1、河北省九师联盟2021-2022学年高二上期中数学试题本卷命题范围：新教材人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第2节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线（且）的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.如图，在四面体中，分别是，的中点，为上一点，且，若，则（ ）A.B.C.D.3.设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，点是双曲线左支上的一点，若，则双曲线的标准方程是（ ）A.B.C.D.5.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的
2、一组基底的是（ ）A.，B.，C.，D.，6.如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.7.已知圆的方程为，直线：恒过定点，若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值是（ ）A.3B.4C.5D.68.已知双曲线：的右焦点为，过点作直线与交于，两点，若满足的直线有且仅有1条，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.或二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.设直线的方程为，圆的方程为，圆上存
3、在4个点到直线的距离为，则实数的取值可能为（ ）A.B.C.0D.210.已知椭圆经过，中的三个点，则下列命题为真命题的是（ ）A.椭圆的方程为B.点不在椭圆上C.椭圆上的点与其焦点距离的最大值为D.椭圆的一个顶点和它的两个焦点相连所得三角形的面积为11.已知边长为2的菱形中，（如图1所示），将沿对角线折起到的位置（如图2所示），点为棱上任意一点（点不与，重合），则下列说法正确的是（ ）图1图2A.四面体体积的最大值为1B.当时，为线段上的动点，则线段长度的最小值为C.当时，点到平面的距离为D.三棱锥的体积与点的位置无关12.已知双曲线：与椭圆有公共焦点，的左、右焦点分别为，且经过点，则下列说
4、法正确的是（ ）A.双曲线的标准方程为B.若直线与双曲线无交点，则C.设，过点的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，则D.若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为定值1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若倾斜角为的直线被直线：与：所截得的线段长为2，则_.（用弧度表示）14.已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是_.（填序号）15.如图所示，二面角为30，过点作，垂足为，过点作，垂足为，若，则的长度为_.16.已知椭圆：，为的长轴上任意一点，过点作斜率为的直线与交于，两点，则的值
5、为_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）在中，已知，且边上的中线在轴上的截距为2.（1）求直线的一般式方程；（2）若点在轴上方，的面积为，且过点的直线在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.18.（本小题满分12分）已知在如图所示的五面体中，四边形是正方形，点，在平面内的射影落在直线上.（1）设为边上任意一点，求证：三棱锥的体积为定值；（2）当为中点时，求平面与平面夹角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知圆：和圆外一点，过点作圆的切线，切线长为.（1）求圆的标准方程；（2）若圆：，求证：圆和圆相交，并求出两圆的公共弦长.20.
6、（本小题满分12分）已知四边形是边长为2的正方形，为等边三角形（如图1所示），沿着折起到的位置，且使平面平面，是棱的中点（如图2所示）.图1图2（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知双曲线：的离心率为2，点在上，为的右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）设为的左顶点，过点作直线交于，（，不与重合）两点，点是的中点，求证：.22.（本小题满分12分）设线段的长为3，且其端点，分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设圆：，过点作互相垂直的两条直线，其中与曲线的一个交点为（不与重合），与圆相交于，两点，求的最大面积.参考答案
7、1.C 由题意得该直线的斜率为，其倾斜角为.故选C.2.D 因为，分别是，的中点，所以，.因为，所以.故选D.3.A 由题意可得，所以，所以，所以离心率.故选A.4.C 由题意得，双曲线的焦距为，所以，因为，所以.因为，不妨设，由双曲线的定义可得，所以，由勾股定理可得，所以，所以双曲线方程为.故选C.5.B 因为，所以选项A，C，D中的向量共面，不能作为空间的基底；对于选项B，假设，共面，则存在，使，所以无解，所以，不共面，可以作为空间的一组基底.故选B.6.C 以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则根据题意可得，所以，设异面直线与所成角为，
