1、 1 第第 1 1 讲讲 集合及其运算集合及其运算 1(2017高考北京卷)已知全集UR R，集合Ax|x2，则UA( ) A(2，2) B(，2)(2，) C2，2 D(，22，) 解析：选 C.由已知可得，集合A的补集UA2，2 2(2017高考全国卷)已知集合Ax|x1，Bx|3 x1，则( ) AABx|x1 DAB 解析：选 A.集合Ax|x1，Bx|x0，所以ABx|x0，ABx|x1故选 A. 3已知集合AxR R|x1 x0，则满足 AB1，0，1的集合B的个数是( ) A2 B3 C4 D9 解析：选 C.解方程x1 x0，得 x1 或x1，所以A1，1，又AB1，0， 1，
2、所以B0或0，1或0，1或0，1，1，集合B共有 4 个 4已知集合A0，1，2，3，4，Bx|xn，nA，则AB的真子集个数为( ) A5 B6 C7 D8 解析：选 C.由题意，得B0，1， 2， 3，2，所以AB0，1，2，所以AB的真 子集个数为 2 317.故选 C. 5(2019云南省第一次统一检测)设集合Ax|x 2x20，则集合 A与集合B的关系是( ) ABA BBA CBA DAB 解析：选 A.因为Ax|x 2x21 或 x0 x|x5 2，所 以BA，故选 A. 6(2019陕西西安模拟)已知集合M1，0，1，Nx|xab，a，bM，且ab， 则集合M与集合N的关系是(
3、 ) AMN BMNN CMNN DMN 2 解析：选 B.因为集合M1，0，1Nx|xab，a，bM，且ab，所以N1， 0，所以集合MNN.故选 B. 7(2019河南百校联盟联考)若集合Ax|ylg(3xx 2)，By|y1 4 x1，xA， 则AR RB等于( ) A(0，2 B(2，3) C(3，5) D(2，1) 解析：选 A.因为A(0，3)，所以B(2，5)，所以AR RB(0，2故选 A. 8(2019湖北武昌模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合ABx|xA，且xB若 AxN N|0 x5，Bx|x 27x100，则 AB( ) A0，1 B1，2 C0，1，2 D0，1，
4、2，5 解析： 选 D.因为 AxN N|0 x50， 1， 2， 3， 4， 5，Bx|x 27x100 x|2x5， ABx|xA且xB，所以AB0，1，2，5故选 D. 9(2019长沙市统一模拟考试)已知集合A1，2，3，Bx|x 23xa0，aA，若 AB ，则a的值为( ) A1 B2 C3 D1 或 2 解析：选 B.当a1 时，B中元素均为无理数 ，AB ；当a2 时，B1，2，AB 1，2 ；当a3 时，B ，则AB .故a的值为 2，选 B. 10(2019安徽省两校阶段性测试)设Ax|x 24x30，Bx|ln(32x)0，则图 中阴影部分表示的集合为( ) A(，3 2
5、) B(1，3 2) C1，3 2) D(3 2，3 解析：选 B.Ax|x 24x30 x|1x3，Bx|ln(32x)0 x|032x1 x|1x3 2，图中阴影部分表示的集合为 ABx|1x3 2故选 B. 11(2019安徽淮北第二次模拟)已知全集UR R，集合Mx|x2a0，Nx|log2(x 1)1，若集合M(UN)x|x1 或x3，那么a的取值为( ) Aa1 2 Ba1 2 3 Ca1 2 Da1 2 解析：选 C.因为 log2(x1)0 且x12，即 1x3，则Nx|1x3，因为 UR R，所以UNx|x1 或x3，又因为Mx|x2a0 x|x2a，MUNx|x 1 或x3
6、，所以2a1，得a1 2.故选 C. 12(2019豫北名校联考)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合PQz|zab，a P，bQ，若P1，0，1，Q2，2，则集合PQ中元素的个数是( ) A2 B3 C4 D5 解析：选 B.当a0 时，无论b取何值，zab0； 当a1，b2 时，z1 2； 当a1，b2 时，z1 2； 当a1，b2 时，z1 2； 当a1，b2 时，z1 2. 故PQ0，1 2， 1 2，该集合中共有 3 个元素，所以选 B. 13已知全集UR R，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)_ 解析：由于ABx|x0，或x1，结合数轴，U(AB)x|0 x1 答案：x|0
7、x1 14 设全集S1， 2， 3， 4， 且AxS|x 25xm0， 若 SA2， 3， 则m_ 解析：因为S1，2，3，4，SA2，3, 所以A1，4，即 1，4 是方程x 25xm 0 的两根，由根与系数的关系可得m144. 答案：4 15 设集合Ix|3x3，xZ Z，A1， 2，B2， 1， 2， 则A(IB)_ 解析：因为集合Ix|3x3，xZ Z2，1，0，1，2，A1，2，B2， 1，2，所以IB0，1，则A(IB)1 答案：1 16 已知Ax|x 23x20， Bx|1xa， 若AB， 则实数a的取值范围是_ 解析：因为Ax|x 23x20 x|1x2B，所以 a2. 答案：
