1、2021 学年第一学期九年级期中考数学试卷学年第一学期九年级期中考数学试卷 一试题（共一试题（共 24 小题）小题） 1. tan45 的值为（ ） A. 12 B. 1 C. 22 D. 2 2. 下列属于必然事件的是（ ） A. 水滴石穿 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 大海捞针 3. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. Oe的半径为 6cm，圆心O到直线l的距离为 7cm，则直线l与Oe的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 5. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方
2、体的个数为( ) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 6. 如图，PA、PBO 切线，A、B为切点，点 C在O 上,且ACB55 ，则APB等于( ) A 55 B. 70 C. 110 D. 125 7. 如图，在ABC中，cosB22，sinC35，AC5，则ABC 的面积是( ) A. 212 B. 12 C. 14 D. 21 8. 如图物体由两个圆锥组成其主视图中，90A ，105ABC，若上面圆锥侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 32 D. 2 9. 正方形 ABCD内，有一个内切圆O电脑可设计程序：在正方形内可随机产生一系列点
3、，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数 a 个，O内的点数 b 个 （在正方形边上和圆上的点不在统计中），根据用频率估计概率的原理，可推得 的大小是（ ） A. ab B. 4ba C. ba D. 4ab 10. 如图，已知直线334yx与 x轴、y轴分别交于 A、B 两点，P 是以 C（0，1）为圆心，1 为半径的圆上一动点，连结 PA、PB则PAB面积的最大值是（ ） A. 8 B. 12 C. 212 D. 172 11. 一个不透明的袋中只装有 1 个红球和 2 个蓝球，它们除颜色外其余均相同现随机从袋中摸出一个球，颜色是蓝色的概率是_ 12. 已知在直角三角形ABC中，C为直角
4、，tan2ABC，2AC ，则AB _ 13. 若三角形的面积是 24cm2，周长是 24cm，则这个三角形内切圆的半径_cm 14. 如图，有一个底面直径与杯高均为 15cm的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面_cm(sin520.79，cos520.62，tan521.28) 15. 如图， O 的半径为 2， 圆心 O到直线 l的距离为 4， 有一内角为 60 的菱形， 当菱形的一边在直线 l上，另有两边所在的直线恰好与O相切，此时菱形的边长为_ 16. 如图，在平面直角坐标系中，3 5AB ，连接AB并延长至C，连接OC，
5、若满足2OCBC AC，tan2，则点C的坐标为_ 17. 计算：02sin452021 tan602cos60 18. 如图， 从Oe外一点A引圆的切线AB， 切点为B， 连接AO并延长交圆于点C， 连接BC 若30A ， （1）求ACB的度数 （2）若3AB ，求AC的长. 19. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用 A、B、C 表示）和三个化学实验（用 D、E、F表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，分别从中各随机抽取一个 （1）用“列表法”或“画树状图法”表示所有可能出现结果； （2）小刚抽到物理实验 B
6、和化学实验 F（记作事件 M）的概率是多少？ 20. 如图所示， 某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED， 从办公楼顶端 A测得旗杆顶端 E的俯角 是 45 ，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC是 20 米，梯坎坡长 BC是 12 米，梯坎坡度 i1：3，求大楼 AB的高度是多少？（结果保留根号） 21. 几何体的三视图相互关联已知直三棱柱的三视图如图，在 PMN 中，MPN=90，PN=4，sinPMN=45 （1）求 BC 及 FG 的长； （2）若主视图与左视图两矩形相似，求 AB 的长； （3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积 22. 如图，四边形 ABCD内接
7、于O，对角线 AC为O直径，过点 C作 CEAC 交 AD 的延长线于点 E，F为 CE的中点，连结 DB，DF （1）求CDE 的度数 （2）求证：DF是O的切线 （3）若 tanABD=3 时，求ACDE的值 23. 我们定义： 等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对()sad 如图在ABC中，ABAC， 顶角A的正对记作sadA，这时BCsadAAB底边腰容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）60sad ;120sad （2）如图，在Rt ABCV中，90ACBo，已知3sin5A ，试求sadA的值 （3）直线263yx 与x轴
