1、2021-2022学年第一学期九年级数学期中试题一、选择题 (本题有10小题，每小题4分，共40分)1. 下列式子正确的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 3. 如果 ， 那么下列不等式中不成立的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ）A. 调查本班同学的体育达标情况B. 了解“嫦娥五号”探测器零部件状况C. 疫情期间，了解全校师生入校时体温情况D. 调查黄河的水质情况5. 如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（ ）个A. 7B. 6C. 5D. 46. 如图，在平面
2、直角坐标系中，点，在坐标轴上，是中点，四边形是矩形，四边形是正方形若点的坐标为，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在边长为4正方形中，对角线与相交于点，是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，连接，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（ ）A B. C. D. 8. 如图，在扇形中，是的中点，是的中点，连接，则阴影部分的面积为（ ）A. 1B. C. D. 9. 已知点在抛物线上，当时，总有；当时，总有，则的值可以是（ ）A. 1B. C. 2D. 10. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论正确的有：
3、（ ）；若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36；A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题 (本题有 8小题，每小题4分，共32分）11. 数轴上A，B两点表示的数分别为2和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为_12. 若，且，则的值为_13. 若关于x的一元二次方程ax2+bx0（a0）的其中一根为x2020，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b0的根为_14. 一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除分别标有的数字，不同外，其他完全相同任意从袋子中摸出一个小球不放回，再任意摸出一个小球，则两次摸出的小球上所标数字之和为正数的概率是_15. 如图，在正五边形ABCDE
4、中，AC与BE相交于点F，则AFE的度数为_16. 抛物线（，是常数， ）经过，下列四个结论：；点，在抛物线上，当时，；若抛物线与轴交于不同两点，且，则；若，对应的的整数值有3个，则其中正确的结论是_（填写序号）17. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_18. 图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的的值为_；记图1中小正方形的中心为点，图2中的对应点为点，以大正方
5、形的中心为圆心作圆，则当点，在圆内或圆上时，圆的最小面积为_三 解答题（本题有8个小题，共78分）19. 计算 (1) (2) 20. 某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据（不完整）：青少年视力健康标准类别视力健康状况视力视力正常4.9轻度视力不良视力中度视力不良视力重度视力不良根据以上信息，请解答：（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别）的人数（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2
6、020年初增加了多少人？（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由21. 如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、（1）求证：；（2）连接，若求证：22. 某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元（1）A种商品每件进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（
7、3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10m20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和过A作轴于C，交OB于E，且（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）当x为何值时，；（3）若点P是线段AB的中点，求的面积24. 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点
8、正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围25. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”如图所示，点、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦的长；（2）已知点是“蛋圆”上的一点（不与点，点重合），点关于轴的对称
9、点是点，若点也在“蛋圆”上，求点坐标；（3）点是“蛋圆”外一点，满足，当最大时，直接写出点的坐标26. 如图1，是的外接圆，点是的中点，过点作，交弦的延长线于点（1）求证：；（2）若的半径为6，求的值；（3）如图2，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论2021-2022学年第一学期九年级数学期中试题一、选择题 (本题有10小题，每小题4分，共40分)1. 下列式子正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简与同类二次根式合并即可【详解】解：A、，故此选项错误；B、
10、，故此选项错误；C、，故此选项错误；D、，故此选项正确故答案为：D【点睛】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式，熟练掌握 和与同类二次根式是解题的关键2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算即可【详解】A. 不能合并，故A错误；B. ，故B错误；C. ，故C错误；D. ，故D正确；故答案为D.【点睛】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式.3. 如果 ， 那么下列不等式中不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不
11、等式的性质逐个判断即可不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；不等式的性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变【详解】解：A、，选项正确，不符合题意；B、，选项正确，不符合题意；C、，选项正确，不符合题意；D、，选项错误，符合题意故选：D【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；不等式的性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向
