1、章末复习课 【知识整合】 类型一 求数列的通项公式 【例 1】 (1)已知等比数列an为递增数列，且 a25a10，2(anan2)5an1，则数列的通项公式 an( ) A2n B2n1 C12n D12n1 (2)已知数列an中， an13an4， 且 a11， 求通项公式 【题型探究】 (1)A 法一：由数列an为递增的等比数列，可知公比 q0，而 a25a100，所以 q1，an0.由 2(anan2)5an1，得 2an2anq25anq，则 2q25q20，解得 q2 或 q12(舍去)由a25a10，得(a1q4)2a1q9，解得 a12.因此 an2n. 法二：由等比数列an为
2、递增数列知，公比 q0，而 a25a100，所以 an0，q1.由条件得 2anan1an2an15，即 21qq 5，解得 q2.又由 a25a10，得(a1q4)2a1q9，即 a1q2，故 an2n. (2)解 法一：由题意得 an3an143(3an24)4 32an234433an3324344 3n1a13n243n34344 3n1413n1133n12(3n11)3n2. 法二：an13an4，an123(an2) 令 bnan2，b1a123， 数列bn是首项为 3，公比为 3 的等比数列， 则 bn3n，an3n2. 法三：an13an4， an3an14(n2) ，得 a
3、n1an3(anan1)(n2) a2a13416， 数列an1an是首项为 6，公比为 3 的等比数列， 即 an1an63n123n，利用累加法得 an3n2. 【规律方法】 数列通项公式的求法 1定义法,直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目. 2已知 Sn求 an.若已知数列的前 n 项和 Sn与 an的关系，求数列an的通项 an可用公式 an S1，n1，SnSn1，n2求解. 3累加或累乘法,形如 anan1fnn2的递推式，可用累加法求通项公式； 形如anan1fnn2的递推式， 可用累乘法求通项公式. 4构造法,如 an1Aan
4、B 可构造ann为等比数列，再求解得通项公式. 跟进训练 1已知数列an的前 n 项和 Sn2nan，求数列的通项公式 an. 解 由 a1S12a1，得 a11. 当 n2 时，anSnSn12nan2(n1)an1an2an1， 所以 an12an11，即 an212(an12) 令 bnan2，则 bn12bn1，且 b1121， 于是数列bn是首项为1，公比为12的等比数列， 所以 bn112n112n1，故 an212n1. 类型二 等差、等比数列的基本运算 【例 2】 等比数列an中，已知 a12，a416. (1)求数列an的通项公式； (2)若 a3，a5分别为等差数列bn的第
5、 3 项和第 5 项，试求数列bn的通项公式及前 n 项和 Sn. 解 (1)设an的公比为 q， 由已知得 162q3，解得 q2，an22n12n. (2)由(1)得 a38，a532，则 b38，b532. 设bn的公差为 d， 则有 b12d8，b14d32，解得 b116，d12， 所以 bn1612(n1)12n28. 所以数列bn的前 n 项和 Snn1612n2826n222n. 【规律方法】 在等差数列和等比数列的通项公式 an与前 n 项和公式 Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或 q，Sn，其中 a1和 d或 q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于 a1，
6、dq，an，Sn，n 的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差比数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用. 跟进训练 2设an是等差数列，a110，且 a210，a38，a46 成等比数列 (1)求an的通项公式； (2)记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 解 (1)an是等差数列，a110， 且 a210，a38，a46 成等比数列， (a38)2(a210)(a46)， (22d)2d(43d)，解得 d2， ana1(n1)d102n22n12. (2)由 a110，d2，得： Sn10nnn122n211nn1
7、1221214， n5 或 n6 时，Sn取最小值30. 类型三 等差、等比数列的判定 【例 3】 数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn14an2(nN*) (1)设 bnan12an，求证：bn是等比数列； (2)设 cnan2n2，求证：cn是等差数列 证明 (1)an2Sn2Sn14an124an24an14an. bn1bnan22an1an12an4an14an2an1an12an2an14anan12an2. 因为 S2a1a24a12，所以 a25，所以 b1a22a13. 所以数列bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列 (2)由(1)知 bn3 2n1an12an，所
8、以an12n1an2n23. 所以 cn1cn3，且 c1a1212， 所以数列cn是等差数列，公差为 3，首项为 2. 【规律方法】 等差数列、等比数列的判断方法 1定义法：an1and常数an是等差数列； an1anqq 为常数，q0an是等比数列. 2中项公式法：2an1anan2an是等差数列； a2n1an an2an0an是等比数列. 3通项公式法：anknbk，b 是常数an是等差数列；anc qnc，q 为非零常数an是等比数列. 4前 n 项和公式法： SnAn2BnA， B 为常数， nN*an是等差数列； SnAqnAA， q 为常数， 且 A0， q0， q1，nN*a
9、n是等比数列. 提醒：前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.若要判定一个数列不是等差比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差比即可. 跟进训练 3已知数列an满足 a11，an13an1. (1)证明an12是等比数列，并求an的通项公式； (2)证明1a11a21an32. 解 (1)由 an13an1 得 an1123an12. 因为 a11232，所以an12是首项为32，公比为 3 的等比数列 所以 an123n2，因此an的通项公式为 an3n12. (2)证明：由(1)知1an23n1. 因为当 n1 时，3n123n1，所以13n11
10、23n1. 于是1a11a21an11313n132113n32. 所以1a11a21an1，a2 019a2 0201，a2 0191a2 02010，下列结论正确的是( ) AS2 019S2 020 Ba2 019a2 02110；当 n2，cn1cn2425的 n 的最小值 解 (1)设等差数列an的公差为 d(d0) 由 a23，a22a1a5得 a1d3，a1d2a1a14d，解得 a11，d2. ana1(n1)d2n1. (2)由(1)得：bnan2n2n12n， 则 Snb1b2b3bn 135(2n1)222232n 12n1n222n112n22n12， Snn22n12. (3)由(1)得：cn2anan122n12n112n112n1， Tn113131512n112n12n2n1. 由2n2n12425得 n12，又nN*，n 的最小值为 13.