1、4.3.2 第2课时 等比数列前n项和公式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握等比数列前 n 项和的性质的应用(重点) 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点) 3.能用分组转化法求数列的和(重点、易错点) 1.通过等比数列前 n 项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养. 2.借助等比数列前 n 项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养. 等比数列前 n 项和的性质 (1)性质一：若 Sn表示数列an的前 n 项和，且 SnAqnA (Aq0，q 1)，则数列an是_数列 (2)性质二：若数列an是公比为 q 的等比数列，则 在等比数列中，若项数为 2n(nN*)
2、，则S偶S奇_. 在等比数列中，若项数为 2n1(nN*)，则S奇a1S偶q. Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列 等比 【新知初探】 q 思考：在数列an中，an1can(c 为非零常数)且前 n 项和Sn3n1k，则实数 k 的取值是什么？ 提示 由题知an是等比数列， 3n的系数与常数项互为相反数， 而 3n的系数为13，k13. 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)等比数列an共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120，则该等比数列的公比 q2( ) (2)已知等比数列an的前 n 项和 Sna 3n11， 则 a1 ( ) (3)若数列an为等比
3、数列，则 a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列( ) (4)若 Sn为等比数列的前 n 项和， 则 S3， S6， S9成等比数列 ( ) 【初试身手】 提示 (1)S偶S奇q12024012；(2)由等比数列前 n 项和的特点知13a1得 a3；(4)由 S3，S6S3，S9S6成等比数列知(4)错误 答案 (1) (2) (3) (4) 2设 Sn为等比数列an的前 n 项和且 Sn3n1A，则 A( ) A13 B13 C3 D3 D 根据等比数列an的前n项和公式知Sna1qn1q1a1q1qna1q1(q1)，又 Sn3n1A3 3nA， 得a1q13A，故选 D. 3设等比数列
4、an的前 n 项和为 Sn，已知 S38，S67，则a7a8a9( ) A18 B18 C578 D558 A 法一：由等比数列前 n 项和的性质知 S3，S6S3，S9S6成等比数列，又 a7a8a9S9S6，则 S3，S6S3，a7a8a9成等比数列，从而 a7a8a9S6S32S318.故选 A. 法二：因为 S6S3S3q3，所以 q3S6S3S318，所以 a7a8a9S9S6S3q6818218.故选 A. 4已知数列an为等比数列，且前 n 项和 S33，S627，则公比 q_. 2 q3S6S3S327338，所以 q2. 5在 14 与78之间插入 n 个数，组成所有项的和为
5、778的等比数列，则此数列的项数为_ 5 设此数列的公比为 q，则 7814qn1，7781478q1q q12，n3， 故此数列共有 5 项 类型一 等比数列前n项和性质的应用 探究问题 1在等差数列中，我们知道 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等差数列在等比数列an中，若连续 m 项的和不等于 0，那么Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列吗？为什么？ 【合作探究】 提示 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列 在等比数列an中有 amnamqn，Sma1a2am， S2mSmam1am2a2ma1qma2qmamqm (a1a2am)qmSm qm，同理 S3mS2
6、mSm q2m， 在 Sm0 时，Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列 2若数列an为项数为偶数的等比数列，且 S奇a1a3a5，S偶a2a4a6，那么S偶S奇等于何值？ 提示 由等比数列的通项公式可知S偶S奇S奇 qS奇q. 【例 1】 (1)等比数列an的前 n 项和为 Sn，S27，S691，则 S4为( ) A28 B32 C21 D28 或21 (2)等比数列an中，公比 q3，S8032，则 a2a4a6a80_. (1)A (2)24 (1)an为等比数列， S2，S4S2，S6S4也为等比数列， 即 7，S47，91S4成等比数列， (S47)27(91S4)，解得
7、S428 或 S421. S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2 (a1a2)(1q2)S2(1q2)S2，S428. (2)设 S1a2a4a6a80， S2a1a3a5a79. 则S1S2q3，即 S13S2. 又 S1S2S8032，43S132，解得 S124. 即 a2a4a6a8024. 母题探究 1(变条件)将例题(1)中的条件“S27，S691”改为“正数等比数列中 Sn2，S3n14”，求 S4n的值 解 设 S2nx，S4ny， 则 2，x2，14x，y14 成等比数列， 所以 x22214x，14x2x2y14， 所以 x6，y30或 x4，y40(舍去)，所以 S
8、4n30. 2(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S27，S691”改为“公比 q2，S9956”，求 a3a6a9a99的值 解 法一：S99a11q991q56，q2， a3a6a9a99 a3(1q3q6q96)a1q21q3331q332. 法二：设 b1a1a4a7a97， b2a2a5a8a98，b3a3a6a9a99， 则 b1qb2，b2qb3，且 b1b2b356， b1(1qq2)56，b1561248， b3b1q282232，即 a3a6a9a9932. 【规律方法】 1在涉及奇数项和 S奇与偶数项和 S偶时，常考虑对其差或比进行简化运算若项数为 2n，则S偶S奇q(
