1、2021-2022 学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）第分）第 1-10 题均有四个选项，符合题意题均有四个选项，符合题意的选项只有一个的选项只有一个 1. 2022 年冬奥会将在北京举行，中国将是第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家以下会徽是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用直角三角板作ABCV的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面各组线段中，能组成三角
2、形的是（ ） A. 6，9，14 B. 8，8，16 C. 10，5，4 D. 5，11，6 4. 已知点 P（3，2）与点 Q 关于 x 轴对称，则 Q点的坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，2） C. （3，2） D. （2，3） 5. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边垂直平分线的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三条高的交点 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 7. 已知BOP 与 OP 上点 C，点 A（在点 C 的右边） ，李玲现进行如下操作：以点 O
3、 为圆心，OC 长为半径画弧，交 OB 于点 D，连接 CD；以点 A 为圆心，OC 长为半径画弧 MN，交 OA 于点 M；以点 M 为圆心，CD 长为半径画弧，交弧 MN 于点 E，连接 ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ） A. CDME B. OBAE C. ODC=AEM D. ACD=EAP 8. 如图，在4 4的正方形网格中，有 A，B两点，在直线 a上求一点 P，使PAPB最短，则点 P 的位置应选在（ ） A C点 B. D 点 C. E 点 D. F点 9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分
4、任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OCCDDE，点D，E可在槽中滑动，若75BDE，则CDE的度数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 10. 如图， 将 RtABCV过点B折叠， 使直角顶点C落在斜边AB上的点E处， 折痕为BD， 现有以下结论：DEAB；BCBE；BD平分ABC；BCEV是等边三角形；BD垂直平分EC；其中正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11. 已知一个多边形的内角和是 720 ，则这
5、个多边形是_边形 12. 如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是_ 13. 如图，DEAB，A25，D45，则ACB的度数为_ 14. 如图，在 RtABC中，ACB90 ，A50 ，以点 B 为圆心，BC长为半径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则ACD的度数是_ 15. 如图，AOEBOE15，EF/OB，ECOB，若 EC2，则 EF_ 16. 如图， ABC为等边三角形，点 E在 AB上，点 F 在 AC 上，AECF，CE 与 BF 相交于点 P，则EPB_ 17. 如图，ABCV中，ABAC，AD 平分BAC，点 E线段 BC 延长线上
6、一点，连接 AE，点 C在 AE的垂直平分线上，若12cmDE ，则ABCV的周长是_ 18. 定义： 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值” 若等腰ABCV中，80A ，则它的特征值k _ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 38分）分） 19. 如图，已知：DAB上一点，DF交 AC于点 E，DEFE，FC/AB求证：AECE 证明： 12 AED 与 CEF 中 1134 AEDCEF（ ） AECE （ ） 20. 两个小区 A，B 与两条笔直公路 l1，l2的位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门计划在 C处修
7、建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区 A、B的距离相等，到两条公路 l1，l2的距离也相等，那么点 C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C，要求保留作图痕迹 21. 已知，如图，AB=AC，BD=CD，DEAB于点 E，DFAC 于点 F，求证：DE=DF 22. 如图，已知：OAB，EOF 都是等腰直角三角形，AOB=90 ，中，EOF=90 ，连结 AE、BF 求证：（1）AE=BF； （2）AEBF 23. 在学习实数时，我们知道了正方形对角线的长度是边长的2倍，所以等腰直角三角形的底边长是腰长的2倍例如，图 1中的四边形 ABCD是正方形，VABC是等腰直角三
8、角形，则 AC2AB 小玲遇到这样一个问题：如图 2，在等腰三角形 ABC中，ABAC，BAC45 ，BC22，ADBC 于点 D，求 AD长 小玲发现：如图 3，分别以 AB，AC 为对称轴，分别作出VABD，VACD的轴对称图形，点 D的对称点分别为 E，F，延长 EB，FC 交于点 G，可以得到正方形 AEGF，根据轴对称图形的性质和正方形四条边都相等就能求出 AD 的长，请直接写出：BD 的长为 ，BG的长为 ，AD的长为 ； 参考小玲思考问题的方法，解决问题： 如图 4，在平面直角坐标系 xOy中，点 A（3，0） ，B（0，4） ，AB5，点 P是VOAB 外角的角平分线 AP 和
9、BP 的交点，直接写出点 P的坐标为 . 24. 如图 1，共顶点的两个三角形ABC，ABC，若 ABAB，ACAC，且BAC+BAC180，我们称ABC 与ABC互为“顶补三角形” （1）已知ABC 与ADE 互为“顶补三角形”，AF 是ABC的中线 如图 2，若ADE 为等边三角形时，直接写出 DE与 AF的数量关系 ； 如图 3，若ADE 为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由 如图 3，若ADE 为任意三角形，且 SADE5，则 SABC （2）如图 4，四边形 ABCD中，B+C90，在平面内是否存在点 P，使PAD 与PBC 互为“顶补三角形”，若存在，请画出图形，并证明
