1、1 2022 届高三第一学期数学学科期中检测 考试时间：120 分钟 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧 拉图”后来，英国逻辑学家约翰韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”韦恩用图 1 中的四 块区域，分别表示下列四个集合：ABI， U AB ， UA B， UU AB痧，则图 2 中的 阴影部分表示的集合为（ ） AABC B UA BC C U ABC D U ABC 2在复平面内，复数z的对应点为 1, 1，则 2 z （ ） A 2 B 2 C2i D
2、 2i 3已知单位向量, a b r r 的夹角为 60 ，则在下列向量中，与b r 垂直的是（ ） A + 2 B2 + C 2 D 2 4 著名数学家物理学家牛顿曾提出： 物体在空气中冷却， 如果物体的初始温度为 1 C， 空气温度为 0 C， 则t分钟后物体的温度（单位：C）满足： 010 kt e .若常数0.05k ，空气温度为30 C，某物体 的温度从90 C下降到50 C，大约需要的时间为（ ） （参考数据：3 1.1） A16 分钟 B18 分钟 C20 分钟 D22 分钟 5已知函数 1 sin1 sin f xx x ，定义域为R的函数 g x满足 2gxg x，若函数 y
3、f x与 yg x图象的交点为 11 ,x y， 22 ,xy， 66 ,xy，则 6 1 ii i xy （ ） A0 B6 C12 D24 6在四面体ABCD中，AD 底面ABC，10ABAC ，2BC ，点G为三角形ABC的重心，若四面 2 体ABCD的外接球的表面积为 244 9 ，则tanAGD（ ） A 1 2 B2 C 2 2 D 2 7设 12 ,F F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点，点 P 在 C 上，若 12 3 F PF ，且| |2OPa (O 为 坐标原点)，则 C 的渐近线方程为（ ） Ay x B2yx C3yx D 2yx
4、 8设2021ln2019a ， 2020ln2020b，2019ln2021c ，则（ ） Aa bc Bcba Cacb Dbac 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.每题全选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错 的得 0 分） 9为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩 70,100XN，其中 60 分及以上为及格，90 分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若 2 ,XN ，则0.6826PX，220.9544PX. A该校学生体育成绩的方差为 10 B该校学生体育成绩的期望为 70 C该校学生体育成
5、绩的及格率不到85% D该校学生体育成绩的优秀率超过4% 10等差数列 n a中， 1 1a ，公差1,2d，且 3915 15aaa，则实数的可能取值为（ ） A 1 3 B 19 17 C 3 2 D2 11设0 x， , x yR ，则（ ） A“x y ”“ |xy ” B“x y ”“xy” C“xy”“xyxy” D“x y ”“xyxy” 12众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平 面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形 22 4xy.其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一 个半圆，给出以下命题: A 在太极图中随
6、机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 ； B 当 3 2 a 时，直线 2yaxa 与白色部分有公共点； C 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点, x y，则x y 的最大值为 2 1 ； 3 D 若点0,1P，MN为圆 22 4xy过点P的直径，线段AB是圆 22 4xy所有过点P的弦中最短的弦，则 AMBNAB uuuu ruuu ruuu r 的值为12. 其中所有正确结论的序号是（ ） 三、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13在 5 2 2 1 ax x 的展开式中，若含 2 x项的系数为40，则正实数a_ 14已知幂函数 2 33 m ymmx
7、在0,上单调递减，则m_. 15沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙 全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某 沙漏由上下两个圆锥组成， 圆锥的底而直径和高均为 10cm， 细沙全部在上部时， 其高度为圆锥高度的 2 3（细 管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高 度为_.（精确到 0. 01cm）. 16法国著名的军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三 个等边三角形， 则这三个三角形的外接圆圆心