8、2，) 4 1 (2019 山 东 烟 台 调 研 ) 已 知 集 合M x|x k 4 4 ，k Z Z ， 集 合N x|xk 8 4 ，kZ Z ，则( ) AMN BMN CNM DMNM 解析：选 B.由题意可知，Mx|x（2k4） 8 4 ，kZ Z x|x2n 8 4 ，nZ Z ，N x|x2k 8 4 或x（2k1） 8 4 ，kZ Z，所以MN，故选 B. 2(2019宁夏银川二中考试)已知集合Ax|ylg(xx 2)，Bx|x2cx0，若 AB，则实数c的取值范围是( ) A(0，1 B1，) C(0，1) D(1，) 解析： 选 B.法一： 由题意知，Ax|ylg(xx
9、 2)x|xx20(0， 1)， Bx|x 2cx0(0，c) 由AB，画出数轴，如图所示，得c1. 法二： 因为Ax|ylg(xx 2)x|xx20(0， 1)， 取 c1， 则B(0， 1)， 所以AB 成立，可排除 C，D；取c2，则B(0，2)，所以AB成立，可排除 A. 3设函数f(x)lg(1x 2)，集合 Ax|yf(x)，By|yf(x)，则图中阴影部分表 示的集合为_ 解析：因为Ax|yf(x)x|1x 20 x|1x1，则 u1x 2(0，1，所以 B y|yf(x)y|y0，AB(，1)，AB(1，0，故图中阴影部分表示的集合 为(，1(0，1) 答案：(，1(0，1)
10、4若集合A具有以下性质： (1)0A，1A；(2)x，yA，则xyA，且x0 时，1 xA，则称集合 A是“完美集”， 给出以下结论： 集合B1，0，1是“完美集”； 有理数集 Q Q 是“完美集”； 设集合A是“完美集”，若x，yA，则xyA； 5 设集合A是“完美集”，若x，yA，则xyA； 对任意的一个“完美集”A，若x，yA，且x0，则y xA. 其中正确结论的序号是_ 解析：1B，1B，但是112B，B不是“完美集”； 有理数集满足“完美集”的定义； 0A，x，yA，0yyA，那么x(y)xyA； 对任意一个“完美集”A，任取x，yA，若x，y中有 0 或 1 时，显然xyA，若x，
11、y 均不为 0，1，而 1 xy 1 2xy 1 2xy 1 （xy） 2x2y2 1 （xy） 2x2y2，x，x1A，那么 1 x1 1 x 1 x（x1）A，所以 x(x1)A，进而x(x1)xx 2A.结合前面的算式，知 xyA； x，yA，若x0，那么1 xA，那么由得 y xA. 故填. 答案： 5已知集合AxR R|x 2axb0， BxR R|x 2cx150， AB3，AB3， 5 (1)求实数a，b，c的值； (2)设集合PxR R|ax 2bxc7，求集合 PZ Z. 解：(1)因为AB3，所以 3B，所以 3 2c3150，c8， 所以BxR R|x 28x1503，5
12、， 又因为AB3，AB3，5，所以A3， 所以方程x 2axb0 有两个相等的实数根都是 3，所以 a6，b9，所以a6，b9，c 8. (2)不等式ax 2bxc7 即 6x29x87，所以 2x23x50，所以5 2x1， 所以Px|5 2x1， 所以PZ Zx|5 2x1Z Z2，1，0，1 6(2019徐州模拟)已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m (1)当m1 时，求AB； (2)若AB，求实数m的取值范围； (3)若AB ，求实数m的取值范围 6 解：(1)当m1 时，Bx|2x2， 则ABx|2x2m， 2m1， 1m3， 得m2，即实数m的取值范围为(，2 (3)由AB
13、，得 若 2m1m，即m1 3时，B ，符合题意； 若 2m1m，即m1 3时，需 m1 3， 1m1 或 m1 3， 2m3， 得 0m1 3或 ，即 0msin B”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 C.设ABC外接圆的半径为R，若 sin Asin B，则 2Rsin A2Rsin B，即ab；若 ab，则 a 2R b 2R，即 sin Asin B，所以在ABC 中， “sin Asin B”是“ab”的充要条件， 故选 C. 5已知命题： “若a2，则a 24” ，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个