8、，y轴分别交于点,A B，点,M N分别在线段,AB OA上，且MON是等腰三角形，设MON的顶角为，当65sad时，求点M的坐标 （请直接写出结果） 24. 如图 1，以 AB 为直径作O，点 C是直径 AB上方半圆上的一点，连结 AC，BC，过点 C作ACB 的平分线交O于点 D，过点 D作 AB的平行线交 CB 的延长线于点 E （1）如图 1，连结 AD，求证：ADCDEC （2）若O的半径为 5，求 CACE 的最大值 （3）如图 2，连结 AE，设 tanABCx，tanAECy， 求 y 关于 x的函数解析式； 若CBBE45，求 y的值 2021 学年第一学期九年级期中考数学试
9、卷学年第一学期九年级期中考数学试卷 一试题（共一试题（共 24 小题）小题） 1. tan45 的值为（ ） A. 12 B. 1 C. 22 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可得 tan45 =1， 故选 B 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值 2. 下列属于必然事件的是（ ） A. 水滴石穿 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 大海捞针 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义逐项进行判断即可 【详解】解：A、水滴石穿是必然事件，选项正确； B、水中捞月是不可能事件，选项错误； C、守株待兔是随机事件，选项错误； D、大海捞
10、针是随机事件，选项错误 故选：A 【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的区分，牢记相关定义是解题关键 3. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可 【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 4. Oe的半径为 6cm，圆心O到直线l的距离为 7cm，则直线l与Oe的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据直线与
11、圆的位置关系即可得出结论 【详解】解：OQe的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，67， 直线l与Oe相离 故选：C 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系， 掌握设O 的半径为 r， 圆心 O到直线 l的距离为 d， 当 dr时，直线 l和O相离是解答此题的关键 5. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数为( ) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由俯视图可得最底层几何体的个数，由主视图和左视图可得几何体第二层正方体的个数，相加即可 试题解析：俯视图中有 4 个正方形，那么最底层有 4
12、个正方体， 由主视图可得第二层最多有 2 个正方体， 有左视图可得第二层只有 1 个正方体， 所以共有 4+1=5 个正方体 故选 B 考点：由三视图判断几何体 6. 如图，PA、PB是O切线，A、B 为切点，点 C 在O 上,且ACB55 ，则APB 等于( ) A. 55 B. 70 C. 110 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接 OA，OB，求得AOB110 ，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解 【详解】解：连接 OA，OB， PA，PB是O切线， PAOA，PBOB， ACB55 ， AOB110 ， APB360
13、909011070 故选 B 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出AOB的度数 7. 如图，在ABC中，cosB22，sinC35，AC5，则ABC 的面积是( ) A. 212 B. 12 C. 14 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知作出三角形的高线 AD，进而得出 AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积 【详解】解：过点 A作 ADBC， ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5， cosB=22=BDAB， B=45， sinC=35=ADAC=5AD， AD=3， CD=2253=4， BD=3， 则ABC的面