12、要改变4. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ）A. 调查本班同学的体育达标情况B. 了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况C. 疫情期间，了解全校师生入校时体温情况D. 调查黄河的水质情况【答案】D【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答【详解】解：A、调查本班同学的体育达标情况，适合全面调查，故该选项不合题意；B、了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况，适合采用全面调查方式，不符合题意；C、疫情期间，了解全校师生入校时体温情况，适宜采用全面调查方式，故该选项不合题意；D调查黄河的水质情况，适合采用抽样调查方式，故本选项符合题意故
13、选D故选：D【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查5. 如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（ ）个A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】D【解析】【分析】先解分式方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出a的值【详解】解：解方程，得，但当时，是增根，且，由二元一次方程组得，足，且，为整数，满足条件的整数a有，0，故选：D【点睛
14、】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键6. 如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形若点的坐标为，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过D作轴于H，根据矩形和正方形的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D作轴于H，如下图：四边形是矩形，四边形是正方形，是的中点，点C的坐标为（6，0），同理，故选B【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键7. 如图，在边长为4的正方形中，对角线与相交于点，是上的一个动点，过点作，
15、分别交正方形的两条边于点，连接，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正方形的性质得，当P在OB上时，即0x，EF=2BP=2x，；当P在OD上时，即x，根据抛物线的开口方向顶点坐标，自变量取值范围，对称轴即可选出答案【详解】解：四边形ABCD是正方形，边长为4，AC=BD=，OB=OD=BD，当P在OB上时，即0x，EFAC，BEFBAC，EF：AC=BP：OB，EF=2BP=2x，；当P在OD上时，即x，EFAC，DEFDAC，EF：AC=DP：OD，即EF：=（）：2，这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：两个二次
16、函数的图象是一条抛物线一部分，开口方向均向下，点P在OB上时顶点坐标为，对称轴分别为自变量取值范围为，点P在OD上时顶点坐标为，对称轴分别为自变量取值范围为故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，函数的图象，正方形的性质，二次函数的性质，解答本题的关键是利用三角形的面积公式列出分段二次函数解析式解决问题8. 如图，在扇形中，是的中点，是的中点，连接，则阴影部分的面积为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接OD，过D作DHOA于H，求得DH=OD=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接OD，过D作DHOA于H，AOB=90°，D是
17、的中点，AOD=BOD=45°，OD=OA=2，DH=OD=，C是OA的中点，OC=1，阴影部分的面积=S扇形DOB+SCDO-SBCO，故选：C【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键9. 已知点在抛物线上，当时，总有；当时，总有，则的值可以是（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】将化成顶点式，得到顶点为，根据时，总有，可判断出，抛物线开口向下，且对称轴为，由已知条件可得到时，时，转化成不等式组，即可得到的值【详解】解：抛物线，抛物线的顶点为，当时，总有，不可能大于0，则，时，
18、随的增大而增大，时，随的增大而减小，当时，总有，当时，总有，且与关于 对称，时，时，故选：【点睛】本题考查抛物线的顶点式，二次函数图象的性质，以及根据条件确定不等式解集等知识点，牢记知识点是解题关键10. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论正确的有：（ ）；若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36；A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】连接OE、AF，利用四点共圆证明AFPABP45°即可；设BEECa，求出AE，OA即可解决问题；利用相似三角形的性质计算求得正方形ABCD的面积为48；利用相似三角形的性
19、质证明即可【详解】解：如图，连接OE、AF四边形是正方形，四点共圆，故正确，设，则由勾股定理可得：，即，故正确，根据对称性可知，故错误，故正确，故选B【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题二、填空题 (本题有 8小题，每小题4分，共32分）11. 数轴上A，B两点表示的数分别为2和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为_【答案】#【解析】【分析】先根据对称点可以求出AC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C点坐标【详解】解：点B关于点A的对称点为C，CA=AB=|
20、-（-2）|=+2，设点C所表示的数是x，CA=|-2-x|=+2，x=-2±（+2）=-4±，C点在原点左侧，C表示的数：-4-，故答案为：【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握用数轴理解题意，用x表示线段的长是解决本题的关键12. 若，且，则的值为_【答案】19【解析】【分析】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3可求出k的值，进而求出x、y、z的值即可求得答案.【详解】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3得：15k=12k+3，解得：k=1，所以x=3，y=5，z=6，所以x+2y+z=3+10+6=19，故答案为19.【点睛】： 本题考查了
21、比例的性质已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元熟练掌握比例的性质是解题关键.13. 若关于x的一元二次方程ax2+bx0（a0）的其中一根为x2020，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b0的根为_【答案】x12，x22018#x12018，x2-2【解析】【分析】根据条件可以可到x+22020或x+20，据此即可解决【详解】解：关于x的方程：a（x+2）2+b（x+2）0，且关于x的一元二次方程ax2+bx0（a0）的一根为x2020，另一个根为x0，x+22020或x+20，解得x2018或2故答案为：x12，x22018【点
