1、4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 新课程标准解读 核心素养 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义. 数学抽象 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 逻辑推理、数学运算 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 数学抽象 知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示 【新知初探】 同一个 d 公差 知识点二 等差中项 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项，根据等
2、差数列的定义可以知道， ab. 2A 知识点三 等差数列的通项公式 已知等差数列an的首项为 a1，公差为 d. 递推公式 通项公式 d(n2) an (nN*) anan1 a1(n1)d 名师点津 1对等差数列概念的理解 (1)“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合； (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻； (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列 2等差数列通项公式的应用 等差数列通项公式 ana1(n1)d 中有 4
3、个变量 an，a1，n，d，在这 4 个变量中可以“知三求一” 题型一 等差数列的通项公式及应用 例 1 在等差数列an中 (1)已知 a51，a82，求 a1与 d； (2)已知 a1a612，a47，求 a9. 【题型探究】 解 (1)a51，a82， a14d1，a17d2，解得 a15，d1. (2)设数列an的公差为 d. 由已知得， a1a15d12，a13d7，解得 a11，d2. an1(n1)22n1，a929117. 规律方法 在等差数列an中，首项 a1与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关 a1， d 的关系列方
4、程组求解， 但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量 跟踪训练 12 020 是等差数列 4,6,8，的 ( ) A第 1 007 项 B第 1 008 项 C第 1 009 项 D第 1 010 项 解析：此等差数列的公差 d2，an4(n1)22n2， 令 2 0202n2，解得 n1 009. 答案：C 2已知等差数列an中，a1533，a61217，试判断 153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 ana1(n1)d， 由已知 a1151d33，a1611d217，解得 a123，d4. 所以 an23(n1) 44n27， 令 an153，
5、即 4n27153，解得 n45N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项. 题型二 等差中项的应用 例 2 已知等差数列an， 满足 a2a3a418， a2a3a466.求数列an的通项公式 解 在等差数列an中， a2a3a418，3a318，a36. a2a412，a2 a411，解得 a211，a41或 a21，a411. 当 a211，a41时，a116，d5. ana1(n1)d16(n1)(5)5n21. 当 a21，a411时，a14，d5. ana1(n1)d4(n1)55n9. 规律方法 a，b，c 成等差数列的条件是 bac2(或 2bac)，可用来进行等差数列的判
6、断或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证 2an1anan2(nN*) 跟踪训练 1已知数列 8，a,2，b，c 是等差数列，则 a，b，c 的值分别为_，_，_. 答案：5 1 4 解析：因为 8，a,2，b，c 是等差数列， 所以 822a，ab22，2c2b.解得 a5，b1，c4. 2已知数列an满足 an1an12an(n2)，且 a25，a513，则 a8_. 答案：21 解析：由 an1an1 2an (n2)知，数列an是等差数列， a25，a513， a1d5，a14d13，解得 a173，d83. an73(n1)8383n13，a88381321. 题型三 等
7、差数列的判断与证明 例 3 已知数列an满足 a14，an44an1(n1)，记 bn1an2.求证：数列bn是等差数列 证明 法一(定义法)：bn11an12144an2an2an2， bn1bnan2an21an2an22an212，为常数(nN*) b11a1212，数列bn是首项为12，公差为12的等差数列 法二(等差中项法)：bn1an2， bn11an12144an2an2an2. bn2an12an1244an244an2an1an2. bnbn22bn11an2an1an22an2an20. bnbn22bn1(nN*)，数列bn是等差数列 规律方法 等差数列判断的常用的 2
8、种方法 (1)定义法：an1and(常数)(nN*)an为等差数列； (2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列 跟踪训练 1判断下列数列是否为等差数列，并说明理由 (1)an3n2；(2)ann2n. 解：(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)， 由 n 的任意性知，这个数列为等差数列 (2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是一个常数， 所以这个数列不是等差数列 2已知1a，1b，1c成等差数列，并且 ac，ac，ac2b 均为正数， 求证：lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)也成等差数列 证明：1a，1b，1c成等差数列，2b1a1c，
9、 2bacac，即 2acb(ac) (ac)(ac2b)(ac)22b(ac) (ac)222aca2c22ac4ac(ac)2. ac，ac2b，ac 均为正数， 上式左右两边同时取对数得， lg(ac)(ac2b)lg(ac)2，即 lg(ac)lg(ac2b)2lg(ac)， lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)成等差数列 1已知等差数列an的通项公式为 an32n，则它的公差为( ) A2 B3 C2 D3 【随堂检测】 答案：C 解析：an32n1(n1)(2)，d2，故选 C. 2在ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( ) A30 B60 C90 D
10、120 解析：A，B，C 成等差数列，ABBC. 又ABC180 ，B60 . 答案：B 3等差数列 a2d，a，a2d，的通项公式是 ( ) Aana(n1)d Bana(n3)d Cana2(n2)d Dana2nd 答案：C 解析：数列的首项为 a2d，公差为 2d， an(a2d)(n1) 2da2(n2)d. 4 已知等差数列an满足 4a33a2， 则an中一定为零的项是( ) Aa6 Ba7 Ca8 Da9 答案：A 解析：法一：设公差为 d(d0)，因为 4a33a2，所以 4(a12d)3(a1d)，所以 a15d，故 ana1(n1)d(n6)d，令(n6)d0，得 n6，故选 A. 法二：设公差为 d(d0)，因为 4a33a2，所以 a33d，又因为a3a12d，所以 a15d，故 an5d(n1)d，令 an0.得 n6，所以数列an中 a60.故选 A. 5一个等差数列的第 5 项 a510，且 a1a2a33， 则首项 a1_，公差 d_. 解析：由题意得 a5a14d10，a1a1da12d3， 即 a14d10，a1d1，解得 a12，d3. 答案：2 3