14、积是：12ADBC=123（3+4）=212 故选 A 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出 ADBC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键 8. 如图物体由两个圆锥组成其主视图中，90A ，105ABC，若上面圆锥的侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 32 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先证明ABD为等腰直角三角形得到45ABD，2BDAB，再证明CBDV为等边三角形得到2BCBDAB， 利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于:AB CB，从而得到下面圆锥的侧面积 【详解】解：90A ，ABAD， ABD
15、为等腰直角三角形， 45ABD，2BDAB， 105ABC， 60CBD， 而CBCD， CBDV为等边三角形， 2BCBDAB， 上面圆锥与下面圆锥的底面相同， 上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于:AB CB， 下面圆锥的侧面积2 12 故选：D 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质以及圆锥的有关计算 9. 正方形 ABCD内，有一个内切圆O电脑可设计程序：在正方形内可随机产生一系列点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数 a
16、 个，O内的点数 b 个 （在正方形边上和圆上的点不在统计中），根据用频率估计概率的原理，可推得 的大小是（ ） A. ab B. 4ba C. ba D. 4ab 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比，列式求解即可 【详解】设圆的半径为 r，则正方形的边长为 2r， 根据题意得：224rrba， 则 4ba. 故选 B 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解落在圆内的概率约等于圆与正方形的面积的比，难度不大 10. 如图，已知直线334yx与 x轴、y轴分别交于 A、B 两点，P 是以 C（0，1）为圆心，1 为半径的
17、圆上一动点，连结 PA、PB则PAB面积的最大值是（ ） A. 8 B. 12 C. 212 D. 172 【答案】C 【解析】 【分析】求出 A、B的坐标，根据勾股定理求出 AB，求出点 C到 AB的距离，即可求出圆 C上点到 AB的最大距离，根据面积公式求出即可 【详解】解：直线334yx与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， A 点的坐标为（4，0） ，B点的坐标为（0，3） ， 34120 xy，即 OA=4，OB=3， 由勾股定理得：AB=5， 过 C 作 CMAB于 M，连接 AC， 则由三角形面积公式得：12 AB CM=12 OA OC+12 OA OB， 5 CM=4 1
18、+3 4， CM=165， 圆 C 上点到直线334yx的最大距离是1615=215， PAB 面积的最大值是121525 =212， 故选 C 【点睛】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线 AB的最大距离，属于中档题目 11. 一个不透明的袋中只装有 1 个红球和 2 个蓝球，它们除颜色外其余均相同现随机从袋中摸出一个球，颜色是蓝色的概率是_ 【答案】23 【解析】 【分析】用蓝球的个数除以球的总个数即为所求的概率 【详解】解：因为一共 213 个球，其中 2个蓝球，所以从袋中任意摸出 1 个球是蓝球的概率是23 故答案为：23 【点睛】本题考查
19、概率公式的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 12. 已知在直角三角形ABC中，C为直角，tan2ABC，2AC ，则AB _ 【答案】5 【解析】 【分析】先根据正切得出 BC，再根据勾股定理求得 AB 【详解】解：C为直角，tan2ABC，2AC ， 2tan2ACABCBCBC， 解得1BC ， 225ABACBC 故答案为：5 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理能根据正切得出 BC是解题关键 13. 若三角形的面积是 24cm2，周长是 24cm，则这个三角形内切圆的半径_cm 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形的面积12三角形的周长内切圆的半径，即可