10、；若不存在，请说明理由 2021-2022 学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）第分）第 1-10 题均有四个选项，符合题意题均有四个选项，符合题意的选项只有一个的选项只有一个 1. 2022 年冬奥会将在北京举行，中国将是第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家以下会徽是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义求解即可轴对称图形：平面内，一个图形沿一条
11、直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意 故选：C 【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形 2. 用直角三角板作ABCV的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据高线的定义即可得出结论 【详解】解：A、B、D均不是高线 故选：C 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关
12、键 3. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 6，9，14 B. 8，8，16 C. 10，5，4 D. 5，11，6 【答案】A 【解析】 【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形 【详解】解：由 6，9，14可得，6914，故能组成三角形； 由 8，8，16可得，8816，故不能组成三角形； 由 10，5，4可得，4510，故不能组成三角形； 由 5，11，6可得，5611，故不能组成三角形； 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两
13、边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边 4. 已知点 P（3，2）与点 Q 关于 x 轴对称，则 Q点的坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，2） C. （3，2） D. （2，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，y）求解即可 详解】解：点 P（3，2）与点 Q关于 x 轴对称， Q 点的坐标为（3，2） ， 故选：A 【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握点关于坐标轴对称的坐标变化规律是解答的关键 5. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边垂直平分线的交点 C. 三角形三条角平
14、分线的交点 D. 三角形三条高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案. 【详解】解：Q 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等， 到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点. 故选：B 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解题的关键. 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质及三角
15、形内角和可求得答案 【详解】解：如图， 两三角形全等， 2=60 ，1=52 ， =180-50 -60 =70 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键 7. 已知BOP 与 OP 上点 C，点 A（在点 C 的右边） ，李玲现进行如下操作：以点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交 OB 于点 D，连接 CD；以点 A 为圆心，OC 长为半径画弧 MN，交 OA 于点 M；以点 M 为圆心，CD 长为半径画弧，交弧 MN 于点 E，连接 ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ） A. CDME B. OBAE C. O
16、DC=AEM D. ACD=EAP 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：在OCD 和AME 中， OCAMODAECDME， OCDAME（SSS） ， DCO=EMA，O=OAE，ODC=AEM CDME，OBAE 故 A、B、C 都可得到 OCDAME， DCO=AME，则ACD=EAP 不一定得出 故选 D 考点：作图复杂作图 8. 如图，在4 4的正方形网格中，有 A，B两点，在直线 a上求一点 P，使PAPB最短，则点 P 的位置应选在（ ） A. C点 B. D 点 C. E 点 D. F点 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得点 A 关于直线 a的对称点 A，连接 AB，即
17、可求得答案 【详解】如图， 点A是点 A 关于直线 a的对称点，连接A B，则A B与直线 a的交点即为点 P，此时PAPB最短 A B与直线 a 交于点 C， 点 P的位置应选在 C点 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题注意首先作出其中一点关于直线 a 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 a的交点就是所要找的点 9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OCCDDE，点D，E可在槽中滑动，若75BDE，则CDE的度数是（ ） A
18、. 60 B. 65 C. 75 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据 OC=CD=DE，可得O=ODC，DCE=DEC，根据三角形的外角性质可知DCE=O+ODC=2ODC 据三角形的外角性质即可求出ODC数，进而求出CDE 的度数 【详解】OCCDDE， OODC，DCEDEC， 设OODCx， 2DCEDECx， 180CDEDCEDEC1804x， 75BDE， 180ODCCDEBDE， 即180475180 xx， 解得：25x ， 180480CDEx. 故答案为 D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键 10.
