1、 1 第第 1 1 讲讲 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 1下列各式中不能化简为PQ 的是( ) A. AB (PABQ) B(AB PC)(BAQC) C. QC QPCQ D. PA ABBQ 解析：选 D.AB (PABQ)ABBQPAPAAQPQ； (AB PC)(BAQC)(ABBA)(PCQC)PCCQPQ； QC QPCQPCCQPQ； PA ABBQPBBQ， 显然由PB BQ得不出PQ， 所以不能化简为PQ 的式子是 D. 2设a a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是( ) Aa a与a a的方向相反 Ba a与 2a a 的方向相同 C|a a|a
2、 a| D|a a|a a 解析：选 B.对于 A，当0 时，a a与a a的方向相同，当0 时，a a与a a的方向相反；B 正确；对于 C，|a a|a a|，由于|的大小不确定，故|a a|与|a a|的大小关 系不确定；对于 D，|a a是向量，而|a a|表示长度，两者不能比较大小 3(2019广东省五校协作体第一次诊断考试)设D是ABC所在平面内一点，AB 2DC，则 ( ) A.BD AC3 2AB B.BD 3 2AC AB C.BD 1 2AC AB D.BD AC1 2AB 解析：选 A.BD BCCDBCDCACAB1 2AB AC3 2AB ，选 A. 2 4(2019
3、山东临沂模拟)已知a a，b b是不共线的向量，AB a ab b，ACa ab b， R R，则A，B，C三点共线的充要条件为( ) A2 B1 C1 D1 解析： 选 D.因为A，B，C三点共线， 所以AB AC.设ABmAC(m0)， 所以 m， 1m，所以 1，故选 D. 5已知向量a a，b b，c c中任意两个都不共线，但a ab b与c c共线，且b bc c与a a共线，则向量 a ab bc c( ) Aa a Bb b Cc c D0 0 解析：选 D.依题意，设a ab bmc c，b bc cna a，则有(a ab b)(b bc c)mc cna a，即a ac c
4、mc c na a.又a a与c c不共线，于是有m1，n1，a ab bc c，a ab bc c0 0. 6若|AB |8，|AC|5，则|BC|的取值范围是_ 解析：BC ACAB，当AB，AC同向时，|BC|853；当AB，AC反向时，|BC|8513； 当AB ，AC不共线时，3|BC|13.综上可知 3|BC|13. 答案：3，13 7 已知 ABCD的对角线AC和BD相交于O， 且OA a a， OB b b， 则DC_， BC _(用 a a，b b表示) 解析：如图，DC ABOBOAb ba a，BCOCOBOAOB a ab b. 答案：b ba a a ab b 8 (
5、2019豫西五校联考)若M是ABC的边BC上的一点， 且CM 3MB， 设AMABAC， 则的值为_ 解析：由题设知CM MB3，过 M作MNAC交AB于N，则MN AC BN BA BM BC 1 4，从而 AN AB 3 4，又AM AB ACANNM3 4AB 1 4AC ，所以 3 4. 3 答案：3 4 9.在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB 2GE，设AB a a，ACb b，试用 a a，b b表示AD ，AG. 解：AD 1 2(AB AC)1 2a a 1 2b b. AG ABBGAB2 3BE AB1 3(BA BC)2 3AB 1 3(
6、AC AB)1 3AB 1 3AC 1 3a a 1 3b b. 10设a a，b b是不共线的两个非零向量 (1)若OA 2a ab b，OB3a ab b，OCa a3b b，求证：A，B，C 三点共线； (2)若AB a ab b，BC2a a3b b，CD2a akb b，且 A，C，D三点共线，求k的值 解：(1)证明：由已知得， AB OBOA3a ab b2a ab ba a2b b，BCOCOBa a3b b3a ab b2a a4b b， 故BC 2AB， 又BC 与AB有公共点 B，所以A，B，C三点共线 (2)AC ABBC3a a2b b，CD2a akb b. 因为A
