1、4.3.1 第2课时 等比数列的应用及性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握等比数列的性质及其应用(重点) 2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用 (难点、 易错点) 3.能用递推公式求通项公式(难点) 1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养. 2.借助递推公式转化为等比数列求通项， 培养逻辑推理及数学运算素养. 1推广的等比数列的通项公式 an是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则 an_，an_(m，nN*) a1qn1 am qnm 【新知初探】 2“子数列”性质 对于无穷等比数列an，若将其前 k 项去掉，剩余各项仍为_数列，首项为_，公比
2、为_；若取出所有的 k 的倍数项，组成的数列仍为_数列，首项为_，公比为_. 等比 ak1 q 等比 ak qk 思考：如何推导 anamqnm? 提示 由anama1 qn1a1 qm1qnm，anam qnm. 3等比数列项的运算性质 在等比数列an中，若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 am an_. 特别地，当 mn2k(m，n，kN*)时，am an_. 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的_， 即 a1 ana2 an1ak ank1. 4两等比数列合成数列的性质 若数列an，bn均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数列can，a2n，an bn，
3、anbn也为_数列 ap aq a2k 积 等比 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)在等比数列an中，q1 时是递增数列( ) (3)若数列an是等比数列， 那么1an， a2n， |an|都是等比数列 ( ) 【初试身手】 提示 (2)q1，a10 时，数列an是递减数列(3)若an的公比为 q，则1an，a2n，|an|的公比分别为1q，q2，|q|. 答案 (1) (2) (3) 2已知数列an是等比数列，下列说法错误的是( ) Aa3，a5，a7成等比数列 Ba1，a3，a9成等比数列 Can，a
4、n1，an2成等比数列 Dn3 时，an3，an，an3成等比数列 B 在等比数列中，若 mn2p，则 amana2p，即 am，ap，an成等比数列，所以 ACD 正确，B 错误，故选 B. 3在等比数列an中，已知 a7 a125，则 a8 a9 a10 a11( ) A25 B25 C10 D20 B 在等比数列an中，712811910，a7a12a8a11a9a10.原式(a7a12)225.故选 B. 4在等比数列an中，a54，a76，则 a9_. 9 因为 a7a5q2，所以 q232. 所以 a9a5q4a5(q2)24949. 5数列an是等差数列，若 a11，a33，a5
5、5 构成公比为 q 的等比数列，则 q_. 1 设等差数列的公差为 d，则 a3a12d，a5a14d，因为 a11，a33，a55 构成公比为 q 的等比数列， 所以(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得 d1， 故 qa33a11a123a111. 类型一 灵活设项求解等比数列 【例 1】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为 21，中间两个数的和为 18，求这四个数 【合作探究】 解 法一：设前三个数分别为aq，a，aq(q0)， 则第四个数为 2aqa. 由题意得 aq2aqa21aaq18，解得 q2 或 q35. 当 q2 时，a6，这
6、四个数为 3，6，12，18； 当 q35时，a454，这四个数为754，454，274，94. 法二：设后三个数分别为 ad，a，ad， 则第一个数为ad2a，因此这四个数为ad2a，ad，a，ad. 由题意得 ad2aad21，ada18，解得 a12，d6或 a274，d92. 故这四个数为 3，6，12，18 或754，454，274，94. 法三：设第一个数为 a，则第四个数为 21a， 设第二个数为 b，则第三个数为 18b， 则这四个数为 a，b，18b，21a， 由题意得 a18bb2，b21a218b，解得 a3，b6或 a754，b454. 故这四个数为 3，6，12，18
7、 或754，454，274，94. 【规律方法】 巧设等差数列、等比数列的方法 1若三数成等差数列，常设成 ad，a，ad.若三数成等比数列，常设aq成，a，aq 或 a，aq，aq2. 2若四个数成等比数列，可设为aq，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为aq3，aq，aq，aq3. 跟进训练 1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数 解 法一：设前三个数依次为 ad，a，ad， 则第四个数为ad2a， 由条件得 adad2a16，aad12，解得 a4，d4或 a9，d6. 所以当 a4
8、，d4 时，所求四个数为 0，4，8，16； 当 a9，d6 时，所求四个数为 15，9，3，1. 法二：设第一个数为 a，则第四个数为 16a， 设第二个数为 b，则第三个数为 12b， 这四个数为 a，b，12b，16a， 由题意得 2ba12b，12b2b16a，解得 a0，b4或 a15，b9， 故所求四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1. 类型二 等比数列的性质及应用 【例 2】 已知an为等比数列 (1)等比数列an满足 a2a412，求 a1a23a5； (2)若 an0，a5a69，求 log3a1log3a2log3a10的值 解 (1)等比数列an中，因为 a2
9、a412， 所以 a23a1a5a2a412，所以 a1a23a514. (2)由等比数列的性质知 a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79， log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10) log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6) log39510. 【规律方法】 解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法 1基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量.这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁琐. 2数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等经常被用到