19、如图， 将 RtABCV过点B折叠， 使直角顶点C落在斜边AB上的点E处， 折痕为BD， 现有以下结论：DEAB；BCBE；BD平分ABC；BCEV是等边三角形；BD垂直平分EC；其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折的性质即可知BCDBEDVV，再根据全等三角形的性质即可判断正确，由于ABC不一定等于60，故BEC不一定是等边三角形，故错误，由此即可选择 【详解】解：Q将Rt ABCV过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处， BCDBEDVV， 90BEDBCD ，BCBE，CBDEBD，DEDC， DEAB，BD平分ABC，故正确， DE
20、DCQ，BEBC， BD垂直平分EC，故正确， ABCQ不一定等于60， BEC V不一定是等边三角形，故错误， 综上可知，正确 故选：D 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的性质，角平分线的判定，垂直平分线的判定以及等边三角形的判定理解折叠后的两个三角形全等是解答本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11. 已知一个多边形的内角和是 720 ，则这个多边形是_边形 【答案】六 【解析】 【分析】利用 n 边形的内角和可以表示成（n2） 180 ，结合方程即可求出答案 【详解】解：设这个多边形的边数为 n，由题
21、意，得（n2）180 720 ， 解得：n6， 则这个多边形是六边形 故答案为：六 【点睛】 本题主要考查多边形的内角和公式， 比较容易， 熟记 n边形的内角和为 （n2） 180 是解题的关键 12. 如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是_ 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】直接根据三角形的稳定性进行求解 【详解】这样做的道理是三角形具有稳定性 故答案为：三角形具有稳定性 【点睛】 本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用， 如钢架桥、房屋架梁等 13. 如图，DEAB，A25，D45，则ACB的度数为_
22、【答案】110 【解析】 【分析】由 DE 与 AB垂直，利用垂直的定义得到BED 为直角，进而确定出BDE为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余， 求出B的度数， 在ABC中， 利用三角形的内角和定理即可求出ACB 的度数 【详解】解：DEAB， BED=90 ， D=45 ， B=180 -BED-D=45 ， 又A=25 ， ACB=180 -（A+B）=110 故答案为 110 【点睛】此题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键 14. 如图，在 RtABC中，ACB90 ，A50 ，以点 B 为圆心，BC长为半径画弧，交
23、AB 于点 D，连接 CD，则ACD的度数是_ 【答案】20 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解 【详解】解：Q在Rt ABC中，90ACB，50A ， 40B ， BCBDQ， 1(18040 )702BCDBDC ， 907020ACD 故答案为：20 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键 15. 如图，AOEBOE15，EF/OB，ECOB，若 EC2，则 EF_ 【答案】4 【解析】 【分析】作 EGOA于 G，根据角平分线的性质得到 EG的长度，再根据平行线的性质得到OEFCOE15 ， 然后利用三角形的外
24、角和内角的关系求出EFG30 ， 利用 30 角所对的直角边是斜边的一半解题 【详解】解：作 EGOA于 G，如图所示： EF/OB，AOEBOE15 ，ECOB， OEFCOE15 ，EGCE2， AOE15 ， EFG15 15 30 ， EF2EG4 故答案为：4 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含 30 角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出EFG30 是解决问题的关键 16. 如图，ABC等边三角形，点 E在 AB上，点 F在 AC上，AECF，CE与 BF相交于点 P，则EPB_ 【答案】60 【解析】 【分析】 由等边三角形的性质得出 ACBC， AA
25、CB60 ， 证得ACECBF， 得出CBFACE，由外角和定理求得EPBCBF+BCEACE +BCE即可得出答案 【详解】解：ABC为等边三角形， ACBC，AACB60 ， 又AECF， ACECBF（SAS） ， CBFACE， EPBCBF+BCE， EPBCBF+BCEACE +BCEACB60 ， 故答案为：60 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定， 判定全等三角形的方法有 “ASA” 、“SAS” 、“AAS” 、 “SSS” 、 “HL” 17. 如图，ABCV中，ABAC，AD 平分BAC，点 E线段 BC 延长线上一点，连接 AE，点 C在 AE
26、的垂直平分线上，若12cmDE ，则ABCV的周长是_ 【答案】24cm 【解析】 【分析】由 AB=AC，AD 是ABC 的角平分线，根据三线合一的性质，可得 BD=CD，又由点 C 在 AE 的垂直平分线上，可得 AC=CE，继而可得 AB=CE，则可得ABC的周长为 2DE 【详解】解：点 C在 AE的垂直平分线上 AC=CE AB=AC，AD平分BAC BD=CD AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE DE=12cm AB+BC+AC=AB+BD+AC+CD=212=24 cm 即ABC的周长等于 24 cm 故答案为：24cm 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点