7、、C、D三点共线，所以AC CD，即 3a a2b b2a akb b， 所以 32， 2k，所以 3 2， k4 3. 综上，k的值为4 3. 1(2019广州市综合测试(一)设P是ABC所在平面内的一点，且CP 2PA，则PAB 与 PBC的面积的比值是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析：选 B.因为CP 2PA，所以|CP | |PA | 2 1，又PAB 在边PA上的高与PBC在边PC上的高相 4 等，所以S PAB SPBC |PA | |CP | 1 2. 2(2019福建省普通高中质量检查)已知D，E是ABC边BC的三等分点，点P在线段DE 上，若AP
8、xAByAC，则 xy的取值范围是( ) A. 1 9， 4 9 B. 1 9， 1 4 C. 2 9， 1 2 D. 2 9， 1 4 解析：选 D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数使PB BC 2 3 1 3 ，所 以AB AP(ACAB)，所以APAC(1)AB，则 y x1，所以 xy1 且1 3x 2 3，于是 xyx(1x) x1 2 2 1 4，所以当 x1 2时，xy 取得最大值1 4；当 x1 3或 x2 3 时，xy取得最小值2 9，所以 xy的取值范围为 2 9， 1 4 ，故选 D. 3给出下列四个命题： 若a ab b与a ab b是共线向量，则a a与b b
9、也是共线向量； 若|a a|b b|a ab b|，则a a与b b是共线向量； 若|a ab b|a a|b b|，则a a与b b是共线向量； 若|a a|b b|a a|b b|，则b b与任何向量都共线 其中为真命题的有_(填上序号) 解析：由向量的平行四边形法则知道，若a ab b与a ab b是共线向量，则必有a a与b b也是共线 向量所以是真命题；若|a a|b b|a ab b|，则a a与b b同向，或b b是零向量或a a，b b均为 零向量，所以a a与b b是共线向量，所以是真命题；若|a ab b|a a|b b|，则a a与b b方向相 反，或a a，b b中至少
10、有一个零向量，所以a a与b b是共线向量，所以是真命题；当a a是零向 量，b b是非零向量时，|a a|b b|a a|b b|成立，而b b不能与任何向量都共线，所以是 假命题 答案： 4在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2 3，BC2，点E在线段CD上，若 AE ADAB，则 的取值范围是_ 解析：由题意可求得AD1，CD 3， 所以AB 2DC. 因为点E在线段CD上， 5 所以DE DC(01) 因为AE ADDE， 又AE ADABAD2DCAD2 DE ， 所以2 1，即 2 .因为 01，所以 01 2. 答案： 0，1 2 5如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M
11、，N是EF上的两个三等分点，若AB a a，BCb b， AB 2DC. (1)用a a，b b表示AM ； (2)证明A，M，C三点共线 解：(1)AD ABBCCDa ab b 1 2a a 1 2a ab b， 又E为AD中点， 所以AE 1 2AD 1 4a a 1 2b b， 因为EF是梯形的中位线，且AB 2DC， 所以EF 1 2(AB DC)1 2 a a1 2a a 3 4a a， 又M，N是EF的三等分点，所以EM 1 3EF 1 4a a， 所以AM AEEM1 4a a 1 2b b 1 4a a 1 2a a 1 2b b. (2)证明：由(1)知MF 2 3EF 1
12、 2a a， 所以MC MFFC1 2a a 1 2b bAM ， 又MC 与AM有公共点 M，所以A，M，C三点共线 6已知O，A，B是不共线的三点，且OP mOAnOB(m，nR R)求证：A，P，B 三点共线的 6 充要条件是mn1. 证明：充分性：若mn1，则OP mOA(1m)OBOBm(OAOB)， 所以OP OBm(OAOB)， 即BP mBA， 所以BP 与BA共线 又因为BP 与BA有公共点 B，则A，P，B三点共线 必要性：若A，P，B三点共线，则存在实数，使BP BA， 所以OP OB(OAOB) 又OP mOAnOB. 故有mOA (n1)OBOAOB， 即(m)OA