14、数是( ) A0 B1 C2 D3 解析：选 B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 24，则 a2” ，显然是假命题，由互为 逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题 6设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得AC，BUC” 是“AB”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 C.依题意，若AC，则UCUA，当BUC，可得AB；若AB，不妨令C A，显然满足AC，BUC，故满足条件的集合C是存在的 7下列命题中正确的个数是( ) 命题“若m1，则方程x 22xm0 有实根”的逆命题为“若方程 x 22xm0 有实 根，
15、则m1” ； “x1”是“x 23x20”的充分不必要条件； 一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0. 8 A0 B3 C2 D1 解析：选 C.对于，命题“若m1，则方程x 22xm0 有实根”的逆命题为“若方程 x 22xm0 有实根， 则 m1” ， 故正确； 对于， 由x 23x20， 解得 x1 或x2， 所以“x1”不是“x 23x20”的充分不必要条件，故错误；对于，因为 f(x)kx b(k0)是奇函数，所以f(x)f(x)，即k(x)b(kxb)，所以b0，反之， 如果b0， 那么f(x)kx， 所以f(x)kxf(x)， 所以f(x)为奇函数， 故正确 正
16、确命题的个数为 2，故选 C. 8使a0，b0 成立的一个必要不充分条件是( ) Aab0 Bab0 Cab1 D.a b1 解析：选 A.因为a0，b0ab0，反之不成立，而由a0，b0 不能推出ab0，ab1， a b1. 9 (2019 陕西省高三教学质量检测试题(一)设a，bR R， 则 “(ab)a 20” 是 “ab” 的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A.由(ab)a 20 可知 a 20，则一定有 ab0，即ab；但是ab即ab0 时， 有可能a0，所以(ab)a 20 不一定成立，故“(ab)a20”是“ab0，则 l
17、n aln b B向量a a(1，m)，b b(m，2m1)(mR R)垂直的充要条件是m1 C命题“角的终边在第一象限，则是锐角”的逆否命题为真命题 D已知函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)f(b)0)是增函数，所以若ab0，则 ln aln b，故 A 错误；若 a ab b，则mm(2m1)0，解得m0，故 B 错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命 题，而角的终边在第一象限，角不一定是锐角，如315，该角的终边落在第一象 限，但不是锐角，故 C 错误；命题“若f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个 零点”的逆命题“若f(x)在区间(
18、a，b)内至少有一个零点，则f(a)f(b)0，故 D 正确故选 D. 13已知a，b，cR R，命题“若abc3，则a 2b2c23”的否命题是_ 解析： “abc3”的否定是“abc3” ， “a 2b2c23”的否定是“a2b2c23” ， 故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若abc3，则a 2b2c23. 答案：若abc3，则a 2b2c20 不成立”是真命题，则实数 a的取值范围是_ 解析：由题意知ax 22ax30 恒成立，当 a0 时，30 成立；当a0 时，得 a0， 4a 212a0， 10 解得3a0，故3a0. 答案：3，0 16已知函数f(x)2sin 2x 3
19、(xR R)设p：x 4 ， 2 ，q：m3f(x)m3.若p 是q的充分条件，则实数m的取值范围是_ 解析：因为p：x 4 ， 2 2x 3 6 ，2 3 ， 所以f(x)1，2， 又因为p是q的充分条件， 所以 m32， 解得1m4，即m的取值范围是(1，4) 答案：(1，4) 1(2019四川南山模拟)已知条件p：1 42 x16，条件 q：(x2)(xa)0，若p是q的充 分而不必要条件，则a的取值范围为( ) A4，) B(，4) C(，4 D(4，) 解析：选 B.由1 42 x16，得2x4，即 p：2x2，即a2，则条件q：(x2)(xa)0 等价于2x4，则a4； 若a2，即
