1、2021 年江苏省无锡市新吴区中考数学二模试卷年江苏省无锡市新吴区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处） 12 的绝对值等于（ ） A2 B C D2 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 3下列选项中，与 xy2是同类项的是（ ） Ax2y2 B2x2y Cxy D2xy2 4一个多边形的每个
2、内角都等于 135，则这个多边形的边数为（ ） A5 B6 C7 D8 5P 为O 内一点，OP3，O 半径为 5，则经过 P 点的最短弦长为（ ） A5 B6 C8 D10 6 已知一组数据 x， y， z 的平均数为 3， 方差为 4， 那么数据 x2， y2， z2 的平均数和方差分别是 （ ） A1，2 B1，4 C3，2 D3，4 7 如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 及 相 关 数 据 ， 则 该 几 何 体 的 全 面 积 是 （ ） A15 B24 C20 D10 8如图，正方形 ABCD 的顶点 A、D 在O 上，边 BC 与O 相切，若正方形 ABCD 的周长记为
3、 C1，O的周长记为 C2，则 C1、C2的大小关系为（ ） AC1C2 BC1C2 CC1C2 D无法判断 9已知：如图，点 D 是等腰直角ABC 的重心，其中ACB90，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90得到线段 CE，连接 DE，若ABC 的周长为 6，则DCE 的周长为（ ） A2 B2 C4 D3 10已知点 P（2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线 yax2+bx+c 上，其中 2am+b0若 y3y2y1，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm1 C2m1 D1m4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共
4、16 分分.不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）应位置处） 11因式分解：mx22mx+m 12根据国家卫健委最新数据，截至到 2021 年 4 月 2 日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗 133000000剂次，将 133000000 用科学记数法表示为 13在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为 14某函数的图象不经过第二象限，且经过点（2，1），请写出一个满足上述条件的函数表达式 15命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 16如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G，且
5、AG：GD：DF2：1：5，则 17如图，二次函数 y1ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2mx+n（m0）的图象相交于点 A（1，5）和B（5，2），则使不等式 ax2+bx+cmx+n 成立的 x 的取值范围是 18如图，菱形 ABCD 中，ABC120，顶点 A，C 在双曲线 y（k10）上，顶点 B，D 在双曲线y（k20）上，且 BD 经过点 O若 k1+k28，则菱形 ABCD 面积的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤）程或演算步骤）. 19（1）计算：（）0+（）22cos60； （2）化简：x（4x+3y）（2x+y）（2xy） 20（1）解方程：x22x30； （2）解不等式组： 21已知：如图，ABED，点 F、C 在 AD 上，ABDE，AFDC，求证：BCEF 22“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下 4 类情形： A仅学生自己参与； B家长和学生一起参与； C仅家长自己参与； D家长和学生都未参与 请根据图中提供的信息，解
7、答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算 C 类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校 2000 名学生中“家长和学生都未参与”的人数 23现有四位“抗疫”英雄（依次标记为 A、B、C、D）为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上 A、B、C、D 四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张， 记下标号后放回， 要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应 “抗疫”英雄资料 （1）班长在这四种卡片中随机抽到标号为 C 的概率为 ； （2）用树状图或列表
8、法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率 24如图，以 AB 边为直径的O 经过点 P，C 是O 上一点，连接 PC 交 AB 于点 E，且ACP60，PAPD （1）试判断 PD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若点 C 是弧 AB 的中点，已知 AB2，求 CECP 的值 25如图，在 66 的正方形网格中，A、B、C、D 均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹 （1）在图 1 中作出 AC 边上的点 E，使得 AE3CE； （2）在图 2 中作出 BC 边上的点 F（不与点 B 重合），使得 BDDF； （3）在图3中作出AB边上的点G，使得t
