1、4.1 第2课时 数列的递推公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解递推公式的含义(重点). 2.掌握递推公式的应用(难点). 3.会用 an与 Sn的关系求通项公式. 1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养. 2.借助利用 an与 Sn的关系确定 an的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养. 1数列的递推公式 (1)两个条件： 已知数列的第 1 项(或前几项)； 从第 2 项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示 (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的_公式 递推 【新知初探】 思考：所有数列都
2、有递推公式吗？ 提示 不一定例如 2精确到 1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，没有递推公式 2数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示 an与它的前一项_(或前几项)之间的关系 表示 an与_之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an1 n 思考：仅由数列an的关系式 anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？ 提示 不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的 3数列an的前 n 项和
3、 (1)数列an从第_项起到第_项止的各项之和称为数列an的前n 项和，记作 Sn，即 Sn_. (2)如果数列an的前n项和Sn与它的_之间的对应关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的前 n项和公式 (3)数列an的通项 an与前 n 项和 Sn之间的关系为 an 1 n a1a2an 序号n S1，n1，SnSn1，n2. 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项( ) (2)有些数列可能不存在最大项( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法( ) (4)所有的数列都有递推公式( ) 【初试身手】 提示 并不是所有的数列都有递推公式
4、， 如 3的精确值就没有递推公式 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知数列an中的首项 a11，且满足 an112an12n，此数列的第 3 项是( ) A1 B12 C34 D58 C an112an12n，a11，a212a11211， a312a21221211434.故选 C. 3数列an满足 an111an，且 a12，则 a2 020的值为( ) A12 B1 C2 D1 C 由 an111an及 a12，得 a212，a31，a42，至此可 发现数列an是周期为 3 的周期数列：2，12，1，2，12，1，. 而 2 02067331，故 a2 020a12. 4已知数列
5、an的前 n 项和公式 Snn22n1，则其通项公式 an_. 0，n12n3，n2 当 n2 时，anSnSn1n22n1(n1)22(n1)12n3，而当 n1 时，a1122110213，所以通式公式 an 0，n1，2n3，n2. 类型一 由递推公式求数列中的项 【例 1】 已知数列an中，a11，a22，以后各项由 anan1an2 (n3)给出 (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bnanan1构造一个新的数列bn，写出数列bn的前 4 项 【合作探究】 解 (1)anan1an2(n3)，且 a11，a22， a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.
6、故数列an的前 5 项依次为 a11，a22，a33，a45，a58. (2)bnanan1，且 a11，a22，a33，a45，a58， b1a1a212，b2a2a323，b3a3a435，b4a4a558. 故bn的前 4 项依次为 b112，b223，b335，b458. 【规律方法】 由递推公式写出数列的项的方法 1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. 2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如 an2an11. 3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如 an1an12. 跟进训练
7、1已知数列an的第 1 项 a11，以后的各项由公式 an12anan2给出，试写出这个数列的前 5 项 解 a11，an12anan2， a22a1a1223，a32a2a2222323212， a42a3a3221212225，a52a4a4222525213. 故该数列的前 5 项为 1，23，12，25，13. 类型二 数列的单调性 【例 2】 已知数列an的通项公式是 an(n2)78n (nN*)，试问数列an是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由 解 法一：作差比较 an1与 an的大小，判断an的单调性 an1an(n3)78n1(n2)78n78n5n8. 当 n5
8、 时，an1an0，即 an1an； 当 n5 时，an1an0，即 an1an； 当 n5 时，an1an0，即 an1an. 故 a1a2a3a4a5a6a7a8， 所以数列an有最大项，且最大项为 a5或 a6，且 a5a67685. 法二：作商比较 an1与 an的大小，判断an的单调性 an1ann378n1n278n7n38n2. 又 an0，令an1an1，解得 n5；令an1an1，解得 n5； 令an1an1，解得 n5，故 a1a2a3a4a5a6a7， 所以数列an有最大项，且最大项为 a5或 a6，且 a5a67685. 法三：假设an中有最大项，且最大项为第 n 项，
9、则 anan1，anan1，即 n278nn178n1，n278nn378n1， 解得 n6，n5，即 5n6. 故数列an有最大项 a5或 a6，且 a5a67685. 【规律方法】 求数列an的最大小项的方法 一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项. 二是设 ak是最大项， 则有 akak1，akak1，对任意的 kN*且 k2都成立，解不等式组即可. 跟进训练 2已知数列an的通项公式为 ann27n8. (1)数列中有多少项为负数？ (2)数列an是否有最小项？若有，求出其最小项 解 (1)令