8、则.故选C.7.B 直线可化为，令解得所以点的坐标为.设点关于直线的对称点为，则由解得所以点坐标为.由线段垂直平分线的性质可知，所以（当且仅当，四点共线时等号成立），所以的最小值为4.故选B.8.A 若直线的斜率存在且不为0，根据双曲线的对称性，此时满足的直线的个数为偶数，所以直线的斜率为0或斜率不存在.当直线的斜率为0时，为双曲线的左、右顶点，由，得双曲线的方程为：，易得，过点的通径长为，满足条件，此时双曲线的离心率；当直线的斜率不存在时，此时为双曲线过点的通径，则，解得或，当时，实轴长为1，因为，所以满足的直线有3条；当时，实轴长为4，因为，所以满足的直线也有3条.综.上所述，双曲线的离心
9、率为.故选A.9.AC 圆的方程可化为，已知圆心为，半径为，欲满足圆上存在4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，即，解得，则实数的取值范围为.故选AC.10.BCD 根据椭圆的对称性可知，的纵坐标相同，横坐标的绝对值不同，所以点，中有且只有一个点在椭圆上，则，必在椭圆上，设椭圆的方程为，将点，坐标代入椭圆方程得解得，所以椭圆的方程为，故A错误；将点，分别代入椭圆的方程中易得，点不在椭圆上，点在椭圆上，故B正确；椭圆上的点到其焦点的最大值为，故C正确；椭圆的一个顶点（此顶点为上顶点或下顶点）和它的两个焦点相连接所得三角形的面积，故D正确.故选BCD.11.ABC 设是的中点，根据题意知， ，
10、当折到平面平面时，四面体的体积最大，此时四面体的最大体积，故A正确；当时，因为，所以，所以，两两垂直，以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，其中，当，时，取得最小值为，故B正确；，则，设为平面的一个法向量，则，令，得，所以点到平面（即平面）的距离，故C正确；对于选项D，显然随着点的移动，该三棱锥的高（点到平面的距离）发生变化，因而其体积也发生变化，不是定值，故D错误.故选ABC.12.ACD 对于A选项，由题意，且，联立解得，所以双曲线的标准方程为，故A正确；对于B选项，因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，则，故B错误；对于C选项，过点的动直线斜率存在且不
11、为0，故设该动直线为.设，联立得，所以解得且且，所以，故C正确；对于选项D，由于动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，当直线的斜率不存在时，：，；当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线：，故由，从而，化简得.又因为双曲线的渐近线方程为，故由从而点.同理可得，所以，又因为原点到直线：的距离，所以，又由，所以，故的面积为定值1，故D正确.故选ACD.13.0或 由题意知，平行直线与直线之间的距离，设直线与直线，垂直且分别相交于，两点，则.直线与直线，分别交于，两点，则，所以直线与直线所成的角为.因为直线的斜率为1，倾斜角为，所以直线的倾斜角或.14. 圆的圆心，半径，
12、圆的圆心，半径，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆圆心距，即，解得或，故选.15. 因为，所以，所以.16.5 设，直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程并化简得到，进而有，所以.17.解：（1）根据题意得到点，又直线过点，根据两点式得直线的方程为，即.（2）因为的面积为，点是线段的中点，所以的面积为39.设点的坐标为，点到直线的距离为，因为，所以，解得.因为直线的方程为，即，所以点到直线的距离解得（舍去），所以点坐标为.当直线过原点时，直线的方程为，即.当直线不过原点时，设直线的方程为，将点坐标代入得，此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.18.（1）证明：在正方形中，因为平面，
13、平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值.又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值.（2）解：因为点，在平面内的射影落在直线上，所以平面平面.因为，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.又，所以，两两垂直.以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设为平面的一个法向量，则即不妨取，得到.设平面的一个法向量为，则令，.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面夹角的余弦值为19.解：（1）圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由勾股定理可得，解得.所以圆的标准方程为.（2）由题意得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为，所以圆和圆相交.设两圆相交于，两点，则两圆的方
14、程相减得直线的方程为，圆心到直线的距离.所以，所以两圆的公共弦长为.20.（1）证明：取的中点，连接，并过点作的平行线，交于，则.因为三角形为正三角形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，所以.（2）解：，设平面的一个法向量为，则即令，.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的余弦值为.21.（1）解：由已知可得，解得.又点在上，由可得，.双曲线的方程为.（2）证明：当的斜率为0时，此时，中有一点与重合，不符合题意.当斜率不为0时，设：，联立得，则所以.，所以，则是直角三角形，是斜边，因为点是斜边的中点，所以，即.22.解：（1）设点，由得，.由得，所以代入，得，即所求曲线的方程为.（2）当直线的斜率存在且不为0时，可设：，：联立方程组整理得，解得，所以，而圆心到直线的距离，所以，当且仅当，即时取等号.当直线的斜率不存在时，可得；当直线的斜率为0时，重合，与题意不符.综上所述，的最大面积为5.