8、恰为另一个等边三角形的顶点” 在三角形ABC中， 角60A o， 以 ,AB BC AC为边向外作三个等边三角形， 其外接圆圆心依次为 123 ,O O O， 若三角形 123 OO O的面积为 3， 4 则三角形ABC的周长最小值为_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17 （10 分）三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的 水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法.在实际测量中遇到高大障 碍物的测量，需要跨越时的测量，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法.如图，为测量横截面为直角 三角形的某模型的平面
9、图ABC，由于实际情况，RtABC（ACB= 2 ）的边和角无法测量，以下为可测 量数据：BD=2；CD= 3+1；BDC= 6 ；BCD= 4 .以上可测量数据中至少需要几个可以推算出 RtABC 的面积？请选择一组并写出推算过程.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个作答计分. 18 （12 分）已知各项均为正数的数列 n a，满足 22* 11 20, nnnn aaaanN 且1 2.a （1）求数列 n a的通项公式 （2）设 1 2 nnn balog a ，若 n b的前n项和为 n S，求 n S 19 （12 分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支
10、付方式，为调查市民使用 移动支付的年龄结构，随机对 100 位市民做问卷调查得到 2 2 列联表如下 35 岁以下（含 35 岁） 35 岁以上 合计 使用移动支付 40 50 不使用移动支付 40 合计 100 （1）将上 2 2 列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为支付方式与年龄是否 有关？ （2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取 10 人做进一步的问卷调查，从这 10 人随机中选出 3 人颁发参与奖励，设年龄都低于 35 岁（含 35 岁）的人数为 X，求 X 的分布列及期望. 5 2 (, )P Kk 0.50 0.40 0.25 0.15
11、 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K a b cd ac bd （其中 n=a+b+c+d） 20 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，90ABC，2PA，2 2AC （1）求证：平面PBC 平面PAB； （2）若二面角PBCA的大小为45，过点A作ANPC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小 21 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0)
12、xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，双曲线 C 的右顶点 A 在圆 22 :2O xy上，且 12 2AF AF . （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）动直线l与双曲线 C 恰有 1 个公共点，且与双曲线 C 的两条渐近线分别交于点 MN，问 (OMN OV 为坐 标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 22 （12 分）已知函数 2 xx fxaex e . （1）若0a，求 f x的单调区间； 6 （2）若对于任意的Rx， 1 0f x a 恒成立，求a的最小值. 数学期中测试参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D D
13、 B B A A 9 10 11 12 13 14 15 16 BC AB BCD ACD 2 -1 2.96 6 17解：至少需要 3 个可测量数据. 选择组合一：或 在BCD中，因为 sinsinsin BCBDCD BDCBCDCBD ， 所以 2BC . 因为tan tan23, 642 ABCACB ， 所以 tan2 26ACBCABC ， 故 1 23 2 ABC SAC BC V . 选择组合二： 在BCD中，因为 222 2cos2BCBDCDBD CDBDC， 所以 2BC . 结合正弦定理 sinsinsin BCBDCD BDCBCDCBD ，可求得 7 , 412 B
14、CDCBD . 因为 7 tantan23, 122 ABCACB ， 所以2 26AC ， 故 1 23 2 ABC SAC BC V . 7 选择组合三： 在BCD中，因为 sinsin BDCD BCDCBD ， 所以 62 sin 4 CBD . 因为CBD为钝角，所以 7 12 CBD . 因为 7 tantan23, 122 ABCACB ， 所以 2 26AC ， 故 1 23 2 ABC SAC BC V . 18 （1）2n n a ； （2） 1 122 n n . 19 （1）根据所给数据得到如下 2 2 列联表 35 岁以下（含 35 岁） 35 岁以上 合计 使用移动