22、睛】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用换元的思想是解题的关键14. 一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除分别标有的数字，不同外，其他完全相同任意从袋子中摸出一个小球不放回，再任意摸出一个小球，则两次摸出的小球上所标数字之和为正数的概率是_【答案】【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两次摸出的球所标数字之和为正数的结果数，再根据概率公式求解可得.【详解】列表如下：-3-225-3-5-12-2-5032-1075237或画树状图如解图：由列表或画树状图可知共有12种等可能的结果，两个小球上所标数字之和为正数的有6种，则摸出两个小球上所标数字之和为正数的概率是.【点睛】此题考查
23、的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是不放回实验.15. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则AFE的度数为_【答案】72°【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，ABC=BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得BAC=BCA=ABE=AEB=（180°108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到AFE=BAC+ABE=72°【详解】五边形A
24、BCDE为正五边形，AB=BC=AE，ABC=BAE=108°，BAC=BCA=ABE=AEB=（180°108°）÷2=36°，AFE=BAC+ABE=72°，故答案为72°【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键16. 抛物线（，是常数， ）经过，下列四个结论：；点，在抛物线上，当时，；若抛物线与轴交于不同两点，且，则；若，对应的的整数值有3个，则其中正确的结论是_（填写序号）【答案】【解析】【分析】把A、B两点的坐标代入函数解析式中，可得函数解析式，即可对作出判断；根据所得函数解析式，即可知抛
25、物线的对称轴为直线x=2，当时，满足，根据抛物线的性质，可对作出判断；根据根与系数的关系及CD=，可得关于a的不等式，解不等式即可对作出判断；当x=3时，y=-3a+3，由函数的性质可得:，根据题意可得不等式：，从而可求得a的范围，可对作出判断【详解】把A、B两点的坐标代入函数解析式中，得： 4a+b=0故正确函数的解析式为：抛物线的对称轴为直线x=2a<0当，即，函数值随自变量的增大而增大，即故错误设，则为方程的两个根由根与系数的关系，得：， 即 解得： 故正确当x=3时，y=-3a+3；当x=4时，y=3而当x>2时，函数值随自变量的增大而减小当，由于此时y的整数值有3个，则只
26、能是3，4，5这三个整数，所以 解不等式组得：故正确所以正确的结论为：故答案为：【点睛】本题是二次函数的综合性问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，解不等式（组）等知识，熟练并灵活运用这些知识是解决本题的基础和关键，弄清的实质是或，把CD2用两根的和与两根的积的代数式表示是解决本题的两个难点17. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_【答案】或【解析】【分析】根据题意，点B不可能
27、在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：当点B在边DE上时；当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可【详解】解：根据题意，点称为点的“倒数点”，点B不可能在坐标轴上；点A在函数图像上，设点A为，则点B为，点C为，当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，经检验，是原分式方程的解；点B为，的面积为：；当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，解得：，经检验，是原分式方程的解；点B为，的面积为：；故答案为：或【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想
28、进行分析18. 图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的的值为_；记图1中小正方形的中心为点，图2中的对应点为点，以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，在圆内或圆上时，圆的最小面积为_【答案】 . . 【解析】【分析】（1）先求出剪拼后大正方形的面积，得到其边长，再结合图2，求出图1中长方形的长边除去长为d部分的线段后，剩下的线段长刚好为大正方形的边长，最后用图1中的长方形的长减去图2中大正方形的边长即可完成求解；（2）结合两图分别求出对应线段的长，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出O点到、之间的距离即可确定最小圆
29、的半径，即可完成求解【详解】解：图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，每个小正方形边长为2，图1和图2中整个图形的面积为，所以图2中正方形的边长,如下图3所示；图1中，；分别连接、，并分别过点、向大正方形对边作垂线，得到如图所示辅助线，综合两图可知，,O点到大正方形各边距离为，,;综合两图可知：,；继续综合两图可知：,，距离O点最远，最小圆的半径应为，圆的面积为；故答案为：；【点睛】本题考查了正方形和长方形的基础知识、线段之间的和差关系、完全平方公式、勾股定理、圆的面积公式等内容，解决本题的关键是理解题意、读懂图形、找出两个图形之间的关联、能灵活运用勾股定理等公式求解线段的长等；本
30、题要求学生对图形具有一定的感知能力，有较强的计算能力等，该题蕴含了数形结合等思想方法三 解答题（本题有8个小题，共78分）19. 计算 (1) (2) 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先算乘方和乘法，再合并，即可求解；（2）先算括号内的，再算除法，即可求解【详解】解：(1) ；(2) 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键20. 某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据（不完整）：青少年视力健康标准类别视力健康状况视力视力正常4.9轻度视力不良视力
31、中度视力不良视力重度视力不良根据以上信息，请解答：（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别）的人数（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常人数比2020年初增加了多少人？（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由【答案】（1）44.1°，113；（2）600；（3）该市八年级学生2021年初视力不良率符合要求，理由见解析【解析】【分析】（1）利用360°乘以2021年初轻度视力不良的百分
32、数，用总数400减去2020年初B、C、D三类的人数即可；（2）分别求出2021年初视力正常的人数和2020年初视力正常的人数，相减即可得出答案；（3）先求出该市八年级学生2021年初视力不良率，与69%进行比较即可【详解】（1）被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数该批400名学生2020年初视力正常人数（人）（2）该市八年级学生2021年初视力正常的人数，这些学生2020年初视力正常的人数，增加的人数，该市八年级学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了600人（3）该市八年级学生2021年初视力不良率，该市八年级学生2021年初视力不良率符合要求【点睛】本题