13、(n1)OB0 0. 因为 O，A，B 不共线，所以OA ，OB不共线， 所以 m0， n10.所以 mn1. 所以 A，P，B 三点共线的充要条件是 mn1. 第第 2 2 讲讲 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 1设向量a a(x，1)，b b(4，x)，且a a，b b方向相反，则x的值是( ) A2 B2 C2 D0 解析：选 B.因为a a与b b方向相反，所以b bma a，m0，则有(4，x)m(x，1)，所以 4mx， xm， 解得m2.又m0，所以m2，xm2. 2已知A(1，4)，B(3，2)，向量BC (2，4)，D 为AC的中点，则BD ( ) A(
14、1，3) B(3，3) C(3，3) D(1，3) 解析：选 B.设C(x，y)，则BC (x3，y2)(2，4)，所以 x32， y24，解得 x1， y6 即 7 C(1，6)由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以BD (03，52)(3，3) 3在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且 AOC 4 ，且|OC|2，若OC OAOB，则 ( ) A2 2 B. 2 C2 D4 2 解析： 选 A.因为|OC|2， AOC 4 ， 所以C( 2， 2)， 又因为OC OAOB， 所以( 2， 2)(1，0)(0，1)(，)，所以 2，
15、2 2. 4已知非零不共线向量OA 、OB，若 2OPxOAyOB，且PAAB(R R)，则点 Q(x，y)的 轨迹方程是( ) Axy20 B2xy10 Cx2y20 D2xy20 解析：选 A.由PA AB，得OAOP(OBOA)， 即OP (1)OAOB. 又 2OP xOAyOB， 所以 x22， y2， 消去得xy20，故选 A. 5(2019江西吉安模拟)设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC 2BD， CE 2EA，AF2FB，则ADBECF与BC( ) A反向平行 B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直 解析： 选 A.由题意得AD ABBDAB1 3
16、BC ， BE BAAEBA1 3AC ， CF CBBFCB1 3BA ， 因此AD BECFCB1 3(BC ACBA)CB2 3BC 1 3BC ，故ADBECF与BC反向平行 6已知向量a a(1sin ，1)，b b 1 2，1sin ，若a ab b，则锐角_ 解析：因为a ab b，所以(1sin )(1sin )11 20，得 cos 21 2，所以 cos 2 2 ，又因为为锐角，所以 4 . 答案： 4 8 7(2019绵阳诊断)在ABC中，AN 1 2AC ，P 是BN上一点，若AP mAB3 8AC ，则实数 m 的值为_ 解析：因为B，P，N三点共线， 所以AP tA
17、B(1t)ANtAB1 2(1t)AC ， 又因为AP mAB3 8AC ， 所以 mt， 1 2（1t） 3 8， 解得mt1 4. 答案：1 4 8(2019福建四地六校联考)已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且OD 1 2(OA OB CB)，则|BD|_ 解析：由OD 1 2(OA OBCB)1 2(OA OC)，知点 D是线段AC的中点，故D(2，2)，所以BD (2，2)，故|BD | （2）2222 2. 答案：2 2 9已知A(1，1)，B(3，1)，C(a，b) (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式； (2)若AC 2AB，求点 C的坐标 解
18、：(1)由已知得AB (2，2)，AC(a1，b1)， 因为A，B，C三点共线，所以AB AC. 所以 2(b1)2(a1)0，即ab2. (2)因为AC 2AB， 所以(a1，b1)2(2，2) 所以 a14， b14，解得 a5， b3. 所以点C的坐标为(5，3) 10.如图， 以向量OA a a， OB b b 为邻边作OADB，BM 1 3BC ， CN 1 3CD ， 用a a，b b表示OM ，ON，MN. 9 解：因为BA OAOBa ab b， BM 1 6BA 1 6a a 1 6b b， 所以OM OBBM1 6a a 5 6b b. 因为OD a ab b， 所以ON