20、求解 【详解】解：如图所示：设三角形 ABC面积为 S，周长为 x，半径为 r, O是ABC的内切圆，ODAC，OEAB，OFBC， ODOFOEr， S12ACr12ABr12BCr12（ACABBC）r12xr 三角形的面积是 24cm2，周长是 24cm，这个三角形的内切圆的半径是r， 则124242r， 解得：2r = 故答案是：2 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的面积，将三角形分割得出面积与半径之间的关系是解题关键 14. 如图，有一个底面直径与杯高均为 15cm的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面_cm(si
21、n520.79，cos520.62，tan521.28) 【答案】21.15 【解析】 【分析】过最高点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BEAD于点E，运用解直角三角形的知识进行解答 【详解】解：过最高点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BEAD于点E，如图所示， 在Rt BCF中，有52BFC，15BFcm， sin5215 0.7911.85()BCBFcmg， 11.85DEBCcm， /BECDQ， 52EBFBFC ， 905238ABE ， 903852BAE ， 在Rt ABE中，15ABcm， cos5215 0.629.3()AEABcmg， 9
22、.3 11.8521.15()ADAEDEcm 故答案为：21.15 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形是解本题的关键 15. 如图， O 的半径为 2， 圆心 O到直线 l的距离为 4， 有一内角为 60 的菱形， 当菱形的一边在直线 l上，另有两边所在的直线恰好与O相切，此时菱形的边长为_ 【答案】4 【解析】 【分析】过点 O作直线 l的垂线，交 AD于 E，交 BC于 F，作 AG 直线 l于 G，根据题意求出 EF的长，得到 AG的长，根据正弦的概念计算即可 【详解】过点 O作直线 l的垂线，交 AD于 E，交 BC 于 F，作 AG 直线 l于 G，由题意
23、得，EF=2+4=6，根据矩形的性质可得，AG=EF=6，在 Rt ABG 中，AB=64 3sin32AGB 考点：切线的性质；菱形的性质 16. 如图，在平面直角坐标系中，3 5AB ，连接AB并延长至C，连接OC，若满足2OCBC AC，tan2，则点C的坐标为_ 【答案】( 2,4) 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出ACOB ，进而得出ABO，利用tan2，得出2OAOB， 利用勾股定理解得OB， 从而可知OA的长， 进而可知tanA的值， 由tan2， 设(, 2 )C m m，0m，tanA的值列出关于m的方程，解得m的值，则可得点C的坐标 【详解】解：CCQ， 2
24、OCBC ACQ， 即OCACBCOC， OBCOAC， ACOB ， 90COB Q，90AABO ， ABO， tan2Q， tan2OAABOOB， 2OAOB， 3 5AB Q， 由勾股定理可得：222OAOBAB， 即2224(3 5)OBOB， 解得：3OB， 6OA 1tan2OBAOA 如图，过点C作CDx轴于点D， tan2Q， 设(,2 )Cmm，0m， 6ADm， 1tan2AQ， 12CDAD， 2162mm， 解得：2m， 经检验，2m是原方程的解 点C坐标为：( 2,4) 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知
25、识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键 17. 计算：02sin452021 tan602cos60 【答案】3 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可 【详解】解：原式2123222 13 1 3 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 18. 如图， 从Oe外一点A引圆的切线AB， 切点为B， 连接AO并延长交圆于点C， 连接BC 若30A ， （1）求ACB的度数 （2）若3AB ，求AC的长. 【答案】 （1）30； （2）3 【解析】 【分析】 （1）连接 OB，根据切线的性质，得OBA=90 ，又A=30 ，所以AOB=6
26、0 ，再用三角形的外角性质可以求出ACB的度数 （2）设 OB=x，则 OA=2x，根据勾股定理得出222( 3)(2 )xx求解即可 【详解】解：如图：连接 OB， AB 切O于点 B， OBA=90 ， A=30 ， AOB=90 -30 =60 ， OB=OC， C=OBC， AOB=C+OBC=2ACB， ACB=30 （2）由（1）得OBA=90 ，A=30 ，3AB ， 设 OB=x，则 OA=2x， 222OBABOA即222( 3)(2 )xx， 解得121,1xx (舍去)， OB=OC=1，OA=2， AC=OA+OC=2+1=3 【点睛】本题考查的是切线的性质，直角三角形