15、支付 40 10 50 不使用移动支付 10 40 50 合计 50 50 100 根据公式可得 2 2 100(40 40 10 10) 362.706 50 50 50 50 K 所以在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为支付方式与年龄有关. （2）根据分层抽样知 35 岁以下（含 35 岁）的人数为 8 人，35 岁以上的有 2 人，则 X 的可能为 1，2，3， 12 82 3 10 8 (1) 120 C C P X C 21 12 3 10 56 (2), 120 C C P X C 3 8 3 10 56 (3) 120 C P X C 其分布列为 8 X 1 2 3 P
16、 8 120 56 120 56 120 8565612 ()123 1201201205 E X 20 （1）因为PA 底面ABC，所以PABC ， 又90ABC，所以ABBC， 又PA，AB为平面PAB内的两条相交直线， 所以BC 平面PAB， 因为BC 平面PBC， 所以平面PBC 平面PAB； （2）解法一：由（1）可知，ABP为二面角PBCA的平面角，所以45ABP， 又2PA，2 2AC ，90ABC，所以2ABBC， 过点A作AMPB于M，则AM 平面PBC且M为PB中点，连接MN， 则ANM为直线AN与平面PBC所成的角， 在RtANM中， 2AM ， 2 6 3 AN ， 所
17、以 3 sin 2 AM ANM AN ， 故60ANM， 所以直线AN与平面PBC所成的角为 60 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 则由已知，可得0,0,0B，2,0,0A，2,0,2P，0,2,0C， 9 设 , ,N x y z，PN PC uuu ruuu r （0 1） ，则22x，2y，22z， 因为ANPC，2, ,ANxy z uuu r ，2,2, 2PC uuu r ， 所以22220 xyz， 解得 1 3 ，所以 4 2 4 , 3 3 3 N ，故 2 2 4 , 3 3 3 AN uuu r ， 设平面PBC的法向量为, ,ax y z r ，因为0,2,0
18、BC uuu r ，2,0,2BP uuu r ， 由 0 0 a BC a BP uuu r r uuu r r ，得 20 220 y xz ， 令1x ，则1z ， 所以1,0, 1a r 为平面PBC的一个法向量， 所以 24 3 33 cos, 22 6 2 3 a AN uuu r r ， 故直线AN与平面PBC所成的角的正弦值为 3 2 ， 所以直线AN与平面PBC所成的角为 60 21解：（1）设双曲线 C 的半焦距为 c， 由点 ( ,0)A a 在圆 22 :2O xy上，得 2a ， 由 2 2 1 (2,0) (2,0)2cccAF AF -2，得 2c ， 所以 22
19、2 2bac， 10 所以双曲线 C 的标准方程为 22 1 22 xy . （2）设直线l与x轴相交于点 D，双曲线 C 的渐近线方程为y x 当直线l的斜率在存在时，直线l为2,|xOD 2,| 2 2MN，得 1 | | 2 OMN SMNOD V 2 当直线l的斜率存在时，设其方程为y kxm ，显然0k ，则 ,0 m D k 把直线l的方程与 22 :2C xy联立得 22 1kx 2 220,kmxm 由直线l与轨迹 C 有且只有一个公共点，且与双曲线 C 的两条渐近线分别相交可知直线l与双曲线的渐 近线不平行，所以 2 10k ，且0m， 于是得 2222 2 44120 10
20、 k mkm k , 得 22 210mk ，得1k 或1k , 设 1122 ,M x yN x y, 由 ykxm yx ，得 1 1 m y k , 同理得 2 1 m y k , 所以 12 1 | 2 OMN SODyy V 2 2 1 2. 2111 mmmm kkkk 综上，OMNV的面积恒为定值 2. 22解：（1）因为 0a ， 所以 x f xxe ， 1 x fxxe. 令 0fx ，得1x. 当 , 1x 时， 0fx ； 当 1,x 时， 0fx . 11 故 f x的单调速增区间是, 1 ，单调递减区间是1, . （2） 2 411 4 xxxx fxaexeexa
21、e . 因为Rx ， 1 0fx a ， 又 02fa，所以 1 20a a ，则0a . 令 1 4 x g xxae ，则 g x在R上单调递增. 因为当0 x时， 1 4g xxa ， 所以 4141 1 40gaaa . 因为 1 140gae， 所以 0 41, 1xa ，使得 0 0g x. 且当 0 ,xx 时， 0g x ，则 0fx ， 当 0, xx时， 0g x ，则 0fx ， 所以 f x在 0 ,x上单调递增，在 0, x 上单调递减. 故 00 2 00 max 2 xx f xf xaex e. 由 0 00 1 40 x g xxae ，得 0 0 1 4 x x a e . 由 max 1 0f x a ，得 0 00 0 2 0 0 0 14e ee 2e1 x xx x x x x ， 即 0 0 14 21 x x . 结合 0 10 x ，得 2 0 18x ，所以 0 31x . 令 1 31 4 x x h xx e .则 0 4 x x h x e ， 所以 h x在 3, 1) 上单调递增， 12 所以 3 3 2 e h xh ，即 3 2 e a . 故a的最小值为 3 2 e .