27、的距离相等的性质， 等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 18. 定义： 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值” 若等腰ABCV中，80A ，则它的特征值k _ 【答案】8154或 【解析】 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数从而可求解 【详解】解： 当A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：18080502 特征值808505k 当A为底角时，顶角的度数为：180808020 特征值201804k 综上所述，特征值k为85或14 故答案为85或14 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质， 熟记等腰三角形的性质是解题的关
28、键， 要注意到本题中， 已知A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 38分）分） 19. 如图，已知：D是 AB上一点，DF 交 AC 于点 E，DEFE，FC/AB求证：AECE 证明： 12 在AED与CEF 中 1134 AEDCEF（ ） AECE （ ） 【答案】FC/AB；DEFE；AAS；全等三角形对应边相等 【解析】 【分析】根据平行线性质得出12，根据 AAS 证AEDCEF，根据全等三角形的对应边相等得出AECE即可 详解】证明：FC/AB， 12 在AED与CEF 中 1134DEFE AEDC
29、EF（AAS） AECE（全等三角形对应边相等） 故答案为：FC/AB；DEFE；AAS；全等三角形对应边相等 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，对顶角相等等知识点的应用熟练掌握全等三角形的判定是解本题的关键 20. 两个小区 A，B 与两条笔直的公路 l1，l2的位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门计划在 C处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区 A、B的距离相等，到两条公路 l1，l2的距离也相等，那么点 C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C，要求保留作图痕迹 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】作EOF的角平分线 OP，
30、作线段 AB的垂直平分线 MN，交 OP 于点 C，点 C即为所求. 【详解】解：作EOF的角平分线 OP，作线段 AB的垂直平分线 MN，交 OP于点 C 【点睛】本题考查作图-应用于设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，学会利用角平分线的性质解决问题. 21. 已知，如图，AB=AC，BD=CD，DEAB于点 E，DFAC 于点 F，求证：DE=DF 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 连接 AD， 利用 “边边边” 证明ABD 和ACD全等， 然后根据全等三角形对应角相等可得BAD=CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可 【详解】证明：
31、连结AD， 在ABD和ACD中， ABACBDCDADAD， ABDACD SSS ， BADCAD， 又DEAB，DFAC， DEDF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键 22. 如图，已知：OAB，EOF 都是等腰直角三角形，AOB=90 ，中，EOF=90 ，连结 AE、BF 求证： （1）AE=BF； （2）AEBF 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）通过证AEOBFO得到 AE=BF； （2）延长 AE 交 BF 于 D，交 OB 于 C，在BCD 和ABC中，由BCD=
32、ACO，OAC=OBF，可得BDA=AOB=90 ，即可证. 【详解】解： （1）在AEO与BFO中， RtOAB 与 RtEOF 是等腰直角三角形， AO=OB，OE=OF，AOE=90 -BOE=BOF， AEOBFO， AE=BF； （2）延长 AE 交 BF于 D，交 OB 于 C，则BCD=ACO， 由（1）知AEOBFO， OAC=OBF， BDA=AOB=90 ， AEBF 【点睛】 23. 在学习实数时，我们知道了正方形对角线的长度是边长的2倍，所以等腰直角三角形的底边长是腰长的2倍例如，图 1中的四边形 ABCD是正方形，VABC是等腰直角三角形，则 AC2AB 小玲遇到这样
33、一个问题：如图 2，在等腰三角形 ABC中，ABAC，BAC45 ，BC22，ADBC 于点 D，求 AD的长 小玲发现：如图 3，分别以 AB，AC 为对称轴，分别作出VABD，VACD的轴对称图形，点 D的对称点分别为 E，F，延长 EB，FC 交于点 G，可以得到正方形 AEGF，根据轴对称图形的性质和正方形四条边都相等就能求出 AD 的长，请直接写出：BD 的长为 ，BG的长为 ，AD的长为 ； 参考小玲思考问题的方法，解决问题： 如图 4，在平面直角坐标系 xOy中，点 A（3，0） ，B（0，4） ，AB5，点 P是VOAB 外角的角平分线 AP 和BP 的交点，直接写出点 P的坐