19、OC1 3CD 1 2OD 1 6OD 2 3OD 2 3a a 2 3b b，所以MN ONOM2 3a a 2 3b b 1 6a a 5 6b b 1 2a a 1 6b b. 综上，OM 1 6a a 5 6b b，ON 2 3a a 2 3b b，MN 1 2a a 1 6b b. 1.如图，在ABC中，AD 2 3AC ，BP1 3BD ，若APABAC，则 的值为( ) A.8 9 B.4 9 C.8 3 D.4 3 解析：选 A.因为AP ABBP，BP1 3BD ， 所以AP AB1 3BD ， 因为BD ADAB，AD2 3AC ， 所以BD 2 3AC AB， 所以AP
20、AB1 3BD AB 1 3 2 3AC AB 2 3AB 2 9AC ， 因为AP ABAC， 所以2 3， 2 9， 则2 3 2 9 8 9. 10 2已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA AB |AB | AC |AC | ，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 解析： 选 B.由OP OA AB |AB | AC |AC | ， 知OP OA AB |AB | AC |AC | ， 即AP AB |AB | AC |AC | ， 所以点P在BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过ABC的内心 3如图，在正方形
21、ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC AMBN，则 _ 解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设正方形的边长为 1，则AM 1，1 2 ，BN 1 2，1 ，AC (1，1)因为ACAMBN 1 2， 2 ，所以 1 21， 2 1， 解得 6 5， 2 5， 所以8 5. 法二：由AM AB1 2AD ，BN1 2AB AD，得ACAMBN 2 AB 2 AD ，又 AC ABAD，所以 2 1， 2 1， 解得 6 5， 2 5. 所以8 5. 答案：8 5 4(2019长沙市统一模拟考试)平行四边形ABCD中，AB3，AD2，BAD
22、120，P是 11 平行四边形ABCD内一点，且AP1，若AP xAByAD，则 3x2y 的最大值为_ 解析：|AP |2(xAByAD)29x24y22xy32 1 2 (3x2y) 23(3x)(2y)(3x 2y) 23 4(3x2y) 21 4(3x2y) 2.又|AP|21，因此1 4(3x2y) 21，故 3x2y2，当且仅当 3x2y，即x1 3，y 1 2时，3x2y 取得最大值 2. 答案：2 5若点M是ABC所在平面内一点，且满足AM 3 4AB 1 4AC . (1)求ABM与ABC的面积之比； (2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO xBMyBN，求 x，y
23、的值 解：(1)由AM 3 4AB 1 4AC ，可知 M，B，C三点共线 如图令BM BC得AMABBMABBCAB(ACAB)(1)ABAC， 所以1 4， 所以S ABM SABC 1 4，即面积之比为 14. (2)由BO xBMyBN得BOxBMy 2BA ， BO x 4BC yBN， 由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线 xy 21， x 4y1 x4 7， y6 7. 6如图，设Ox，Oy为平面内相交成 60角的两条数轴，e e1、e e2分别是x轴、y轴正方向同 向的单位向量，若向量OP xe e 1ye e2，则把有序实数对(x，y)叫做向量OP 在坐标系 xOy中的
24、坐标若OP 的坐标为(1，1) 12 (1)求|OP |； (2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使AOB的 面积最小，并求出最小值 解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N. |ON |1，|OM|NP|1，ONP120， 所以|OP | |ON |2|PN|22|ON|PN|cos 120 3. (2)设|OA |x，|OB|y. OP mOAnOB(mn1)， 则OP mOAnOBmxe e 1nye e2. 得 mx1， ny1 1 x 1 y1. SAOB1 2|OA |OB|sin 601 2xysin 60 3 4 xy.
