1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 (满分：150 分 时间：120 分钟) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 m0，n0 且 mn0，则下列不等式中成立的是( ) Anmnm Bnmmn Cmnmn Dmnnm 2不等式|x|(12x)0 的解集为( ) A(，0)0，12 B.，12 C.12， D0，12 3已知不等式 ax2bx20 的解集为x|1x2，则不等式 2x2bxa0 的解集为( ) A.x 1x12 B.x x1或x12 Cx|2x1 Dx|x2 或 x1
2、 4设 Abaab，其中 a，b 是正实数，且 ab，Bx24x2，则 A 与 B 的大小关系是( ) AAB BAB CA10，x27x120的解集为( ) Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|3x2 D 6某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A5 km 处 B4 km 处 C3 km 处 D2 km 处 7已知 a，b，cR，abc0，abc0，T1a1b1c，则( ) AT0 BT0，y0.若2
3、yx8xym22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) Am4 或 m2 Bm2 或 m4 C2m4 D4mb，c0，则 acbc B若 ab，则 ac2bc2 C若 ac2bc2，则 ab D若 ab0，cd，则 acbd 10若正实数 a，b 满足 ab1，则下列选项中正确的是( ) Aab 有最大值14 B. a b有最小值 2 C.1a1b有最小值 4 Da2b2有最小值22 11二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) Ab2a Babc0 Cabc0 Dabc0 12下列命题中是假命题的有( ) A|x|2|x|20 有四个实数解 B设 a，b，c
4、是实数，若二次方程 ax2bxc0 无实根，则 ac0 C若 x23x20，则 x2 D若 xR，则函数 y x241x24的最小值为 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 13已知不等式 x2axb0 的解集为_ 14a，bR，ab 和1a1b同时成立的条件是_ 15已知 x0，y0，且 x2y3，则 xy 的最大值为_，3xyxy的最小值为_(本题第一空2 分，第二空 3 分) 16某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元，六月份的销售额为 500 万元，七月份的销售额比六月份增加 x%，八月份的销售额比七月份增加 x%，九、十月份
5、的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为 7 000 万元，则 x 的最小值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)若 x，y 为正实数，且 2x8yxy0，求 xy 的最小值 18(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 x23xm0 的解集是x|1xn (1)求实数 m，n 的值； (2)若正数 a，b 满足 ma2nb3，求 a b 的最大值 19(本小题满分 12 分)已知 ax22ax10 恒成立 (1)求 a 的取值范围； (2)解关于 x 的不等式 x2xa2a0.
6、20(本小题满分 12 分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中 pq0， 方案 第一次(提价) 第二次(提价) 甲 p% q% 乙 q% p% 丙 12(pq)% 12(pq)% 经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？ 21(本小题满分 12 分)已知函数 yx23xa(xa，a 为非零常数) (1)解不等式x23xaa 时，yx23xa有最小值为 6，求 a 的值 22(本小题满分 12 分)经观测，某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系：y920vv23v1 600(v0) (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时
7、车流量 y 最大？最大车流量为多少？(精确到 0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 【参考答案】 (满分：150 分 时间：120 分钟) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1D 法一：(取特殊值法)令 m3，n2 分别代入各选项检验，可知 D 正确 法二：mn0mnnm，又由于 m0n，故 mnnm 成立 2A 当 x0 时，原不等式即为 x(12x)0，所以 0 x12；当 x0 时，原不等式即为x(12x)0，所以 x0，综上，原不等式的解集
8、为(，0)0，12，故选 A. 3A 由题意知 x1，x2 是方程 ax2bx20 的根 由根与系数的关系得 12ba，122a a1，b1. 不等式 2x2bxa0，即 2x2x10，解得1x12. 4B a，b 都是正实数，且 ab，Abaab2baab2，即 A2， Bx24x2(x24x4)2(x2)222，即 B2，AB. 5A 2x310，x27x120 x35，x3x40 x2，4x34x3. 6 A 设车站到仓库距离为 x，土地费用为 y1，运输费用为 y2，由题意得 y1k1x，y2k2x，x10 时，y12，y28，k120，k245，费用之和为 yy1y220 x45x2
9、20 x45x8，当且仅当20 x4x5，即 x5 时取等号 7B 取特殊值，a2，bc1，则 T320，y0，2yx8xy8当且仅当2yx8xy时取“” . 若2yx8xym22m 恒成立，则 m22m8，解之得4mb，c0 时，acd0时，acbd，D 错，故选 ABD. 10AC a0，b0，且 ab1，1ab2 ab，ab14，ab 有最大值14，选项 A 正确； ( a b)2ab2 ab12 ab1(ab)22，0 a b 2.B 错误； 1a1babab1ab4，1a1b有最小值 4，C 正确； a2b22ab,2ab12，a2b2的最小值不是22，D 错误故选 AC. 11AD
10、 由图象知 a0，对称轴 xb2a1，则 b2a，则 b0. 由 x0 时，yc0，abc0， 由 x1 时，y0，即 abc0， 由 x1 时，y0，则 abc0，故选 AD. 12AD |x|2|x|20，则|x|1 或|x|2，故方程只有两个实数解，故 A 是假命题； 设 a，b，c 是实数，若二次方程 ax2bxc0 无实根，则 b24ac0，则 acb240，则 ac0，可以推出ac0，故 B 是真命题； 若 x23x20，则 x2 且 x1，可推出 x2，故 C 是真命题； 若 xR，则函数 y x241x24的最小值为52，此时 x0，故 D 是假命题 故选 AD. 三、填空题：
11、本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 13x 12x13 方程 x2axb0 的根为 2,3.根据根与系数的关系得：a5，b6.所以不等式bx2ax10，即 6x25x10，4a24a0，解得 0a1. 综上，a 的取值范围为 0a1. (2)由 x2xa2a0 得，(xa)x(1a)a， 即 0a12时，ax1a； 当 1aa，即 a12时，x1220，不等式无解； 当 1aa，即12a1 时，1axa. 综上所述，当 0a12时，解集为x|ax1a； 当 a12时，解集为； 当12a1 时，解集为x|1axa 20解解 设商品原价为 a，设按甲、乙、丙三种方
12、案两次提价后价格分别为 N甲、N乙、N丙， 则 N甲a(1p%)(1q%)，N乙a(1q%)(1p%)， N丙a112pq%112pq% a1pq2002. 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的， 因此，只需比较 a1pq2002与 a(1p%)(1q%)的大小 N甲N丙a1p100q100pq10021pq100pq22002 a2002(2pqp2q2)a2002(pq)20. N丙N甲，按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大 21解解 (1)x23xax，整理得(ax3)(xa)0 时，x3a(xa)0，解集为x 3axa； 当 a0，解集为x x3a或x0)， yt22ata23tta23t2a 2ta23t2a2 a232a. 当且仅当 ta23t，即 t a23时，等号成立， 即 y 有最小值 2 a232a. 依题意有 2 a232a6，解得 a1. 22解解 (1)y920vv23v1 600920v1 600v39202v1 600v39208311.08. 当 v1 600v，即 v40 千米/小时时，车流量最大，最大值为 11.08 千辆/小时 (2)据题意有：920vv23v1 60010，化简得 v289v1 6000， 即(v25)(v64)0，所以 25v64. 所以汽车的平均速度应控制在 25v64 这个范围内