9、anACG 26一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 3 元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量 y（件）与售价 x（元/件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2） 在销售过程中要求销售单价不低于成本价， 且不高于 15 元/件 若某一周该商品的销售量不少于 6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于 15 元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构
10、捐赠 m 元（1m6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大请直接写出 m 的取值范围 27已知 RtABC 中，ACB90，CACB4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在 C 处，CPCQ2，将三角板 CPQ 绕点 C 旋转（保持点 P 在ABC 内部），连接 AP、BP、BQ （1）如图 1 求证：APBQ； （2）如图 2 当三角板 CPQ 绕点 C 旋转到点 A、P、Q 在同一直线时，求 AP 的长； （3）设射线 AP 与射线 BQ 相交于点 E，连接 EC，写出旋转过程中 EP、EQ、EC 之间的数量关系 28在矩形 ABCD 中，已知 BC9，AB15，
11、E 为 AD 上一点，若ABE 沿直线 BE 翻折，使点 A 落在 DC边上点 F 处，折痕为 BE （1）如图 1，求证：BCFFDE； （2）如图 2，矩形 ABCD 的一边 BC 落在平面直角坐标系的 x 轴上，CDx 轴，且点 C 坐标为（n，0）（n0）， 若点 P 为平面内一点，若以 O、B、F、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出 n 的值； 如图 3， 若二次函数的图象经过 A、 F 两点， 其顶点为 M （m5， h） ， 连接 AM、 OA， 若OAM90，求此二次函数的表达式 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3
12、分，共分，共 30 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处） 12 的绝对值等于（ ） A2 B C D2 【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：当 a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身 a； 当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a；当 a 是零时，a 的绝对值是零据此解答即可 解：2 的绝对值等于：|2|2 故选：A 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】二次根式的被开方数大于等于零 解
13、：依题意，得 2x0， 解得 x2 故选：C 3下列选项中，与 xy2是同类项的是（ ） Ax2y2 B2x2y Cxy D2xy2 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同，直接判断即可 解：与 xy2是同类项的是2xy2，故选 D 4一个多边形的每个内角都等于 135，则这个多边形的边数为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】由一个正多边形的每个内角都为 135，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案 解：一个正多边形的每个内角都为 135， 这个正多边形的每个外角都为：18013545， 这个多边形的边数为：360458 故选：D 5P 为O
14、内一点，OP3，O 半径为 5，则经过 P 点的最短弦长为（ ） A5 B6 C8 D10 【分析】过 P 作 ABOP，交O 于 A、B，则线段 AB 是过 P 点的最短的弦，连接 OA，根据勾股定理求出 AP，根据垂径定理求出 BPAP4，再求出答案即可 解： 如图，过 P 作 ABOP，交O 于 A、B，则线段 AB 是过 P 点的最短的弦，连接 OA， 则OPA90， 由勾股定理得：AP4， OPAB，OP 过圆心 O， BPAP4， 即 AB4+48， 故选：C 6 已知一组数据 x， y， z 的平均数为 3， 方差为 4， 那么数据 x2， y2， z2 的平均数和方差分别是 （
15、 ） A1，2 B1，4 C3，2 D3，4 【分析】根据平均数的变化规律当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案 解：数据 x，y，z 的平均数为 3， 数据 x2，y2，z2 的平均数是 321； 数据 x，y，z 的方差为 4， 数据 x2，y2，z2 的方差不变，也是 4； 故选：B 7 如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 及 相 关 数 据 ， 则 该 几 何 体 的 全 面 积 是 （ ） A15 B24 C20 D10 【分析】根据三视图可得到该几何体为圆锥，并且圆锥的高为 4，母线长为 5，圆锥底面圆的直径为 6，先计算出圆锥的
