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4.2.2(第2课时)等差数列前n项和的性质及应用ppt课件

1、4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握 an与 Sn的关系并会应用(难点). 2.掌握等差数列前 n 项和的性质及应用(重点). 3.会用裂项相消法求和(易错点). 1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习, 体现了数学建模素养. 2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和,培养数学运算素养. 等差数列前 n 项和的性质 (1)等差数列an中,其前 n 项和为 Sn,则an中连续的 n 项和构成的数列 Sn,_,S3nS2n,_,构成等差数列 (2)数列an是等差数列Snan2bn(a,b 为常数) S2nSn S4nS3n

2、 【新知初探】 思考:如果an是等差数列,那么 a1a2a10,a11a12a20, a21a22a30是等差数列吗? 提示 (a11a12a20)(a1a2a10) (a11a1)(a12a2)(a20a10) 100d, 类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d. a1a2a10,a11a12a20,a21a22a30是等差数列 (3)在等差数列an中, a1a2,a2a3,a3a4,也成等差数列, a1a2a3,a2a3a4,a3a4a5,也成等差数列 (4)在等差数列an中,数列Snn为等差数列 1判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若 Sn为等差数列an

3、的前 n 项和,则数列Snn也是等差数列( ) (2)在等差数列an中,S4,S8,S12,成等差数列( ) (3)若等差数列的项数为偶数 2n,则 S偶S奇nd( ) 答案 (1) (2) (3) 【初试身手】 2在项数为 2n1 的等差数列中,所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n 等于( ) A9 B10 C11 D12 B S奇S偶n1n,165150n1n,n10.故选 B 项 3在等差数列an中,若 a1a4a739,a3a6a927,则前 9 项的和 S9等于( ) A66 B99 C144 D297 B 在等差数列an中,a1a4a7,a2a5a8, a3a

4、6a9成等差数列,a2a5a83927233. S9(a1a4a7)(a2a5a8)(a3a6a9)39332799 4等差数列an中,S24,S49,则 S6_. 15 由 S2,S4S2,S6S4成等差数列得 2(S4S2)S2(S6S4),解得 S615. 5 已知an为等差数列, a1a2a3105, a2a3a499.求 a10a11a12的和 解 在等差数列an中, anan1an2也成等差数列,设公差为 D, a1a2a3105,a2a3a499, D991056. a10a11a12105(101)(6)51. 类型一 “片段和”的性质 【例 1】 在等差数列an中,S1010

5、0,S10010.求 S110. 【合作探究】 解 法一:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d, 则 10a1101012d100,100a110010012d10.解得 a11 099100,d1150. S110110a111011012d1101 09910011010921150110. 法二:S10100,S10010, S100S10a11a12a10090a11a100290, a11a1002. 又a1a110a11a1002, S110110a1a1102110. 法三:S10,S20S10,S30S20, S100S90,S110S100,成等差数列, 设公差为 d,数

6、列前 100 项和为 101001092d10,解得 d22. 前 110 项和 S1101110010112d 1110010112(22)110. 法四:设数列an的公差为 d, 由于 Snna1nn12d,则Snna1d2(n1) 数列Snn是等差数列,其公差为d2. S100100S1010(10010)d2, 且S110110S100100(110100)d2. 代入已知数值,消去 d,可得 S110110. 法五:令 SnAn2Bn, 由 S10100,S10010, 100A10B100,10 000A100B10,解得 A11100,B11110. S1101102A110B1

7、1021110011011110110. 【规律方法】 方法一属于通性通法;方法二使用 Sn和 an之间的关系;方法三使用前 n 项和“片段和”的性质;方法四使用性质Snn“也是等差数列”;方法五利用前 n 项和可用 SnAn2Bn 表示的特点.这五种解法从不同角度应用了等差数列的性质, 并灵活选用前 n项和公式,使问题快速得到解决. 跟进训练 1等差数列an的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求数列an的前 3m 项的和 S3m. 解 在等差数列中, Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列, 30,70,S3m100 成等差数列 27030(S3m100),S3m210. 类

8、型二 裂项相消法求和 【例 2】 等差数列an中,a13,公差 d2,Sn为前 n 项和,求1S11S21Sn. 解 等差数列an的首项 a13,公差 d2, 前 n 项和 Snna1nn12d 3nnn122n22n(nN*), 1Sn1n22n1nn2121n1n2, 1S11S21Sn 12 11312141315 1n11n11n1n2 121121n11n2 342n32n1n2. 【规律方法】 裂项相消法求数列的前 n 项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项裂项之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而求数列的前 n 项和. 跟进训练 2已知

9、数列an的通项公式为 an12n12n1,求数列an的前 n 项和 Sn. 解 an12n12n11212n112n1, Sn11313515712n32n112n12n1 12 11313151517 12n312n112n112n1 12112n1n2n1,Snn2n1. 类型三 有限项等差数列前n项和的性质及比值问题 探究问题 1在等差数列an中,如果项数为 2n,那么 S偶与 S奇之间存在哪些关系? 提示 S偶na2a2n2n2an12nan1, S奇na1a2n12n2an2nan, S偶S奇n(an1an)nd,S奇S偶anan1. 2在等差数列an中,若项数有 2n1 项,S奇与