10、. 跟进训练 2(1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6( ) A5 2 B7 C6 D 5 2 (2)在等比数列an中，a2，a16是方程 x26x20 的两个根，则a2a16a9的值为( ) A 6或 6 B 2 C 2 D 2或 2 (1)A (2)D (1)法一：由等比中项的性质知 a1a2a3(a1a3) a2a325， a7a8a9(a7a9) a8a3810，所以 a2a85013， 所以 a4a5a6(a4a6) a5a35( a2a8)3501635 2. 法二：由等比数列的性质知 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成
11、等比数列，所以(a1a2a3) (a7a8a9)(a4a5a6)2，所以 a4a5a6 510 5 2.又数列各项均为正数，所以 a4a5a65 2. (2)等比数列an中， a2， a16是方程 x26x20 的两个根， a2 a162.又 a2 a16 a29 2，a9 2， a2a16a9a29a9a9 2.故选 D. 类型三 由递推公式构造等比数列求通项 探究问题 1如果数列an满足 a11，an12an1(nN*)，你能判断出an是等差数列，还是等比数列吗？ 提示 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列an既不是等差数列，也不是等比数列 2若数列an满足 a11，an12an1，能
12、否证明an1是一个等比数列？ 提示 在 an12an1 两边都加 1 得 an112(an1)，显然数列an1是以 a112 为首项，以 q2 为公比的等比数列 3在探究 1 中，若将 an12an1 改为 an13an5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出 an吗？ 提示 先将 an13an5 变形为 an1x3(anx) 将该式整理为 an13an2x 与 an13an5 对比可知 2x5，即 x52；所以在 an13an5 两边都加52，可构造出等比数列an52.利用等比数列求出 an52即可求出 an. 【例 3】 已知 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn2ann4. (1)求
13、a1的值； (2)若 bnan1，试证明数列bn为等比数列 解 (1)因为 Sn2ann4， 所以当 n1 时，S12a114，解得 a13. (2)证明：因为 Sn2ann4， 所以当 n2 时，Sn12an1(n1)4， SnSn1(2ann4)(2an1n5)， 即 an2an11，所以 an12(an11)， 又 bnan1，所以 bn2bn1，且 b1a1120， 所以数列bn是以 b12 为首项，2 为公比的等比数列 母题探究 1(变条件，变结论)将本例条件“Sn2ann4”改为“a11，Sn14an2”，“bnan1”改为“bnan12an”，试证明数列bn是等比数列，并求bn的
14、通项公式 证明 an2Sn2Sn14an124an24an14an. bn1bnan22an1an12an4an14an2an1an12an2an14anan12an2. 所以数列bn是公比为 2 的等比数列，首项为 a22a1. 因为 S2a1a24a12，所以 a25， 所以 b1a22a13，所以 bn3 2n1. 2(变条件，变结论)将本例中条件“Sn2ann4”改为“a156，an113an12n1”， 试证明an312n 为等比数列， 并求an的通项公式 证明 令 an1A12n113anA12n，则 an113anA312n1. 由已知条件知A31，得 A3，所以 an1312n
15、113an312n. 又 a13121230，所以an312n是首项为23，公比为13的等比数列 于是 an312n2313n1，故 an312n213n. 【规律方法】 两种递推公式构造等比数列的模型 1由递推关系 an1AanBA，B 为常数，且 A0，A1求 an时，由待定系数法设 an1Aan可得 BA1， 这样就构造了等比数列an. 2形如 an1candncd，cd0的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外， 也可以两边同除以dn1得an1dn1cdandn1d，进而化归为等比数列.还可以两边同除以 cn1得an1cn1ancndcn1c， 再利用累加法求出ancn，即得
16、 an. 1与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧： (1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题 (2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用 (3)题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系 【课堂小结】 2 在等比数列的有关运算中， 常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于 a1， q 的方程组求解， 但这样解起来很麻烦 若能避开求 a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了 1已知等差数列an的公差为 4，且 a2，a3，a6成等比数列，则 a10( ) A26 B
17、30 C34 D38 C 由题意可得：a23a2a6，即a2d2a2a24d， 结合题意有：(a24)2a2(a216)，解得 a22， 则 a10a28d28434.故选 C. 【学以致用】 2已知数列an为等比数列，Sn为等差数列bn的前 n 项和，且 a21，a1016，a6b6 ，则 S11( ) A44 B44 C88 D88 A 由题意，数列an为等比数列，满足 a21，a1016， 根据等比数列的性质，可得 a2a10116a26，a60，可得 a64， 所以 b6a64，则 S1111b1b11211b644，故选 A. 3在12和 8 之间插入 3 个数，使它们与这两个数依次
18、构成等比数列，则这 3 个数的积为_ 8 设插入的 3 个数依次为 a，b，c，即12，a，b，c，8 成等比数列，由等比数列的性质可得 b2ac1284，因为 a212b0， b2(舍负)所以这 3 个数的积为 abc428. 4已知在公比为 q 的等比数列an中，a5a912q，则 a6(a22a6a10)的值为_ 14 a5a912q，a4a812，a6(a22a6a10) a6a22a26a6a10a242a4a8a28(a4a8)214. 5(1)已知数列an为等比数列，a33，a1127，求 a7； (2)已知an为等比数列，a2 a836，a3a715，求公比 q. 解 (1)法一： a1q23，a1q1027相除得 q89. 所以 q43，所以 a7a3 q49. 法二：因为 a27a3a1181，所以 a7 9， 又 a7a3q43q40，所以 a79. (2)因为 a2 a836a3 a7，而 a3a715， 所以 a33，a712 或 a312，a73. 所以 q4a7a34 或14，所以 q 2或 q22.