33、考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小21. 如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、（1）求证：；（2）连接，若求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）易证BEGAEB，利用对应边成比例即可解决；（2）由（1）的结论及BE=CE，易证明CEGAEC，从而可得CGE=ACE，由OB=OC，可得【详解】（1）四边形ABCD是矩形ABE=90°ABG+EBG=90°ABG+BAG=90°EB
34、G=BAGRtBEGRtAEB （2）由（1）有：BE=CECEG=AECCEGAECCGE=ACE四边形ABCD是矩形AC=BDOB=OC DBC=ACE【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键22. 某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3
35、）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10m20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案【答案】（1）A种商品和B种商品的进价分别是50元/件，30元/件；（2）5种；（3）见解析【解析】【分析】（1）设A种商品和B种商品的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系：3件A商品的总价+4件B商品的总价=270， 5件A商品的总价+2件B商品的总价=310,即可列出方程组，解方程组即可；（2）设A商品购进n件，根据不等关系：购进A商品所需的费用+购进B商品所需的费用1560，A种商品的数量B种商品数
36、量×，列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；（3）设总利润为W元，购进A种商品x件，求得W关于x的函数关系式为，对m的取值讨论即可求得总利润最大的进货方案【详解】（1）设A种商品和B种商品的进价分别是a元/件、b元/件，则，解得，故A种商品和B种商品的进价分别是50元/件，30元/件（2）设A商品购进n件，则 ，解得，n14，15，16，17，18，答：共有5种方案（3）设总利润为W元，购进A种商品x件，则（14x18且x为整数），10m20，当10m15时，W随x的增大而增大，当x18时，W取最大值此时，购进A商品18件，B商品22件当m15时，W恒等于600
37、怎样购买利润都不变当15m20时，W随x的增大而减小，当x14时，W取最大值此时，购进A商品14件，B商品26件【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和过A作轴于C，交OB于E，且（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）当x为何值时，；（3）若点P是线段AB的中点，求的面积【答案】（1）一次函数为y=-x+4，反比例函数为y=；（2）当1x3时，-x+b；（3）2【解析】【分析】（1）EB=2EO，则OE：OB=1：3，进而求出点A（1，3）
38、，即可求解；（2）根据图象即可求得；（3）根据SAOB=SAOC+S梯形ACDB-SBOD=S梯形ACDB求得AOB的面积，进而求解【详解】解：（1）作BDx轴于D，EB=2EO，OE：OB=1：3，则OC：OD=1：3，B点横坐标为3，A点的横坐标为1，即m=1，点A（1，3）在直线y=-x+b及y=上，3=-1+b，3=，解得b=4，k=3，一次函数为y=-x+4，反比例函数为y=；（2）由图象可知，当1x3时，-x+b；（3）连接OA， B（3，n）在直线y=-x+4上，n=-3+4=1，B（3，1），SAOB=SAOC+S梯形ACDB-SBOD=S梯形ACDB=(3+1)(3-1)=4
39、，点P是线段AB的中点，SPOB=SAOB=2【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及三角形面积，综合性较强，难度适中24. 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距
40、离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围【答案】（1）；（2）12米；（3）【解析】【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线即可求解；（2）高度差为1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线可知坡顶坐标为 ，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出b的取值范围【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，解得：，抛物线的函数解析式；（2）运动员与小山坡的竖直距离为米，解得：（不合题意，舍去）， ，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的
41、竖直距离为米；（3）点A（0，4），抛物线，抛物线，坡顶坐标为 ，当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，解得：【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4) 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题25. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”如图所示，点、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及
42、“蛋圆”的弦的长；（2）已知点是“蛋圆”上的一点（不与点，点重合），点关于轴的对称点是点，若点也在“蛋圆”上，求点坐标；（3）点是“蛋圆”外一点，满足，当最大时，直接写出点的坐标【答案】（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为，CD的长；（2）E1(，1)，E2(，1)，E3(，1)，E4(，1)；（3）点P的坐标为（1，）【解析】【分析】（1）求出点A，B的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；将x=0代入抛物线的解析式得y=-3，故此可得到DO的长，可得到AB的长，由M为圆心可得到MC和OM的长，然后依据勾股定理可求得OC的长，最后依据CD=OC+OD求解即可（2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，EF与x轴交于点H，连接EM由HM2+EH2=EM2，点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上，可得方程组，以及对称性求解；（3）根据BPC=60°保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大弦进行解答即可【详解】解：（1）圆心的坐标为，半圆半径为2A（-1，0），B（3，0）设“蛋圆”抛物线部分的解析式为 把A（-1，0），B（3，0），D（0，-3）代入解析式得， 解得， “蛋圆”抛物线部分的解析式为连接AC，BC，MC点D的坐标为（0，-3），OD的长为3A（-1，0），B（3，0）AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0）MC=2，OM=1在RtCOM中，OC=