25、 因为1 x 1 y1 2 xy， 所以xy2，SAOB 3 4 xy 3， 当且仅当xy2，即当A(2，0)，B(0，2)时，AOB面积最小，最小值为 3. 第第 3 3 讲讲 平面向量的数量积及应用举例平面向量的数量积及应用举例 13 1(2019洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a a，b b满足|a a|2，|b b|1，a a与b b的夹角 为2 3 ，且(a ab b)(2a ab b)，则实数的值为( ) A7 B3 C2 D3 解析：选 D.依题意得a ab b21cos 2 3 1，(a ab b)(2a ab b)0，即 2a a 2b b2 (21)a ab b0，390
26、，3. 2(2019山西四校联考)向量a a，b b满足|a ab b|2 3|a a|，且(a ab b)a a0，则a a，b b的夹 角的余弦值为( ) A0 B.1 3 C.1 2 D. 3 2 解析：选 B.(a ab b)a a0a a 2b ba a，|a ab b|2 3|a a|a a2b b22a ab b12a a2b b29a a2，所 以 cosa a，b b b ba a |b b|a a| a a 2 3|a a|a a| 1 3.故选 B. 3(2019洛阳市第一次统一考试)已知向量a a(1，0)，|b b| 2，a a与b b的夹角为 45， 若c ca a
27、b b，d da ab b，则c c在d d方向上的投影为( ) A. 5 5 B 5 5 C1 D1 解析：选 D.依题意得|a a|1，a ab b12cos 451，|d d|（a ab b） 2 a a 2b b22a ab b1，c cd da a2b b21，因此 c c在d d方向上的投影等于c cd d |d d| 1，选 D. 4在ABC中，()| 2，则ABC 的形状一定是( ) A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 解析：选 C.由()| 2，得()0，即()0， 所以 20，所以. 所以A90，又因为根据条件不能得到|.故选 C. 5(2019福建
28、漳州八校联考)在ABC中，| 3|，|3，则的值为( ) A3 B3 C9 2 D.9 2 解析：选 D.由| 3|两边平方可得， 2223(222)，即224 ，又| 14 |3，所以9 2，又因为，所以()() 299 2 9 2，故选 D. 6(2017高考全国卷)已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|2，|b b|1，则|a a2 b b| _ . 解析：易知|a a2b b| |a a| 24a a b b4|b b| 2 44211 242 3. 答案：2 3 7(2019江西七校联考)已知向量a a(1， 3)，b b(3，m)，且b b在a a上的投影为3， 则向量a
29、 a与b b的夹角为_ 解析：因为b b在a a上的投影为3， 所以|b b|cosa a，b b3，又|a a|1 2（ 3）22，所以 a ab b|a a|b b|cosa a，b b 6，又a ab b13 3m，所以 3 3m6，解得m3 3，则b b(3，3 3)，所 以|b b|3 2（3 3）26，所以 cosa a，b b a ab b |a a|b b| 6 26 1 2，因为 0a a，b b ，所以a a与b b的夹角为2 3. 答案：2 3 8(2017高考天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2.若2，(R R)， 且4，则的值为_ 解析：2 3 2 3() 1
30、3 2 3.又32 1 23，所以() 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 33 1 3 2 3 2 34 11 3 54，则 3 11. 答案： 3 11 9已知向量a a(2，1)，b b(1，x) (1)若a a(a ab b)，求|b b|的值； (2)若a a2b b(4，7)，求向量a a与b b夹角的大小 解：(1)由题意得a ab b(3，1x) 由a a(a ab b)，可得 61x0， 解得x7，即b b(1，7)， 所以|b b| 505 2. 15 (2)a a2b b(4，2x1)(4，7)， 故x3， 所以b b(1，3)， 所以 cosa a，b b a ab
31、 b |a a|b b| （2，1）（1，3） 5 10 2 2 ， 因为a a，b b0， 所以a a与b b夹角是 4 . 10已知|a a|4，|b b|3，(2a2a3b b)(2a ab b)61. (1)求a a与b b的夹角； (2)求|a ab b|； (3)若a a，b b，求ABC的面积 解：(1)因为(2a a3b b)(2a ab b)61， 所以 4|a a| 24a ab b3|b b|261. 又|a a|4，|b b|3，所以 644a ab b2761， 所以a ab b6.所以 cos a ab b |a a|b b| 6 43 1 2. 又因为 0，所以2
