1、 1 第第 1 1 讲讲 坐标系坐标系 1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 x1 2x， y1 3y 后，曲线C：x 2y236 变为何种 曲线，并求曲线的焦点坐标 解：设圆x 2y236 上任一点为 P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)， 则 x2x， y3y，所以 4x 29y236，即x 2 9 y 2 4 1. 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆x 2 9 y 2 41， 其焦点坐标为( 5，0) 2在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin 4 2 2 . (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标 解：(1
2、)圆O：cos sin ， 即 2cos sin ， 圆O的直角坐标方程为：x 2y2xy， 即x 2y2xy0， 直线l：sin 4 2 2 即sin cos 1， 则直线l的直角坐标方程为：yx1， 即xy10. (2)由 x2y2xy0， xy10， 得 x0， y1 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为 1， 2 . 3 从极点O作直线与另一直线l：cos 4 相交于点M， 在OM上取一点P， 使|OM|OP| 12. 2 (1)求点P的轨迹方程； (2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值 解：(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)则012. 因为0cos 4， 所以
3、3cos ，即为所求的轨迹方程 (2)将3cos 化为直角坐标方程， 得x 2y23x， 即 x3 2 2 y 2 3 2 2 . 知点P的轨迹是以 3 2，0 为圆心，半径为 3 2的圆 直线l的直角坐标方程是x4. 结合图形易得|RP|的最小值为 1. 4(2019沈阳市教学质量检测(一)在直角坐标系xOy中，直线l：yx，圆C： x1cos y2sin ( 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求直线l与圆C的极坐标方程； (2)设直线l与圆C的交点为M，N，求CMN的面积 解：(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x1) 2(y2)21， 因为xcos ，y
4、sin ，所以直线l的极坐标方程为 4 (R R) 圆C的极坐标方程为 22cos 4sin 40. (2)将 4 代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 1 2 2，2 2，|MN|12| 2， 因为圆C的半径为 1，所以CMN的面积为1 2 21sin 4 1 2. 5(2019河南洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 x2cos ， y22sin ( 为 参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆C的普通方程； (2)直线l的极坐标方程是 2sin 6 5 3， 射线OM： 6 与圆C的交点为O，P， 与直线l的交点为Q，求线段PQ的长
5、 解：(1)因为圆C的参数方程为 x2cos ， y22sin ( 为参数)，所以圆心C的坐标为(0，2)， 3 半径为 2，圆C的普通方程为x 2(y2)24. (2)将xcos ，ysin 代入x 2(y2)24， 得圆C的极坐标方程为4sin . 设P(1，1)，则由 14sin 1， 1 6 ， 解得12，1 6 . 设Q(2，2)，则由 22sin 2 6 5 3， 2 6 ， 解得25，2 6 . 所以|PQ|3. 1 (2019河南天一大联考)在极坐标系中， 曲线C：4acos (a0)，l：cos 3 4，C与l有且只有一个公共点 (1)求a； (2)O为极点，A，B为曲线C上
6、的两点，且AOB 3 ，求|OA|OB|的最大值 解：(1)由题意，得曲线C是以(2a，0)为圆心，以 2a为半径的圆 l的直角坐标方程为x 3y80， 由直线l与圆C相切可得|2a8| 2 2a， 解得a4 3(舍负) (2)不妨设A的极角为，B的极角为 3 ，则 |OA|OB|16 3 cos 16 3 cos 3 8cos 8 3 3 sin 16 3 3 cos 6 ， 所以当 6 时，|OA|OB|取得最大值16 3 3 . 4 2(2019成都市第二次诊断性检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x2cos y22sin ( 为参数)，直线l的参数方程为 x 3 3 2 t
7、 y31 2t (t为参数)在以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极 点的点A，且点A的极坐标为(2 3，)，其中( 2 ，) (1)求的值； (2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x 2(y2)24， 因为xcos ，ysin ， 所以曲线C的极坐标方程为(cos ) 2(sin 2)2 4，即4sin . 由2 3，得 sin 3 2 ， 因为( 2 ，)，所以2 3 . (2)由题， 易知直线l的普通方程为x 3y4 30， 所以直线l的极坐标方程为cos 3sin 4 30. 又射线
8、OA的极坐标方程为2 3 (0)， 联立，得 2 3 （0） cos 3sin 4 30 ，解得4 3. 所以点B的极坐标为 4 3，2 3 ， 所以|AB|BA|4 32 32 3. 3在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的 极坐标方程为 2(13sin2)4.曲线 C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 3 与 曲线C2交于点D 2， 3 . (1)求曲线C1、C2的直角坐标方程； (2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B 2，0 2 ，若A、B都在曲线C1上，求 1 2 1 1 2 2 的值 解：(1)因为C1的极坐标方程为 2(13sin2)4，
9、 5 所以 2(cos24sin2)4，即(cos )24(sin )24，即 x 24y24，所以该 曲线C1的直角坐标方程为x 2 4y 21. 由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (a为半径)， 将D 2， 3 代入， 得22a1 2， 所以a2， 所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为 2， 所以C2的直角坐标方程为(x2) 2y24. (2)曲线C1的极坐标方程为 2cos2 4 2sin21， 即 2 4 4sin 2cos2. 所以 2 1 4 4sin 2 0cos 2 0， 2 2 4 4sin 2 0 2 cos 2 0 2 4 sin 2 04cos 2 0
