1、4.2.1 第2课时 等差数列的性质 知识点 等差数列的性质 1等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 ana1(n1)d (揭示首末两项的关系) anam(nm)d (揭示任意两项之间的关系) 2等差数列的性质 若an是公差为 d 的等差数列，正整数 m，n，p，q 满足 mnpq，则 aman . apaq 【新知初探】 (1)特别地，当 mn2k(m，n，kN*)时，aman . (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即 a1ana2an1akank1. (3)若an是公差为 d 的等差数列，则 can(c 为任一常数)是公差为 的等差数列； c
2、an(c 为任一常数)是公差为 的等差数列； anank(k 为常数，kN*)是公差为 的等差数列 (4)若an，bn分别是公差为 d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为 的等差数列 2ak d cd 2d pd1qd2 名师点津 等差数列an，其通项公式为 andnb.那么数列an上任一有序数对(n，an)对应的点都在直线 ydxb 上，且数列an的公差 d 等于该直线的斜率 题型一 等差数列的性质应用 例 1 (1)已知等差数列an中，a2a46，则 a1a2a3a4a5( ) A30 B15 C5 6 D10 6 (2)设an，bn都是等差数列，且 a125，b
3、175，a2b2100， 则 a37b37( ) A0 B37 C100 D37 【题型探究】 解析 (1)数列an为等差数列， a2a42a36，a33. a1a2a3a4a55a315. (2)设 cnanbn，由于an，bn都是等差数列， 则cn也是等差数列，且 c1a1b12575100， c2a2b2100，cn的公差 dc2c10. c37100，即 a37b37100. 答案 (1)B (2)C 规律方法 本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若 mnpq，则 amanapaq. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但 a6a9a
4、7a8；a1a21a22，但 a1a212a11. 本例(2)应用了等差数列的性质：若an，bn是等差数列，则anbn也是等差数列灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的训炼 跟踪训练 1如果等差数列an中，a3a4a512，那么 a1a2a7( ) A14 B12 C28 D36 答案：C 解析：a3a4a512，3a412，则 a44， 又 a1a7a2a6a3a52a4， 故 a1a2a77a428.故选 C. 2已知数列an是等差数列，且 a1a5a9a13a17117， 求 a3a15的值 解：数列an是等差数列， a1a17a5a13
5、.由条件等式，得 a9117. a3a152a92117234. 题型二 灵活设元求解等差数列 例 2 (1)三个数成等差数列，其和为 9，前两项之积为后一项的 6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列， 中间两项的和为 2， 首末两项的积为8，求这四个数 解 (1)设这三个数依次为 ad，a，ad， 则 adaad9，ada6ad，解得 a3，d1. 这三个数为 4,3,2. (2)法一：设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d)， 依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即 a1，a29d28， d21，d1 或 d1. 又四个数成递增等差数列，所以 d0， d1，
6、故所求的四个数为2,0,2,4. 法二：若设这四个数为 a，ad，a2d，a3d(公差为 d)， 依题意，2a3d2，且 a(a3d)8， 把 a132d 代入 a(a3d)8， 得132d132d 8，即 194d28， 化简得 d24，所以 d2 或2. 又四个数成递增等差数列， d0，d2，a2. 故所求的四个数为2,0,2,4. 规律方法 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和， 可设这两个数为：ad，ad，公差为 2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：ad，a，ad，公差为 d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成 a3d，ad，ad，a3d
7、，公差为 2d. 跟踪训练 已知成等差数列的四个数，四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这个等差数列 解： 设这四个数依次为 a3d， ad， ad， a3d(公差为 2d) 由题设知 a3dadada3d26，adad40， 解得 a132，d32或 a132，d32. 这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 题型三 等差数列的实际应用 例 3 某公司经销一种数码产品，第一年可获利 200 万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解
8、 设从第一年起，第 n 年的利润为 an万元， 则 a1200，an1an20(nN*)， 每年的利润构成一个等差数列an， 从而 ana1(n1)d200(n1) (20)22020n. 若 an0，则该公司经销这一产品将亏损 由 an22020n11， 即从第 12 年起，该公司经销此产品将亏损 规律方法 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键， 在解题过程中， 一定要分清首项、项数等关键的问题 跟踪训练 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km，起步价为 10 元
9、，即最初的 4 km(不含 4 km)计费 10 元 如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付车费_元 答案：23.2 解析： 根据题意， 当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时， 每增加 1 km，乘客需要支付 1.2 元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示 4 km 处的车费，公差 d1.2，那么当出租车行至 14 km处时，n11，此时需要支付车费 a1111.2(111)1.223.2(元) 1(多选)下列说法错误的有 ( ) A若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2成等差数列 B若 a，b，c 成等
10、差数列，则 log2a，log2b，log2c 成等差数列 C若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2 成等差数列 D若 a，b，c 成等差数列，则 2a,2b,2c成等差数列 【随堂检测】 答案：ABD 解析：由等差数列的定义可知 A、B、D 均错误，只有选项 C 正确 2在等差数列an中，已知 a4a816，则 a2a10( ) A12 B16 C20 D24 答案：B 解析：因为数列an是等差数列，所以 a2a10a4a816. 3在等差数列an中，a1a910，则 a5的值为( ) A5 B6 C8 D10 答案：A 解析：由等差数列的性质，得 a1a92a5， 又a1a910，即 2a510，a55. 4已知an，bn是两个等差数列，其中 a13，b13，且 a20b206，那么 a10b10的值为 ( ) A6 B6 C0 D10 答案：B 解析：由于an，bn都是等差数列， 所以anbn也是等差数列，而 a1b16，a20b206， 所以anbn是常数列，故 a10b106.故选 B. 5在等差数列an中，若 a4a5a627，则 a1a9等于_ 解析：因为数列an是等差数列，所以 a4a62a5， 则 a4a5a63a527，a59，所以 a1a92a518. 答案：18