27、的性质，利用切线的性质，结合三角形内角和求出角的度数 19. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用 A、B、C 表示）和三个化学实验（用 D、E、F表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，分别从中各随机抽取一个 （1）用“列表法”或“画树状图法”表示所有可能出现的结果； （2）小刚抽到物理实验 B和化学实验 F（记作事件 M）的概率是多少？ 【答案】 （1）见解析； （2）19 【解析】 【详解】解： （1）画树状图如下： 所有可能出现的结果 AD AE AF BD BE BF CD CE CF （2）从表格或树状图
28、可以看出，所有可能出现的结果共有 9种，其中事件 M出现了一次，所以 P（M）=19 20. 如图所示， 某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED， 从办公楼顶端 A测得旗杆顶端 E的俯角 是 45 ，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC是 20 米，梯坎坡长 BC是 12 米，梯坎坡度 i1：3，求大楼 AB的高度是多少？（结果保留根号） 【答案】大楼 AB 的高度大约是（29+63）米 【解析】 【详解】 试题分析:延长 AB交 DC于 H,作 EGAB于 G,则 GH=DE=15米,EG=DH,设 BH=x 米,则 CH=3米,在直角三角形 BCH中,BC=12 米,由勾
29、股定理得出方程,解方程求出 BH=6 米,CH=63,得出 BG,EG的长度,证明三角形 AEG是等腰直角三角形,得出 AG=EG=63+20(米),即可得出大楼 AB的高度. 试题解析: 延长 AB交 DC于 H,作 EGAB 于 G,如图所示: 则 GH=DE=15米,EG=DH,因为梯坎坡度=1:3,所以 BH:CH=1: 3, 设 BH=x米,则 CH=3米, 在直角三角形 BCH 中,BC=12 米, 由勾股定理得:222312xx,解得:x=6,所以 BH=6米,CH=63米, 所以 BG=GH-BH=15-6=9(米) EG=DH=CH=63+20(米), 因为 是 45,所以
30、EAG=904545, 所以三角形 AEG 是等腰直角三角形, 所以 AG=AG+BG=63+20+9=29+63(米). 21. 几何体的三视图相互关联已知直三棱柱的三视图如图，在 PMN 中，MPN=90，PN=4，sinPMN=45 （1）求 BC 及 FG 的长； （2）若主视图与左视图两矩形相似，求 AB长； （3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积 【答案】 （1）5，3； （2）15； （3）12+1215 【解析】 【分析】 （1）由图可知 BC=MN，FG 等于 Rt PMN 斜边上的高，进一步由锐角三角函数与三角形面积公式求得答案即可； （2）利用相似的性质列出比例式，代
31、入数值求得答案即可； （3）求出五个面的面积和得出答案即可 【详解】 （1）由图可知： BC=MN，FG=PM， sinPMN=PNMN=45，PN=4， BC=MN=5， FG=PM=22MNPN=3； （2）矩形 ABCD 与矩形 EFGH 相似，且 AB=EF， ABBCFGEF， 即ABBCFGEF， AB=15； （3）直三棱柱的表面积：12 3 4 2+515+315+415=12+1215 【点睛】本题考查了立体图形的三视图，锐角三角函数，相似的性质以及立体图形的表面积，解题的关键是根据三视图，找出边之间的关系，利用三角函数解决问题 22. 如图，四边形 ABCD 内接于O，对角
32、线 AC 为O的直径，过点 C作 CEAC 交 AD 的延长线于点 E，F为 CE的中点，连结 DB，DF （1）求CDE 的度数 （2）求证：DF是O的切线 （3）若 tanABD=3 时，求ACDE的值 【答案】 （1）CDE=90 ； （2）详见解析； （3）ACDE=3 10 【解析】 【分析】 （1）因为对角线 AC 为O的直径，可得ADC=90 ，即CDE=90 ； （2） 连接 OD， 证明 DF=CF， 可得FDC=FCD， 因为 OD=OC， 可得ODC=OCD， 即ODF=OCF=90 ，可得 DF是O 的切线； （3）证明E=DCA=ABD，可得 tanE=tanDCA=
33、tanABD=3，设 DE=x，则 CD=3x，AD=9x，在RtADC 中，求得 AC 的长，即可得出ACDE的值 【详解】 （1）对角线 AC为O的直径， ADC=90 ， CDE=180 -90 =90 ； （2）如图，连接 OD， CDE=90 ，F 为 CE 的中点， DF=CF， FDC=FCD， OD=OC， ODC=OCD， FDC+ODC=FCD+OCD，即ODF=OCF， CEAC， ODF=OCF=90 ，即 ODDF， DF是O的切线 （3）E=90 -ECD=DCA=ABD， tanE=tanDCA=tanABD=3， 设 DE=x，则 CD=3x，AD=9x， AC