10、. 所以 1 2 1 1 2 2 4sin 2 0cos 2 0 4 4cos 2 0sin 2 0 4 5 4. 第第 2 2 讲讲 参数方程参数方程 1在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系 中取相同的长度单位已知曲线C的极坐标方程为2cos ，直线l的参数方程为 x1tcos ， ytsin (t为参数，为直线的倾斜角) (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角的大小 解：(1)当 2 时，直线l的普通方程为x1； 当 2 时，直线l的普通方程为y(x1)tan . 由2cos ，得 22cos
11、， 所以x 2y22x， 6 即为曲线C的直角坐标方程 (2)把x1tcos ，ytsin 代入x 2y22x，整理得 t 24tcos 30. 由16cos 2120，得 cos23 4， 所以 cos 3 2 或 cos 3 2 ， 故直线l的倾斜角为 6 或5 6 . 2以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 10，曲线C的参数方程为 x35cos ， y45sin ，(为参数) (1)判断两曲线C和C的位置关系； (2)若直线l与曲线C和C均相切，求直线l的极坐标方程 解：(1)由10 得曲线C的直角坐标方程为x 2y2100， 由 x35cos
12、， y45sin 得曲线 C的普通方程为(x3) 2(y4)225. 曲线C表示以(0，0)为圆心，10 为半径的圆； 曲线C表示以(3，4)为圆心，5 为半径的圆 因为两圆心间的距离 5 等于两圆半径的差，所以圆C和圆C的位置关系是内切 (2)由(1)建立方程组 x2y2100， （x3） 2（y4）225， 解得 x6， y8；可知两圆的切点坐标为(6，8)，且公切线的斜率为 3 4， 所以直线l的直角坐标方程为y83 4(x6)， 即 3x4y500， 所以极坐标方程为 3cos 4sin 500. 3(2018高考全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O 的参数方程为 xcos ysin
13、(为参 数)，过点(0， 2)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点 (1)求的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程 解：(1)O的直角坐标方程为x 2y21. 当 2 时，l与O交于两点 7 当 2 时， 记 tan k， 则l的方程为ykx 2.l与O交于两点当且仅当 2 1k 2 1，解得k1 或k1，即 4 ， 2 或 2 ，3 4 . 综上，的取值范围是 4 ，3 4 . (2)l的参数方程为 xtcos ， y 2tsin (t 为参数， 4 3 4 ) 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tPt AtB 2 ，且tA，tB满足t 22 2tsin 1 0. 于
14、是tAtB2 2sin ，tP 2sin . 又点P的坐标(x，y)满足 xtPcos ， y 2tPsin ， 所以点P的轨迹的参数方程是 x 2 2 sin 2， y 2 2 2 2 cos 2 (为参数， 4 3 4 ) 4(2019陕西省高三教学质量检测试题(一)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参 数方程是 x 2 2 t y 2 2 t4 2 (t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为2cos 4 . (1)判断直线l与曲线C的位置关系； (2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求xy的取值范围 解：(1)直线l的普通方程为xy4 20.
15、 曲线C的直角坐标方程为 x 2 2 2 y 2 2 2 1. 圆心 2 2 ， 2 2 到直线xy4 20 的距离 d|5 2| 2 51， 所以直线l与曲线C的位置关系是相离 8 (2)设M 2 2 cos ， 2 2 sin ，(为MC与x轴正半轴所成的角) 则xy 2sin 4 . 因为 02， 所以xy 2， 2 5在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x 22xy20，以原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 4 (R R) (1)写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标； (2)设P是椭圆x 2 3y 21 上的动点，求PMN 面积的最大值
16、 解：(1)因为xcos ，ysin ， 所以C的极坐标方程为2cos . 直线l的直角坐标方程为yx. 联立方程组 yx， x 22xy20， 解得 x0， y0 或 x1， y1. 所以点M，N的极坐标分别为(0，0)， 2， 4 . (2)由(1)易得|MN| 2. 因为P是椭圆x 2 3y 21 上的动点， 设P点坐标为( 3cos 1，sin 1) 则P到直线yx的距离 d| 3cos 1sin 1| 2 ， 所以SPMN1 2|MN|d 1 2 2 | 3cos 1sin 1| 2 2cos 1 6 2 1， 当1k 6 ，kZ Z 时，SPMN取得最大值 1. 9 1 (2017
17、 高考全国卷)在直角坐标系xOy中， 直线l1的参数方程为 x2t， ykt (t为参数)， 直线l2的参数方程为 x2m， ym k (m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨 迹为曲线C. (1)写出C的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin ) 2 0，M为l3与C的交点，求M的极径 解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y1 k (x2) 设P(x，y)，由题设得 yk（x2）， y1 k（x2）. 消去k得x 2y24(y0) 所以C的普通方程为x 2y24(y0) (2)C的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(00， 11 即a0，由根与系数的关系得 t1t2 2 t1t214a 2 . 根据参数方程的几何意义可知|PA|2|t1|，|PB|2|t2|， 又|PA|2|PB|可得 2|t1|22|t2|， 即t12t2或t12t2. 所以当t12t2时，有 t1t23t2 2 t1t22t 2 214a 2 ， 解得a 1 360，符合题意 当t12t2时，有 t1t2t2 2 t1t22t 2 214a 2 ， 解得a9 40，符合题意 综上所述，实数a的值为 1 36或 9 4.