20、a2，则(x2)(xa)0 无解，不符合题意； 若a2，则q：(x2)(xa)0 等价于ax2，不符合题意 综上可得a3(xm)是 q：x 23x40 的必要不充分条件， 则实数m的取值范围为_ 解析：p对应的集合Ax|xm3，q对应的集合Bx|4x1，由p是q的必 要不充分条件可知BA，所以m1 或m34，即m1 或m7. 答案：m1 或m7 4有下列四个命题： “若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题； “面积相等的三角形全等”的否命题； “若m1，则x 22xm0 有实数解”的逆否命题； “若ABB，则AB”的逆否命题 其中真命题为_(填写所有真命题的序号) 解析：“若xy1，则x，y互为
21、倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1” ，显然 是真命题，故正确；“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全 等” ， 显然是真命题， 故正确； 若x 22xm0 有实数解， 则44m0， 解得 m1， 所以“若m1， 则x 22xm0 有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故正确； 若ABB，则BA，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故错误 答案： 5已知命题p： “若ac0，则二次方程ax 2bxc0 没有实根” (1)写出命题p的否命题； (2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论 解：(1)否命题： “若ac0，则二次方程ax 2bxc0 有实根” (2
22、)命题p的否命题为真命题，证明如下： 因为ac0b 24ac0二次方程 ax 2bxc0 有实根 6已知p：x 27x120，q：(xa)(xa1)0. (1)是否存在实数a，使p是q的充分不必要条件？若存在，求实数a的取值范围；若不存 在，请说明理由 (2)是否存在实数a，使p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由 解：由题意知，p：3x4， q：axa1. (1)因为p是q的充分不必要条件， 所以pq，且qp， 所以qp，且pq， 即q是p的充分不必要条件， 故x|axa1x|3x4， 12 所以 a3， a14或 a3， a10，则( ) A命题q：xR R，x 20
23、为假命题 B命题q：xR R，x 20 为真命题 C命题q：xR R，x 20 为假命题 D命题q：xR R，x 20 为真命题 解析：选 D.全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论又当x0 时， x 20 成立，所以q 为真命题，故选 D. 3(2019湖北武汉调研)命题“yf(x)(xM)是奇函数”的否定是( ) AxM，f(x)f(x) BxM，f(x)f(x) CxM，f(x)f(x) DxM，f(x)f(x) 解析：选 D.命题“yf(x)(xM)是奇函数”的否定是xM，f(x)f(x)，故选 D. 13 4以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A锐角三角形有
24、一个内角是钝角 B至少有一个实数x，使x 20 C两个无理数的和必是无理数 D存在一个负数x，1 x2 解析：选 B.A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以 A 是假命题；B 中当x0 时，x 20，满 足x 20，所以 B 既是特称命题又是真命题；C 中因为 2( 2)0 不是无理数，所以 C 是假命题；D 中对于任意一个负数x，都有1 x2，所以 D 是假命题 5(2019南昌模拟)已知命题p：“xR R，x10”的否定是“xR R，x10 且 a1)在 R R 上是增函数，命题q：loga2log2a2(a0 且 a1)，则下列命题为真命题的是( ) Apq Bpq C(p)q Dp(q)
25、 解析：选 D.当 0a1 时，ya x在 R R 上是减函数，因此 p假，p真，当a1 2时，log a2log2a 2m”是真命题，则m的值可以是( ) A1 3 B1 C. 3 2 D.2 3 14 解析：选 A.因为 sin xcos x1 2sin 2x 1 2， 1 2 ，所以m1 2.故选 A. 9已知命题p：xR R，2 x3x，命题 q：xR R，x 22x，若命题(p)q 为真命题，则x 的值为( ) A1 B1 C2 D2 解析：选 D.因为p：xR R，2 x3x，要使(p)q 为真，所以p与q同时为真由 2 x3x 得 2 3 x 1，所以x0，由x 22x 得x 2