16、底面圆的面积9，圆锥的底面圆的周长为 6，根据扇形的面积公式得到5615，然后把两个面积相加即可得到该几何体的全面积 解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为 4，母线长为 5，圆锥底面圆的直径为 6， 所以圆锥的底面圆的面积（）29， 圆锥的侧面积5615， 所以圆锥的全面积9+1524 故选：B 8如图，正方形 ABCD 的顶点 A、D 在O 上，边 BC 与O 相切，若正方形 ABCD 的周长记为 C1，O的周长记为 C2，则 C1、C2的大小关系为（ ） AC1C2 BC1C2 CC1C2 D无法判断 【分析】连接 OF，延长 FO 交 AD 于点 E，连接 OD，由切线的性质
17、证明 FEAD，设O 的半径为 R，正方形的边长为 x，则 OFR，OExR，由勾股定理得出（xR）2+（）2R2，解得 Rx比较 C1与 C2的大小则可得出答案 解：连接 OF，延长 FO 交 AD 于点 E，连接 OD， CB 与O 相切， OFBC， 四边形 ABCD 是正方形， ADBC，C90， FEAD， 四边形 EFCD 为矩形，AEDE， EFCD， 设O 的半径为 R，正方形的边长为 x，则 OFR， OExR， 在 RtODE 中，OE2+ED2OD2， 即（xR）2+（）2R2， 解得 Rx 正方形 ABCD 的周长 C14x，O 的周长 C22R2xx， 4， C1C2
18、， 故选：A 9已知：如图，点 D 是等腰直角ABC 的重心，其中ACB90，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90得到线段 CE，连接 DE，若ABC 的周长为 6，则DCE 的周长为（ ） A2 B2 C4 D3 【分析】延长 CD 交 AB 于 F如图，利用等腰直角三角形的性质和重心的性质得到 CF 平分 AB，CD2DF，则 CFABCA，所以 CDCA，再利用旋转的性质可判断CDE 为等腰直角三角形，于是可判定CDECAB，然后根据相似三角形的性质计算CDE 的周长 解：延长 CD 交 AB 于 F如图， 点 D 是等腰直角ABC 的重心， CF 平分 AB，CD2DF， CFAB
19、CACA， CDCFCA， 线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90得到线段 CE， CDCE，DCE90， CDE 为等腰直角三角形， CDECAB， CDE 的周长：CAB 的周长CD：CA， CDE 的周长62 故选：A 10已知点 P（2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线 yax2+bx+c 上，其中 2am+b0若 y3y2y1，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm1 C2m1 D1m4 【分析】 先证得点 M （m， y3） 是该抛物线的顶点， 根据点 P （2， y1） ， Q （4， y2） 均在抛物线 yax2+bx+c上，y3y2y1，可知该抛物线开口向下
20、，对称轴是直线 xm，则 m，从而可以求得 m 的取值范围，本题得以解决 解：2am+b0， m， 点 M（m，y3）是该抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为 xm， 点 P（2，y1），Q（4，y2）均在抛物线 yax2+bx+c 上，且 y3y2y1， m， 解得 m1， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分分.不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）应位置处） 11因式分解：mx22mx+m m（x1）2 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可 解
21、：mx22mx+mm（x22x+1）m（x1）2， 12根据国家卫健委最新数据，截至到 2021 年 4 月 2 日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗 133000000剂次，将 133000000 用科学记数法表示为 1.33108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 解：1330000001.33108 故答案为：1.33108 13在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中既是轴对称图形
22、又是中心对称图形的个数为 3 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解：在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中，是轴对称图形的有线段、正三角形、矩形、圆，是中心对称图形的有线段、平行四边形、矩形、圆，故既是轴对称图形又是中心对称图形的有线段、矩形、圆，共 3 个 故答案为：3 14 某函数的图象不经过第二象限， 且经过点 （2， 1） ， 请写出一个满足上述条件的函数表达式 yx 【分析】答案不唯一，它可以是正比例函数和反比例函数，利用一个点可以求解析式，也可以是一次函数，确定一个字母系数，可得一个符合条件的解析式，要是二次函数必须开口向下，不经过第二象限，确定两个字母系数，可得答