9、S奇0)；若项数为 2n1，则S奇a1S偶q(S偶0) 2等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn0)，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn(q1) 类型二 分组求和法 【例 2】 在各项均为正数的等比数列an中，已知 a12，8a22a4a6. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnan2n，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等比数列an的公比为 q(q0)， 8a22a4a6，8a1q2a1q3a1q5， 又 a12，82q2q4. 解得：q24，q2，ana1qn12n，nN*. (2)由(1)知：bn2n2n， Tn2122242362n2n
10、2122232n2462n 22n1n2n222n1n2n2. 数列bn的前 n 项和为 Tn2n1n2n2，nN*. 【规律方法】 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成 (2)解题步骤 跟进训练 1求数列 214，418，6116，2n12n1，的前 n 项和 Sn. 解 Sn21441861162n12n1 (2462n)141812n1 n2n2214112n112n(n1)1212n1 n2n12n112. 类型三 等差数列与等比数列的综合应用 【例 3】 已知 Sn是等比数列an的前 n 项
11、和，S4，S2，S3成等差数列，且 a2a3a418. (1)求数列an的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得 Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由 解 (1)设等比数列an的公比为 q，则 a10，q0. 由题意得 S2S4S3S2，a2a3a418，即 a1q2a1q3a1q2，a1q1qq218， 解得 a13，q2.故数列an的通项公式为 an3(2)n1. (2)由(1)有 Sn312n121(2)n. 若存在 n，使得 Sn2 013， 则 1(2)n2 013，即(2)n2 012. 当 n 为偶数时，(2)n0，上式不成立； 当 n
12、为奇数时，(2)n2n2 012， 即 2n2 012，则 n11. 综上，存在符合条件的正整数 n， 且 n 的集合为n|n2k1，kN*，k5 【规律方法】 与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧： 1转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题. 2等差比数列公式和性质的灵活应用. 3当题中有多个数列出现时， 既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 跟进训练 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且 Snan53n3，bnan4n213n. (1)证明：数列an23n为常数列； (2)求数列bn的前
13、 n 项和 Tn. 解 (1)当 n1 时，S1a153312，所以 a16； 当 n2 时，由 Snan53n3， 得 Sn1an153n13， 得，2anan1103n1， 所以 an23n12(an123n1)， 因为 a16，所以 a12310，所以 an23n0， 故数列an23n为常数列 (2)由(1)知，an23n， 所以 bn23n4n213n24n2112n112n1， 所以 Tnb1b2b3bn 1131315151712n112n1 112n12n2n1. 1在利用等比数列前 n 项和公式时，一定要对公比 q1 或 q1作出判断；若an是等比数列，且 an0，则lg an
14、构成等差数列 2等比数列前 n 项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想： 利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q1 和 q1 两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当 a10，q1 或 a10，0q1 时为递增数列；当 a11 或 a10，0q1 时为递减数列；当 q0 且 q1)常和指数函数相联系；等比数列前 n 项和 Sna1q1(qn1)(q1) 设 Aa1q1，则 SnA(qn1)与指数函数相联系 (3)整体思想：应用等比数列前 n 项和公式时，常把 qn，a11q当成整体求解 1已知等比数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，若 a22，S6S46a4，则 a5
15、( ) A4 B10 C16 D32 C 由 S6S4a6a56a4得，(q2q6)a40，q2q60，解得 q2 或 q3(舍去)，从而 a5a2 232816，故选 C. 【学以致用】 2 设等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 S10S512，则 S15S5( ) A34 B23 C12 D13 A 在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列， 因为 S10S512，所以 S52S10，S1534S5， 得 S15S534，故选 A. 3记 Sn为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则 S6_. 63 法一：因为 Sn2an1，所以当 n1 时，a12a11，解
16、得 a11， 当 n2 时， anSnSn12an1(2an11)，所以 an2an1，所以数列an是以1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an2n1，所以 S611261263. 法二：n2 时，由 Sn2an1 得 Sn2(SnSn1)1， Sn2Sn11，可得 Sn12(Sn11)又 S112. Sn1是首项为2，公比为 2 的等比数列， S6122564，即 S663. 4一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍， 它的首项为 1， 且中间两项的和为 24，则此等比数列的项数为_ 8 设该等比数列的项数为 2n， 依题意得 S奇a1a3a5a2n1， S偶a2a4a6a2na1qa3qa2n1qq S奇 S偶2S奇，q2.又中间两项为 an和 an1， 则 anan1a1qn1a1qn2n12n32n124， 2n1823，n13，解得 n4，2n8. 5设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S42，S86，求 a17a18a19a20的值 解 由等比数列前 n 项和的性质， 可知 S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列 由题意可知上面数列的首项为 S42，公比为S8S4S42， 故 S4nS4n42n(n2)， 所以 a17a18a19a20S20S162532.