26、x20，所以 x1 或x2，又x0，所以 x2. 10已知命题p：xR R，x 210 恒成立，则 0m4，那么( ) A “p”是假命题 Bq是真命题 C “pq”为假命题 D “pq”为真命题 解析：选 C.因为x 212x，即 x 22x10，也即(x1)20 恒成立，则m0 或 m0， m 24m0，则 0m4，所以命题q为假，故选 C. 11 (2019江西红色七校联考)已知函数f(x) 3x，x0，当 m0 时，mx 2x1”， 则命题p可写为_ 解析：因为p是p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可 答案：x0(0，)，x0 x01 14 已知命题p：x 24x
27、30， q：xZ， 且“pq”与“q”同时为假命题， 则x_ 解析：若p为真，则x1 或x3， 因为“q”为假，则q为真，即xZ， 又因为“pq”为假，所以p为假，故3x0”是真命题，故2 24m1，故a1. 答案：1 16已知下列命题 x0 0， 2 ，sin x0cos x0 2； x(3，)，x 22x1； xR R，2 x1 2 x2； x 2 ， ，tan xsin x. 其中真命题为_(填所有真命题的序号) 解析：对于，当x 4 时，sin xcos x 2， 所以此命题为真命题； 对于，当x(3，)时， x 22x1(x1)220， 16 所以此命题为真命题； 对于，因为 2 x
28、0，所以1 2 x2 x2 1 2 x2 x2， 当且仅当1 2 x2 x即 x0 时等号成立 所以此命题为假命题； 对于，当x 2 ， 时，tan x00 的解集为 R R， 则实数 a(0， 4)，命题q：“x 22x80”是“x5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( ) Apq Bp(q) C(p)(q) D(p)q 解析：选 D.命题p：a0 时，可得 10 恒成立；a0 时，可得 a0， a 24a0，解得 0a0 解得 x4 或x0”是“x5”的必要不充分条 件，是真命题故(p)q是真命题故选 D. 2(2019湖北黄冈模拟)下列四个命题： 若x0，则xsin x恒成立； 命题
29、“若xsin x0，则x0”的逆否命题为“若x0，则xsin x0”； “命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件； 命题“xR R，xln x0”的否定是“x0R R，x0ln x00 时，xsin x000，即当x0 时，xsin x恒成立，故正确； 对于，命题“若xsin x0，则x0”的逆否命题为“若x0，则xsin x0” ，故 正确； 对于，命题pq为真即p，q中至少有一个为真，pq为真即p，q都为真，可知“pq 为真”是“pq为真”的充分不必要条件，故正确； 对于，命题“xR R，xln x0”的否定是“x0R R，x0ln x00” ，故错误 17 综上，正确命题的个数
30、为 3，故选 C. 3已知命题p：x0R R，x02lg x0；命题q：xR R，x 2x1lg 10 成立，故命题p为真命题；对于命题q， 方程x 2x10， 即 x 2x10， 1410.则命题“p(q)”是假命题； 已知直线l1：ax3y10，l2：xby10，则l1l2的充要条件是a b3； “设a，bR R，若ab2，则a 2b24”的否命题为：“设 a，bR R，若ab4” 的否命题为：“设a，bR R，若ab0， 使函数f(x)ax 24x 在(， 2上单调递减”， 命题q： “存 在aR R，使xR R，16x 216(a1)x10”若命题“pq”为真命题，求实数 a的取 值范
31、围 解：若p为真，则对称轴x4 2a 2 a在区间(，2的右侧，则 2 a2，所以 0a1. 若q为真，则方程 16x 216(a1)x10 无实数根 所以16(a1) 24160， 所以1 2a 3 2. 因为命题“pq”为真命题， 所以命题p，q都为真， 18 所以 0a1， 1 2a 3 2， 所以1 20，若r是t的必要 不充分条件，求正数m的值 解：(1)若p为真，则 3 a9，得 a2. 若q为真，则函数f(x)无极值点，所以f(x)x 23(3a)x90 恒成立， 得9(3a) 2490，解得 1a5. 因为“pq”为假命题， “pq”为真命题， 所以p与q只有一个命题是真命题 若p为真命题，q为假命题，则 a2， a5a2， 1a52a5. 综上，实数a的取值范围为a|a1 或 20， 所以(am) a m1 2 0，所以am1 2， 即t：am1 2，从而t：mam 1 2， 因为r是t的必要不充分条件，所以tr，r /t， 所以 m1， m1 22 (两个不等式不能同时取等号)， 19 解得 1m3 2，又因为 mN N *，所以 m1.