23、案 解：答案不唯一， 如果是正比例函数：设函数表达式为：ykx， 把（2，1）代入得：12k， k， 函数表达式为：yx； 如果是一次函数可以是：yx1； 如果是反比例函数可以是：y； 故答案为：yx（答案不唯一） 15命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题 解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形” 16如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G，且 A
24、G：GD：DF2：1：5，则 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可 解：ABCDEF，AG：GD：DF2：1：5， ， ， 故答案为： 17如图，二次函数 y1ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2mx+n（m0）的图象相交于点 A（1，5）和B（5，2），则使不等式 ax2+bx+cmx+n 成立的 x 的取值范围是 1x5 【分析】观察函数图象知，当1x5 时，直线在抛物线的上方，即可求解 解：观察函数图象知，当1x5 时，直线在抛物线的上方，即 ax2+bx+cmx+n， 故答案为1x5 18如图，菱形 ABCD 中，ABC120，顶点 A，C 在双曲线 y（k10）
25、上，顶点 B，D 在双曲线y（k20）上，且 BD 经过点 O若 k1+k28，则菱形 ABCD 面积的最小值是 16 【分析】 先构造出 COMOBN， 得出， 再判断出BCD 是等边三角形， 得出 OCOB，进而得出 OMBN，CMON，设点 B 的坐标为（m，），求出 C（，m），进而得出 k13k2，进而求出 k112，k24，进而求出 OB，OC，最后得出 S菱形ABCD2（m）2+16，即可得出结论 解：如图， 过点 C 作 CMy 轴于 M，过点 B 作 BNy 轴于 N，连接 OC， OMCBNO90， COM+OCM90， 四边形 ABCD 是菱形， OCBD， BOC90，
26、 COM+BON90， OCMOBN， COMOBN， ， 四边形 ABCD 是菱形， CDCB，ABCD， BCD180ABC60， BCD 是等边三角形， OCBD， OCOB， ， OMBN，CMON， 设点 B 的坐标为（m，）， BNm，ON， OMm，CM（）， C（，m）， 点 C 在反比例函数 y图象上， mk1， k13k2 ，k1+k28， k112，k24， C（，m），B（m，）， OC，OB， S菱形ABCD2BDOC2OBOC 2 2（m2+） 2（m）2+16， 当 m时，S菱形ABCD最小16， 故答案为：16 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小
27、题，共小题，共 84 分分.请在答卷纸上指定区域内作答请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）程或演算步骤）. 19（1）计算：（）0+（）22cos60； （2）化简：x（4x+3y）（2x+y）（2xy） 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算法则解决此题 （2）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、整式的混合运算法则解决此题 解：（1） 1+ 1+41 4 （2）x（4x+3y）（2x+y）（2xy） 4x2+3xy（4x2y2） 4x2+3xy4x2+y2 3xy+y2 20（1）解方程：x22
28、x30； （2）解不等式组： 【分析】（1）将方程的左边因式分解后即可求得方程的解； （2）分别求解两个不等式，然后取其公共部分即可求得不等式组的解集 解：（1）因式分解得：（x+1）（x3）0，即 x+10 或 x30， 解得：x11，x23； （2）解不等式组：由得：x1， 由得：x3， 则1x3 21已知：如图，ABED，点 F、C 在 AD 上，ABDE，AFDC，求证：BCEF 【分析】由已知 ABED，AFDC 可以得出AD，ACDF，又因为 ABDE，则我们可以运用SAS 来判定ABCDEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出 EFBC 【解答】证明：ABED， AD， 又AFD
29、C， ACDF 在ABC 与DEF 中， ， ABCDEF EFBC 22“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下 4 类情形： A仅学生自己参与； B家长和学生一起参与； C仅家长自己参与； D家长和学生都未参与 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了 400 名学生； （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算 C 类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校 2000 名学生中“家长和学