10、 S偶具有什么关系? 提示 S奇n1a1a2n12(n1)an1, S偶na2a2n2nan1, S奇S偶(n1)an1nan1an1,S奇S偶n1n. 3若数列an,bn均为等差数列,且前 n 项和分别是 Sn,Tn,那么ambm怎么用前 n 项和形式表示? 提示 ambm2am2bm2m1a1a2m122m1b1b2m12S2m1T2m1. 【例 3】 (1)数列an,bn均为等差数列,前 n 项和分别为 Sn,Tn,若SnTn3n22n,则a7b7( ) A4126 B2314 C117 D116 (2)一个等差数列的前 12 项的和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为

11、 3227,则该数列的公差为_ (1)A (2)5 (1)因为数列an,bn均为等差数列, 且 Sn,Tn分别为它们的前 n 项和, a7b72a72b7a1a13213b1b13213S13T1331322134126. (2)法一:根据题意知,偶数项的和比奇数项的和多35432273227, 其值为 6d,则 d354(3227) (3227) 65. 法二:设偶数项的和为 x,奇数项的和为 y, 则 xy354,xy3227,解得 x192,y162. 6d19216230,d5. 法三:由题意知 12a112112d354,6a1d652 2d6a1652 2d3227, 由知 6a1

12、17733d,将此式代入得 (1773d) 32(1773d) 27,解得 d5. 母题探究 1(变结论)在本例(1)条件不变的情况下,求a10b3b18a11b6b15的值 解 b3b18b6b15b10b11, 原式a10a11b10b11a1a20b1b20S20T2032022203120. 2(变结论)在本例(1)条件不变时,求a7b9的值 解 由条件,令 Snkn(3n2),Tn2kn2. an(6n1)k,bn(4n2)k, a7b9k671k4924134. 3(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“anbn3n22n”,求S7T7的值 解 S7T77a1a727b1b72a

13、1a7b1b72a42b4a4b43422474. 【规律方法】 等差数列前 n 项和计算的两种思维方法 1整体思路:利用公式 Snna1an2,设法求出整体 a1an, 再代入求解. 2待定系数法:利用 Sn是关于 n 的二次函数,设 SnAn2BnA0,列出方程组求出 A,B 即可,或利用Snn是关于 n 的一次函数,设Snnanba0进行计算. 1在有关数列的计算中,恰当地运用性质可以减少运算量,若不能直接运用性质,基本量法是最常用的方法之一利用基本量,并树立目标意识,需要什么,就求什么,充分合理地运用条件,时刻注意题目的目标往往也能取得与巧用性质解题相同的效果,从而提高思维的灵活性和对

14、知识掌握的深刻性 2等差数列前 n 项和的常用性质 (1)数列an为等差数列Snan2bn(a,b 为常数) (2)若等差数列an的前 n 项和为 Sn, 则数列 Sk, S2kSk, S3kS2k, 构成等差数列,公差为原公差的 k2倍 【课堂小结】 (3)若等差数列an的项数为 2n(nN*), 则 S偶S奇nd,S奇S偶anan1;若项数为 2n1(nN*),则 S2n1(2n1)an,且 S奇S偶an,S奇S偶nn1. (4)已知等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 则anbnS2n1T2n1,ambn2n12m1S2m1T2n1. (5)若 SmSn(mn),则 S

15、mn0;若 Smn,Snm(mn),则 Smn(mn) (6)若等差数列an的前 n 项和为 Sn, 则数列Snn为等差数列,公差为原公差的12. 3 形如1anbcnd的式子, 若可分解为AanbBcnd的形式,则一般可用裂项相消法求解 1等差数列an中,a1a2a324,a18a19a2078,那么此数列前 20 项的和为( ) A160 B180 C200 D220 B a1a2a33a224a28, a18a19a203a1978a1926, 于是 S2010(a1a20)10(a2a19)10(826)180. 【学以致用】 2已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数

16、项之和为 30,则其公差为( ) A5 B4 C3 D2 C 由题知 S偶S奇5d,d301553. 3等差数列an的通项公式是 an2n1,其前 n 项和为 Sn,则数列Snn的前 10 项和为_ 75 因为 an2n1,所以 a13. 所以 Snn32n12n22n,所以Snnn2, 所以Snn是公差为 1,首项为 3 的等差数列, 所以前 10 项和为 3101092175. 4数列1nn1的前 100 项的和为_ 100101 1nn11n1n1, S100112121313141100110111101100101. 5等差数列an的公差 d12,且 S100145, 求 a1a3a5a99. 解 令 a1a3a5a99A, a2a4a6a100B. 那么 AB145,BA501225, 解得 B85,A60, a1a3a5a9960.