10、 an0，即 n27n80，得1n8. 又 nN*，所以 n1，2，3，7， 故数列从第 1 项至第 7 项均为负数，共 7 项 (2)函数 yx27x8 图象的对称轴为直线 x72， 所以当 1x3 时，函数单调递减；当 x4 时，函数单调递增， 所以数列an有最小项，又 a3a420， 所以数列an的最小项为 a3或 a4. 类型三 利用 an S1，n1，SnSn1，n2求通项 【例 3】 根据下列数列的前 n 项和 Sn求通项 an. (1)Sn2n2n1； (2)Sn2 3n2. 解 (1)由 Sn2n2n1， 当 n2 时，anSnSn1 (2n2n1)2(n1)2(n1)14n3
11、. 当 n1 时，a1S12413，an 2，n1，4n3，n2. (2)由 Sn2 3n2， 当 n2 时，anSnSn1 2 3n2(2 3n12)4 3n1. 当 n1 时，a1S1231244 311， an4 3n1(nN*) 【规律方法】 用 an与 Sn的关系求 an的步骤 1先确定 n2 时 anSnSn1的表达式； 2再利用 Sn求出 a1a1S1； 3验证 a1的值是否适合 anSnSn1的表达式； 4写出数列的通项公式. 跟进训练 3已知数列an的前 n 项和 Sn满足 nlog2(Sn1)，求其通项公式 an. 解 根据条件可得 Sn2n1. 当 n2 时，anSnSn
12、12n12n112n1(21)2n1， 当 n1 时，a1S12113211，an 3n1，2n1n2. 类型四 根据递推公式求通项 探究问题 1某剧场有 30 排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足 a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？ 提示 由 a120，an1an2 得 a2a1222， a3a2224，a4a3226，a5a4228， 由以上各项归纳可知 an20(n1) 22n18. 即 an2n18(nN*，n30) 2对于任意数列an，等式 a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立吗？若数列an满足：a11，an1an2，你能求
13、出它的通项 an吗？ 提示 等式 a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an成立， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 112(n1)2n1. 3若数列an中的各项均不为 0，等式 a1a2a1a3a2 anan1an成立吗？若数列an满足：a13，an1an2，则它的通项 an是什么？ 提示 等式 a1a2a1a3a2 anan1an成立 按照an1an2 可得a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2)， 将这些式子两边分别相乘可得a2a1a3a2a4a3 anan12 2 2. 则ana12n1，所以 an3 2n1(nN*) 【例 4】 (1)已知数列an满
14、足 a11，an1an1nn1，nN*，求通项公式 an； (2)设数列an中，a11，an11nan1(n2)，求通项公式 an. 解 (1)an1an1nn1， a2a1112； a3a2123； a4a3134； anan11n1n. 以上各式累加得，ana11121231n1n 11212131n11n11n. an111n，an1n(n2) 又n1 时，a11，符合上式，an1n(nN*) (2)a11，an11nan1(n2)， anan1n1n，ananan1an1an2an2an3a3a2a2a1a1 n1nn2n1n3n2231211n. 又n1 时，a11，符合上式，an1
15、n(nN*) 母题探究 1(变条件)将例题(1)中的条件“a11，an1an1nn1，nN*”变为“a112，anan1an1an(n2)”，求数列an的通项公式 解 anan1an1an，1an1an11. 1an1a11a21a11a31a21an1an12n1. 1ann1，an1n1(n2) 又n1 时，a112，符合上式，an1n1(nN*). 2(变条件)将例题(2)中的条件“a11，an11nan1(n2)”变为“a12， an13an(nN*)”写出数列的前 5 项， 猜想 an并加以证明 解 由 a12，an13an，得： a23a132， a33a2332322， a43a
16、33322332， a53a43332342， ， 猜想：an23n1， 证明如下：由 an13an得an1an3. 因此可得a2a13，a3a23，a4a33，anan13. 将上面的 n1 个式子相乘可得 a2a1a3a2a4a3 anan13n1. 即ana13n1，所以 ana1 3n1，又 a12，故 an2 3n1. 【规律方法】 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an1anfn或an1gn an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： 1累加法：当 anan1fn时，常用 ananan1an1an2a2a1a1求通项公式； 2累乘法：anan1当gn时， 常用 a
17、nanan1an1an2 a2a1 a1求通项公式. 1数列的四种表示方法 (1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法 2通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映 an和 n 之间的关系，即 an是 n 的函数，知道任意一个具体的 n 值，就可以求出该项的值 an；而递推公式则是间接反映数列 an与 n 之间关系的式子， 它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出 an. 【课堂小结】 3数列通项公式的求法 (1)观察法根据给出数列的前几项观察归纳； (2)累加法适合类型为 an1anf(n)； (3)累乘法适合类型为 an1anf(n)； (4
18、)利用 an与 Sn关系，即 an S1，n1，SnSn1，n2. 1数列 2，4，6，8，10，的递推公式是( ) Aanan12(n2) Ban2an1(n2) Ca12，anan12(n2) Da12，an2an1(n2) C A，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中 a12，a24，a38，不合题意 【学以致用】 2已知数列an满足 a11，anan13(n2)，则数列的通项公式 an( ) A3n1 B3n C3n2 D3(n1) C 根据条件可以写出前 5 项为：1，4，7，10，13， 可以归纳出 an3n2.故选 C. 3数列an满足 an111an，a82，则 a1_. 12 先求出数列的周期，再进一步求解首项 an111an，an111an1111an11an11an11 1an1an111an11111an21(1an2)an2， 周期 T(n1)(n2)3，a8a322a22. 而 a211a1，a112. 4已知数列an中，a12，an1anln11n，求 an. 解 由题意得 an1anln n1n， anan1ln nn1(n2)， an1an2ln n1n2， ， a2a1ln 21. 当 n2 时，ana1lnnn1n1n2 21ln n，an2ln n(n2) 当 n1 时，a12ln 12，符合上式，an2ln n(nN*)