列函数的导数： (1)yx2log3x；(2)yx3 ex；(3)ycos xx. 解 (1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x1xln 3. (2)y(x3 ex)(x3) exx3 (ex) 3x2 exx3 exex(x33x2) (3)ycos xx(cos x) xcos x (x)x2 x sin xcos xx2xsin xcos xx2. 【题型探究】 规律方法 求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数； (2)对于三个以上函数的积、商的导
4、数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算 跟踪训练 求下列函数的导数： (1)ysin x2x2；(2)ycos x ln x；(3)yexsin x. 解：(1)y(sin x2x2)(sin x)(2x2)cos x4x. (2)y(cos x ln x)(cos x) ln xcos x (ln x) sin x ln xcos xx. (3)yexsin xex sin xex sin xsin 2x ex sin xex cos xsin2xexsin xcos xsin2x 题型二 与切线有关的综合问题 例 2 (1)函数 y3sin x 在 x3处的切线斜率为_ (2)已知函
5、数 f(x)ax2ln x 的导数为 f(x) 求 f(1)f(1)； 若曲线 yf(x)存在垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围 (1)解析 由函数 y3sin x，得 y3cos x， 所以函数在 x3处的切线斜率为 3 cos332. 答案 32 (2)解 由题意，函数的定义域为(0，)， 由 f(x)ax2ln x， 得 f(x)2ax1x，所以 f(1)f(1)3a1. 因为曲线 yf(x)存在垂直于 y 轴的切线，故此时切线斜率为 0， 问题转化为在 x(0，)内导函数 f(x)2ax1x存在零点， 即 f(x)0，所以 2ax1x0 有正实数解， 即 2ax21 有正实数
6、解，故有 a0，(a1)(a1)0，解得 a1. 故 f(x)13x3x21，所以 f(1)13. 答案：B 1已知函数 f(x)ax2c，且 f(1)2，则 a 的值为( ) A1 B 2 C1 D0 解析：f(x)ax2c，f(x)2ax， 又f(1)2a，2a2，a1. 答案：A 【随堂检测】 2. 已知物体的运动方程为 st23t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻 t2 时的速度为 ( ) A.194 B.174 C.154 D.134 解析：s2t3t2，s|t2434134. 答案：D 3求下列函数的导数： (1)y(x2)(x22x4)； (2)yln xcos x2x. 解：(1)法一：y(x2)(x22x4)(x2)(x22x4) x22x4(x2)(2x2)3x2. 法二：y(x2)(x22x4)x38，y3x2. (2)yln x cos xln x cos xcos 2x2x ln 2 1xcos xsin x ln xcos2x2x ln 21xcos xsin xcos2xln x2xln 2.