34、标为 . 【答案】小玲发现：2；2；22；解决问题： （6，6） 【解析】 【分析】小玲发现：根据等腰三角形的三线合一可得 BDCD12BC2，再根据轴对称的性质可得 BECF2， 再根据题意可得四边形 AEGF为正方形， 由此可得 EGFGAE， G90 ， 进而可得BGCV为等腰直角三角形，由此可求得 BG2，再根据轴对称的性质即可求得 AD的长； 解决问题： 过点 P 作 PMx 轴于点 M， 作 PNy 轴于点 N， 作 PHAB 于点 H， 仿照小玲的解法求解即可 【详解】解：小玲发现： ABAC，ADBC，BC22， BDCD12BC2， 翻折， ABDABE，ACDACF， BD
35、BE2，CDCF2，ADAE， BECF2， 又由题意可得：四边形 AEGF 为正方形， EGFGAE，G90 ， EGBEFGCF， 即 BGCG， BGCV为等腰直角三角形， BC2BG， 又BC22， BG2， AEEGBEBG22， ADAE22， 故答案为：2；2；22； 解决问题： 如图，过点 P 作 PMx 轴于点 M，作 PNy 轴于点 N，作 PHAB于点 H， AP，BP 分别平分BAM，ABN，PMx轴，PNy 轴，PHAB， PMPHPN，PNBPHBPHAPMA90 ， 在RtPNB与RtPHB中， PNPHBPBP， ()RtPNBRtPHB HL， BNBH，BP
36、NBPH， 同理可得：AMAH，APMAPH ， AB5， 5AMBNAHBHAB， 点 A（3，0） ，B（0，4） ， 3OA，4OB ， 3 4 5 12OMONOA OBAMBN ， 90AOB， OABOBA90， 180180BAMABNOABOBA 360()OABOBA 36090 270， AP，BP 分别平分BAM，ABN， 11,22BAPBAMABPABN， 1()2BAPABPBAMABN 12702 135， 180()18013545APBBAPABP ， 又BPNBPH，APMAPH ， NPMBPNBPHAPHAPM 2()BPHAPH 2 APB 90， 又
37、PNBPMAAOB90 ，PMPN， 四边形PMON为正方形， 11262PMPNOMON， 点 P的坐标为（6，6） ， 故答案为： （6，6） 【点睛】 本题考查了轴对称图形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义与性质以及坐标与图形，熟练掌握相关图形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键 24. 如图 1，共顶点的两个三角形ABC，ABC，若 ABAB，ACAC，且BAC+BAC180，我们称ABC 与ABC互为“顶补三角形” （1）已知ABC 与ADE 互为“顶补三角形” ，AF 是ABC的中线 如图 2，若ADE 为等边三角形时，直接写出 DE与 AF的数量关系 ； 如图 3
38、，若ADE 为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由 如图 3，若ADE 为任意三角形，且 SADE5，则 SABC （2）如图 4，四边形 ABCD中，B+C90，在平面内是否存在点 P，使PAD 与PBC 互为“顶补三角形” ，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）DE2AF；结论仍然成立，理由见解析；5（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由等边三角形的性质可得 ADAEDE，DAE60 ，由互为“顶补三角形”定义可得 ABADAEACDE，BAC120 ，由等腰三角形和直角三角形的性质可求 ABDE2AF； 延长 AF到 G，使 AFFG
39、，连接 BG，由题意可证AFCGFB，可得 BGAC，C1，ABG180 BAC，由互为“顶补三角形”定义可得 ABAD，ACAE，BACDAE180 ，可证ABGDAE，即 DEAG2AF； 由证得AFCGFB，ABGDAE，即可得到 SABCSABF+SAFCSABF +SGFBSABGSADE； （2）延长 CD交 BA延长线于点 Q，作 CD的垂直平分线 EP交 AB的垂直平分线于点 P，连接 CP，DP，AP，BP，由线段垂直平分线的性质可得 PCPD，PAPB，PECD，PFAB，由等腰三角形的性质可得DPECPE， APFBPF， 可证APDBPC180 ， 即可证PAD与PBC
40、互为 “顶补三角形” 【详解】证明： （1）ADE 是等边三角形， ADAEDE，DAE60 ， ABC与ADE 互为“顶补三角形” ， ABADAEACDE，BAC120 ， ABAC，AF是中线，BAC120 AFBC，B30 AB2AF DE2AF 故答案为：DE2AF 结论仍然成立，理由如下： 如图，延长 AF到 G，使 AFFG，连接 BG， AF 是ABC的中线， BFFC， BGAC，AC/BG， 又AFCBFG AFCGFB， BGAC，C1， ABG2+1C+2180 BAC， ABC与ADE 互为“顶补三角形” ， ABAD，ACAE，BACDAE180 ， AEACBG，
41、DAEABG，且 ABAD ABGDAE（SAS） DEAG2AF 如图，延长 AF 到 G，使 AFFG，连接 BG， 由证得AFCGFB， SAFCSGFB， SABCSABF+SAFCSABF +SGFBSABG， 又由证得：ABGDAE， SADESABG5， SABC5， 故答案为：5 （2）存在，理由如下： 如图，延长 CD交 BA 延长线于点 Q，作 CD的垂直平分线 EP交 AB的垂直平分线于点 P，连接 CP，DP，AP，BP， PE 垂直平分 CD，PF 垂直平分 AB， PCPD，PAPB，PECD，PFAB， DPECPE，APFBPF， BC90 ， Q90 ，且 PECD，PFAB， EPF90 ， APDDPEAPF90 APDBPCAPDEPFCPEBPFAPDDPEAPF90 APDBPC180 ，且 PCPD，PAPB， PAD与PBC 互为“顶补三角形” ， 【点睛】考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键