32、 3 . (2)|a ab b| 2(a ab b)2|a a|22a ab b|b b|2 4 22(6)3213，所以|a ab b| 13. (3)因为与的夹角2 3 ， 所以ABC2 3 3 . 又|a a|4，|b b|3， 所以SABC1 2|sin ABC 1 243 3 2 3 3. 1已知点G为ABC的重心，A120， 2，则|的最小值是( ) A. 3 3 B. 2 2 C.2 3 D.3 4 解析：选 C.设BC的中点为M，则2 3. 16 又M为BC中点， 所以1 2()， 所以2 3 1 3()， 所以|1 3 . 又因为2，A120， 所以|4. 所以|1 3 1
33、3 2 3， 当且仅当|时取“” ， 所以|的最小值为2 3，故选 C. 2(2019广东七校联考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N为AC边上 的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足| 2，则的取值范围为( ) A. 3 2，2 B. 3 2，2 C. 3 2，2 D. 3 2， 解析：选 C.不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为xy20(0 x2)设M(a，2a)， N(a1，1a)(由题意可知 0a1)，所以(a，2a)，(a1，1
34、a)，所以a(a 1)(2a)(1a)2a 22a22 a1 2 23 2， 因为 0a1， 所以由二次函数的知识可得 3 2，2 . 3设非零向量a a与b b的夹角是5 6 ，且|a a|a ab b|，则|2a atb b| |b b| 的最小值是_ 17 解析：因为非零向量a a与b b的夹角是5 6 ， 且|a a|a ab b|， 所以|a a| 2|a ab b|2 |a a| 2|b b2|2|a a|b b|cos 5 6 ， 所以|b b| 2 3|a a|b b|0，所以|b b| 3|a a|，所以 |2a atb b| |b b| 2 4|a a| 2t2|b b|2
35、4ta ab b |b b| 2 4|a a| 2t23|a a|26t|a a|2 3|a a| 2t 22t4 3(t1) 21 3， 所以当t1 时，|2a atb b| |b b| 取最小值 1 3 3 3 . 答案： 3 3 4(2019昆明质检)定义一种向量运算“” ：a ab b a ab b，当a a，b b不共线时， |a ab b|，当a a，b b共线时 (a a，b b是任 意的两个向量) 对于同一平面内的向量a a，b b，c c，e e，给出下列结论： a ab bb ba a； (a ab b)(a a)b b(R R)； (a ab b)c ca ac cb b
36、c c； 若e e是单位向量，则|a|ae e|a a|1. 以上结论一定正确的是_(填上所有正确结论的序号) 解析：当a a，b b共线时，a ab b|a ab b|b ba a|b ba a，当a a，b b不共线时，a ab ba ab bb ba a b ba a，故是正确的；当0，b b0 0 时，(a ab b)0，(a a)b b|0 0b b|0，故是错 误的；当a ab b与c c共线时，则存在a a，b b与c c不共线，(a ab b)c c|a ab bc c|，a ac cb bc c a ac cb bc c，显然|a ab bc c|a ac cb bc c，故
37、是错误的；当e e与a a不共线时，|a ae e| |a ae|e|a|a|e|e|a a|1，当e e与a a共线时，设a aue e，uR R，|a ae e|a ae e|ue ee e| |u1|u|1，故是正确的综上，结论一定正确的是. 答案： 5(2019安康模拟)已知ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)、B(4，1)、C(6，9) (1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标； (2)若点E在x轴上，使BCE为钝角三角形，且BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围 解：(1)设D(x，y)，则(x，y2)， (x4，y1)， 18 由题意知ADBC，则0， 即10 x8(y2)0，即
38、 5x4y80， 由，得 8(x4)10(y1)， 即 4x5y210， 联立解得x44 41，y 137 41 ， 则 44 41， 55 41 . (2)设E(a，0)，则(4a，1)，(6a，9)， 由BEC为钝角，得(4a)(6a)90，解得5a3， 由与不能共线，得 9(4a)6a，解得a21 4 . 故点E的横坐标的取值范围为(5，3) 6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)， |1，且AOC，其中O为坐标原点 (1)若3 4，设点 D为线段OA上的动点，求|的最小值； (2)若 0， 2 ，向量m m，n n(1cos ，sin 2cos )，求m
39、mn n的最小值及对 应的值 解：(1)设D(t，0)(0t1)， 由题意知C 2 2 ， 2 2 ， 所以 2 2 t， 2 2 ， 所以| 21 2 2tt 21 2 t 2 2t1 t 2 2 2 1 2， 所以当t 2 2 时，|最小，为 2 2 . (2)由题意得C(cos ，sin )，m m(cos 1，sin )， 则m mn n1cos 2sin22sin cos 1cos 2sin 21 2sin 2 4 ， 因为 0， 2 ， 19 所以 4 2 4 5 4 ， 所以当 2 4 2 ，即 8 时，sin 2 4 取得最大值 1. 所以m mn n的最小值为 1 2，此时 8 .