30、生都未参与”的人数 【分析】（1）根据 A 类别人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去 A、C、D 三个类别人数求得 B 的人数即可补全条形图，再用 360乘以 C 类别人数占被调查人数的比例可得； （3）用总人数乘以样本中 D 类别人数所占比例可得 解：（1）本次调查的总人数为 8020%400 人， 故答案为：400； （2）B 类别人数为 400（80+60+20）240， 补全条形图如下： C 类所对应扇形的圆心角的度数为 36054； （3）估计该校 2000 名学生中“家长和学生都未参与”的人数为 2000100 人 23现有四位“抗疫”英雄（依次标记为 A、B、C、D）
31、为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上 A、B、C、D 四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张， 记下标号后放回， 要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应 “抗疫”英雄资料 （1）班长在这四种卡片中随机抽到标号为 C 的概率为 ； （2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 16 种等可能的结果数，其中小明和小兰两位同学抽到的卡片是不同英雄的有 12种结果，再由概率公式求解即可 解：（1）共有四张卡片，分别是 A、B、C
32、、D 四个标号， 班长在四种卡片中随机抽到标号为 C 的概率是； 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的有 12 种结果， 则小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为 24如图，以 AB 边为直径的O 经过点 P，C 是O 上一点，连接 PC 交 AB 于点 E，且ACP60，PAPD （1）试判断 PD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若点 C 是弧 AB 的中点，已知 AB2，求 CECP 的值 【分析】（1）连接 OP，根据圆周角定理可得AOP2ACP120，然后计算出PAD 和D 的度数，进而可
33、得OPD90，从而证明 PD 是O 的切线； （2）连接 BC，首先求出CABABCAPC45，然后可得 AC 长，再证明CAECPA，进而可得，然后可得 CECP 的值 解：（1）如图，PD 是O 的切线 理由如下： 连接 OP， ACP60， AOP120， OAOP， OAPOPA30， PAPD， PAOD30， OPD90， PD 是O 的切线 （2）连接 BC， AB 是O 的直径， ACB90， 又C 为弧 AB 的中点， CABABCAPC45， AB2，ACABsin45， CC，CABAPC， CAECPA， 2 25如图，在 66 的正方形网格中，A、B、C、D 均为小正
34、方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹 （1）在图 1 中作出 AC 边上的点 E，使得 AE3CE； （2）在图 2 中作出 BC 边上的点 F（不与点 B 重合），使得 BDDF； （3）在图3中作出AB边上的点G，使得tanACG 【分析】（1）如图 1 中，取格点 M，N，连接 MN 交 AC 于点 E，点 E 即为所求 （2）如图 2 中，取格点 T，连接 AT 交 BC 于点 F，连接 DF，点 F 即为所求 （3）如图 3 中，取格点 R，连接 AR，得到 AR 的中点 J，连接 CJ 交 AB 于点 G，点 G 即为所求 解：（1）如图 1 中，点 E 即为所求 （2
35、）如图 2 中，点 F 即为所求 （3）如图 3 中，点 G 即为所求 26一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 3 元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量 y（件）与售价 x（元/件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2） 在销售过程中要求销售单价不低于成本价， 且不高于 15 元/件 若某一周该商品的销售量不少于 6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种
36、商品售价不大于 15 元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m 元（1m6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大请直接写出 m 的取值范围 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15 元/件若某一周该商品的销售量不少于 6000 件，”列出 x 的不等式组，求得 x 的取值范围，再设利润为 w 元，由 w（x3）y，列出 w关于 x 的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价； （3）根据题意列出利润 w 关于售价 x 的函数解析式，再根据函数的性质，列出 m 的不等式进行解
37、答便可 解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为：ykx+b（k0）， 把 x4，y10000 和 x5，y9500 代入得， ， 解得， y500 x+12000； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15 元/件若某一周该商品的销售量不少于 6000 件，”得， ， 解得，3x12， 设利润为 w 元，根据题意得， w（x3）y（x3）（500 x+12000）500 x2+13500 x36000500（x13.5）2+55125， 5000， 当 x13.5 时，w 随 x 的增大而增大， 3x12，且 x 为正整数 当 x12 时，w 取最大值为：500（12