34、=22(3 )(9 )3 10 xxx， ACDE=3 103 10 xx 【点睛】本题考查圆的切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义解题的关键是掌握圆的切线的判定方法 23. 我们定义： 等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对()sad 如图在ABC中，ABAC， 顶角A的正对记作sadA，这时BCsadAAB底边腰容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）60sad ;120sad （2）如图，在Rt ABCV中，90ACBo，已知3sin5A ，试求sadA的值 （3）直线263yx 与x轴，y轴分别交于点,A B，点,M N分别
35、在线段,AB OA上，且MON是等腰三角形，设MON的顶角为，当65sad时，求点M的坐标 （请直接写出结果） 【答案】 （1）1；3； （2）105； （3）(3,4)，63 216(,)4343 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，再根据正对的定义解答； （2）在 AB上取点 D，使 ADAC，过点 D 作 DEAC 于 E，连接 CD，设 ADAC5x，则 DE3x，AE4x则 CExCD可求出，根据定义可求出答案 （3）分三种情况，当OMON时,作DMx轴于 D，则OMN为
36、，当OMON时，MON为，作 MDON 交 x轴于 D，当ONNM时，MNO 为，分别讨论即可 【详解】解： （1）根据正对定义， 当顶角为 60时，等腰三角形底角为 60， 则三角形等边三角形， 则 sad60111 当顶角为120时，作底边上的高，底角为 30，底边是腰的3倍，则120sad 331 （2）在 AB上取点 D，使 ADAC，过点 D 作 DEAC 于 E，连接 CD，如图 在 RtADE 中， DEADsinA35， 设 ADAC5x，则 DE3x，AE4x CEx 在 RtCDE 中，CD2210CEDEx ， sadA101055CDxACx （3）当OMMN时,作DM
37、x轴于 D，则OMN为， 12ODON ， 65ONsadOM， 35ODOM ， 设 OD为 3a,则 OM 为 5a，224MDOMODa ， 3 ,4Maa ， 又M 在直线263yx 上， 代入24363aa g ，解得：1a ， M(3,4)； 当OMON时，MON为，作 MDON交 x轴于 D， 65sad， 65MNMNOMON ， 设5OMa则6MNa ， 222222,OMODMD MNDNMD ， 1.4 ,3.6ODa DNa ， 则4.8DMa ， M点坐标为1.4 ,4.8aa， M点在直线263yx 上， 代入解得4543a ， M点坐标为63 216(,)4343
38、， 当ONNM时，MNO 为， 根据的解法可求得1824,55Maa ， 代入直线263yx 解得1518a ， 3,4M ， 综上，M 坐标为(3,4)或63 216(,)4343 【点睛】此题是一道新定义题目，考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的性质等，解题关键是要熟悉三角函数的定义 24. 如图 1，以 AB 为直径作O，点 C是直径 AB上方半圆上的一点，连结 AC，BC，过点 C作ACB 的平分线交O于点 D，过点 D作 AB的平行线交 CB 的延长线于点 E （1）如图 1，连结 AD，求证：ADCDEC （2）若O的半径为 5，求 CACE 的最大
39、值 （3）如图 2，连结 AE，设 tanABCx，tanAECy， 求 y 关于 x的函数解析式； 若CBBE45，求 y的值 【答案】 （1）详见解析； （2）100； （3）y22221xxx;y29或89 【解析】 【分析】 （1）根据 ABDE，可得ABCE，又由同圆中同弧所对圆周角相等可得ADCE； （2） 先找出ADCDEC， 即可得到CD2CACE， 再根据圆的半径为 5可知最大为CD=5， 即 CACE=100； （3）由（2）的相似可得 ytanAEC2ACACCDCDCECDCECEn，再过点 D 作 DFCE，设 EFa，CFDFax，CD2ax，代入 y 即可得到 y
40、2222221axxaaxxx 根据CBBE=45，得到:CA CACB CE9：4，即 x：y9：4，代入 y 的表达式即可求出结果 【详解】 （1）证明：ABDE， ABCE， ADCABC， ADCE； （2）解：CD平分ACB， ACDDCE， 又ADCE， ADCDEC， ACCDCDCE， 即 CD2CACE， 又O的半径为 5， CACECD2102100 即 CACE 的最大值为 100 （3）解：连接 AD， ADCDEC，ACCDCDCE， ytanAEC2ACACCDCDCECDCECEn， 过点 D作 DFCE，不妨设 EFa， CEDCBA，DCE45 ， CFDFax， CD2ax， y2CDCE2222221axxaaxxx CBBE=45， CBCE=49， :CA CACB CE9：4， 即 x：y9：4， 将 y49x 代入 y22221xxx得， 49x=22221xxx， 解得，x12，x212， 当 x2 时，y22 4824 19， 当 x12时，y1224191 14 ， ， y29或89 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键