1、4.1 第1课时 数列的概念及通项公式 新课程标准解读 核心素养 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数. 数学抽象、数学运算 知识点一 数列的概念 1定义：按照确定的 排列的一列数称为数列 2项：数列中的 叫做这个数列的项数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项，用 表示第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项，用 表示其中第 1 项也叫做 3记法：数列的一般形式是 a1，a2，an，简记为an 顺序 每一个数 a1 a2 an 首项 【新知初探】 知识点二 数列
2、的分类 1按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 的数列 无穷数列 的数列 2按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第 2 项起， 每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第 2 项起， 每一项都 它的前一项的数列 常数列 各项 的数列 项数有限 项数无限 大于 小于 都相等 知识点三 数列的通项公式 如果数列an的第 n 项与它的 之间的对应关系可以用 来表示，那么这个 叫做这个数列的通项公式 序号 n 一个式子 式子 名师点津 1数列中的数是按一定顺序排列的因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列例如，数列 4,5,6,7,8,9,10与数列 10,9,8,
3、7,6,5,4 是不同的数列 2在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现例如：1，1,1，1，1，；2,2,2，. 3并非所有的数列都能写出它的通项公式例如， 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列 3,3.1，3.14，3.141，它没有通项公式 4如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式 题型一 由数列的前几项求通项公式 例 1 (1)数列35，12，511，37，的一个通项公式是_； (2)根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项公式： 124，135，146，157，； 3,7，15,31，； 2,6,2,6，. 【题型探究】
4、(1)解析 数列可写为：35，48，511，614， 分子满足：312,422,532,642， 分母满足：5312,8322,11332， 14342，故通项公式为 ann23n2. 答案 ann23n2 (2)解 均是分式且分子均为 1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上 1，第二个因数比第一个因数大 2， an1n1n3. 正负相间，且负号在奇数项，故可用(1)n来表示符号，各项的绝对值恰是 2 的整数次幂减 1，an(1)n(2n11) 为摆动数列，一般求两数的平均数2624， 而 242,642，中间符号用(1)n来表示 an4(1)n 2 或 an 2，n是奇数，6，n是偶数
5、. 规律方法 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； (2)若 n 和 n1 项正负交错，那么符号用(1)n或(1)n1或(1)n1来调控； (3)熟悉一些常见数列的通项公式； (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳 跟踪训练 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，； (2)1，3,5，7,9，； (3)112，223，334，445，； (4)1,11,111,1
6、111，. 解：(1)观察数列中的数，可以看到 011,341，891, 15161,24251，所以它的一个通项公式是 ann21. (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an(1)n1(2n1) (3)此数列的整数部分 1,2,3,4，恰好是序号 n，分数部分与序号 n 的关系为nn1，故所求的数列的一个通项公式为 annnn1n22nn1. (4)原数列的各项可变为199，1999，19999，199 999，易知数列 9,99,999,9 999，的一个通项公式为 an10n1.所以原数列的一个通项公式为
7、 an19(10n1). 题型二 判断数列中项的问题 例 2 已知数列an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的 2 倍 (1)求这个数列的第 4 项与第 25 项； (2)253 和 153 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)由题设条件，知 an n2n. a4 42410，a25 2522555. (2)假设 253 是这个数列中的项，则 253 n2n，解得 n121. 253 是这个数列的第 121 项 假设 153 是这个数列中的项，则 153 n2n，解得 n7214， 这与 n 是正整数矛盾，153 不是这个数列中的项 规律方法 已知数列an的通项公式，判断某
8、一个数是否是数列an中的项，即令通项公式等于该数，解关于 n 的方程，若解得 n 为正整数 k，则该数为数列an的第 k 项，若关于 n 的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列an中的项 跟踪训练 数列 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，则89是该数列的( ) A第 127 项 B第 128 项 C第 129 项 D第 130 项 解析：把该数列的第一项 1 写成11，再将该数列分组，第一组一项：11；第二组两项：12，21； 第三组三项：13，22，31； 第四组四项：14，23，32，41； 容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加 1，且每组的
9、分子从 1 开始逐一增加，因此89应位于第十六组中第八位 由 12158128，得89是该数列的第 128 项. 答案：B 题型三 数列增减性的判断 例 3 已知数列an的通项公式为 an22n9，画出它的图象，并判断增减性 解 图象如图所示，该数列在1,2,3,4上是递减的，在5,6，上也是递减的 方法一：图象法 规律方法 利用数列的图象判断数列的增减性 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性 方法二：作差(商)法 例 4 已知数列an的通项公式 annn21，试判断该数列的增减性 解 an1ann1n121nn21 1n2nn121n21n12254n121n21
10、. 因为 nN*，且 n1， 所以 n1232，n12294，n12294. 故n12254945410， 所以 an1an0，即 an1an.故该数列为递减数列 规律方法 应用函数单调性判断数列增减性的方法 (1)作差法，将 an1an与 0 进行比较； (2)作商法， 将an1an与 1 进行比较(在作商时， 要注意 an0) 跟踪训练 1已知数列an的通项公式为 an2n1，作出该数列的图象并判断该数列的增减性 解：分别取 n1,2,3，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5)， 描点作出图象 如图， 它的图象是直线 y2x1 上的一些等间隔的点 由图象可知该数列为递增数列 2写出数列 1，24，37，410，513，的通项公式，并判断它的增减性 解：该数列的通项公式为 ann3n2， an1ann13(n1)2n3n22(3n1)(3n2). nN*，(3n1)(3n2)0，an1an0， an10 可知 an1an，所以数列an是递增数列 答案：A 5已知数列 2， 5，2 2， 11，则 2 5是该数列的第_项 解析：a1 2，a2 5，a3 8，a4 11， an 3n1. 由 3n12 5得 3n120，解得 n7， 2 5是该数列的第 7 项 答案：7