38、13.5）2+5512554000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 54000 元，售价为 12 元； （3）根据题意得，w（x3m）（500 x+12000）500 x2+（13500+500m）x3600012000m， 对称轴为 x13.5+0.5m， 5000， 当 x13.5+0.5m 时，w 随 x 的增大而增大， 该商场这种商品售价不大于 15 元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大 15（13.5+0.5m）13.5+0.5m14，解得 m2， 1m6， 2m6 27已知 RtABC 中，ACB90，CACB4，另有一块等腰直角三
39、角板的直角顶点放在 C 处，CPCQ2，将三角板 CPQ 绕点 C 旋转（保持点 P 在ABC 内部），连接 AP、BP、BQ （1）如图 1 求证：APBQ； （2）如图 2 当三角板 CPQ 绕点 C 旋转到点 A、P、Q 在同一直线时，求 AP 的长； （3）设射线 AP 与射线 BQ 相交于点 E，连接 EC，写出旋转过程中 EP、EQ、EC 之间的数量关系 【分析】（1）由题意可得：ACPBCQ，即可证ACPBCQ，可得 APCQ； （2）作 CHPQ 于 H，由题意可求 PQ2，可得 CH，根据勾股定理可求 AH，即可求AP 的长； （3） 作 CMBQ 于 M， CNEP 于 N
40、， 设 BC 交 AE 于 O， 由题意可证CNPCMQ， 可得 CNCM，QMPN，即可证 RtCEMRtCEN，ENEM，CEMCEN45，则可求得 EP、EQ、EC 之间的数量关系 【解答】证明：（1）如图 1 中，ACBPCQ90， ACPBCQ 且 ACBC，CPCQ ACPBCQ（SAS） PABQ （2）解：如图 2 中，作 CHPQ 于 H A、P、Q 共线，PC2， PQ2， PCCQ，CHPQ CHPH 在 RtACH 中，AH PAAHPH （3）解：结论：EP+EQEC 理由：如图 3 中，作 CMBQ 于 M，CNEP 于 N，设 BC 交 AE 于 O ACPBCQ
41、， CAOOBE， AOCBOE， OEBACO90， MCNEMEN90， MCNPCQ90， PCNQCM， PCCQ，CNPM90， CNPCMQ（AAS）， CNCM，QMPN， CECE， RtCEMRtCEN（HL）， ENEM，CEMCEN45 EP+EQEN+PN+EMMQ2EN，ECEN， EP+EQEC 28在矩形 ABCD 中，已知 BC9，AB15，E 为 AD 上一点，若ABE 沿直线 BE 翻折，使点 A 落在 DC边上点 F 处，折痕为 BE （1）如图 1，求证：BCFFDE； （2）如图 2，矩形 ABCD 的一边 BC 落在平面直角坐标系的 x 轴上，CDx
42、 轴，且点 C 坐标为（n，0）（n0）， 若点 P 为平面内一点，若以 O、B、F、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出 n 的值； 如图 3， 若二次函数的图象经过 A、 F 两点， 其顶点为 M （m5， h） ， 连接 AM、 OA， 若OAM90，求此二次函数的表达式 【分析】（1）结合翻折的性质，利用两个角相等即可证相得似 （2）分情况讨论：当 OB、BF 为菱形边时，则 OBBF，当 BF、OF 为菱形边时，则 BFDF，当OFOB 为菱形边时，则 OBOF，由菱形的性质可得 C 坐标； 设 C（m，0），则 B（m9，0），F（m，12），A（m9，15），把 A、F 代入抛物
43、线中，得抛物线解析式：y（xm+5）2+，可求得 m 的坐标； 连接 MO 过 M 向 AD 作垂线交 AD 于 N，交 x 轴于 G，过 M 向 y 轴作垂线，交 y 轴于 H，在 RtMOH中，由勾股定理求 MO，可得 HOMG，在 RtMNA 中，由勾股定理得 AM，在 RtABO 中，由勾股定理得 OA，在 RtAMO 中，再根据勾股定理 OA2+AM2OM2，即可求出 m 的值，即可求解 【解答】（1）证明：EFB 是由EAB 翻折得到的， BFE90， BFC+DFE90， 在矩形 ABCD 中，C90， BFC+FBC90， DFEFBC， BCFFDE； （2）解：有三种情况，
44、 当 OB、BF 为菱形边时， 则 OBBF， C 点坐标为（m，0）， OCm， OB9m， 由（1）知，BF15， 即 159m， m6， C 坐标为（6，0）； 当 BF、OF 为菱形边时， 则 BFOF， C 点坐标为（m，0）， OCm， 又CF12， OF， 又BF15， 15， m9 或 m9， m0， m9 舍去， C 坐标为（9，0）； 当 OF、OB 为菱形边时， 则 OBOF， 则 OB9m， OF， 9m， m3.5， C 点坐标为（3.5，0）； C 坐标（m，0）， 则 B（m9，0），F（m，12），A（m9，15）， A、F 两点在抛物线 ya（xm+5）2+h 上， 代入得， 解得， 抛物线解析式为 y（xm+5）2+， 抛物线顶点 M 坐标为（m5，）， 连接 MO 过 M 向 AD 作垂线交 AD 于 N，交 x 轴于 G， 过 M 向 y 轴作垂线，交 y 轴于 H， MH|m5|5m， HO， MO， MGHO，NGDC15， MNMGNG， ANBGBOOGBOMH9m（5m）4， AM， OA， 又OAM90， OA2+AM2OM2， 即（9m）2+152+（）2（5m）2+（）2， 解得 m11， a 的值是，h 的值是，m 的值是11