1、2021 年河南省许昌市中考数学二模试卷年河南省许昌市中考数学二模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 13 的绝对值是（ ） A B3 C D3 2某班数学老师结合中国共产党建党一百周年，在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，下 图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“党”字所在面对面上的汉字是（ ） A礼 B年 C百 D赞 3如图，直线 a 与 b 相交，1+2240，3（ ） A40 B50 C60 D70 4某社区为了解该社区居民年龄结构，从社区住户中随机抽取了 80 名居民的信息进行调查，将抽取年龄
2、按“老“、“中”、“青”、幼”划分为四个等级，统计数据分别为 20 人、20 人、28 人、12 人若该 社区共有 3000 人，则估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为（ ）人 A1500 B1600 C1700 D1800 5已知 a22a1，则 3a26a4 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 6北京时间 4 月 22 日 20 时 40 分，天空迎来“天琴座流星雨”，每小时有一二十颗流星划过天空，让人 叹为观止已知地球的质量约为 61021吨，而在 46 亿年的时间内大约有 20 万吨的流星体下落，那么地 球的质量大约是这些流星体的（ ）倍 A31014 B31015 C31016
3、 D31017 7在O 中，直径 AB10，弦 DEAB 于点 C，若 OC：OA4：5，则ODE 的周长为（ ） A13 B14 C15 D16 8如图，把一块长为 50cm宽为 40cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿 虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为 400cm2，设剪去小正方形 的边长为 xcm则可列方程为（ ） A（40 x）（502x）400 B（402x）（502x）400 C（40 x）（50 x）400 D（402x）（50 x）400 9在平面直角坐标系内，点 A（2，3），B（1，4），C（2，a）分别在三个
4、不同的象限，若反比例函数 y（k0）的图象经过其中两点，则 a 的值为（ ） A3 B2 C2 D3 10 如图， 在平面直角坐标系中， RtABO 的顶点 B 在 x 轴的正半轴上， ABO90， 点 A 的坐标为 （1， ），将ABO 绕点 O 逆时针旋转，使点 B 的对应点 B落在边 OA 上，则 A的坐标为（ ） A（1，） B（，1） C（，1） D（1， ） 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11（） 1 12将直线 y2x 向下平移 2 个单位长度，平移后的直线解析式为 13某校计划以班级为单位开展“数学趣味赛“，七
5、（1）班准备从小铭、小宇两名男生和小琪、小叶、小 萱 三 名 女 生 中 各 随 机 选 出 一 名 男 生 和 一 名 女 生 参 加 比 赛 ， 则 小 宇 和 小 萱 被 选 中 的 概 率 为 14如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是边 BC 的中点，点 F 是边 CD 上一点，连接 AF，若FAE BAE，则线段 CF 的长度为 15如图，在扇形 AOB 中，AOB90，OA2，点 P 是弧 AB 上一动点，连接 OP，点 C 是 OP 的中点， 连接 AC 并延长，交 OB 于点 D，则图中阴影部分面积的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分
6、75 分）分） 16（1）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 ； （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （）原不等式组的解集为 （2）解方程：1 17近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机月收 入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的 10 名司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 甲公司 a 6 c 1.2 乙公司 6 b 4 7.6 （1）填空：a ；b ；c ； （2）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明
7、，你建议他选哪家公司？请说 明理由 18如图，在ABC 中，BAC90 （1）尺规作图：作出经过 A，B，C 三点的O （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 AO 并延长，交O 于点 D，连接 DB，DC 求证：BDCCAB； 将CAD 沿 AD 折叠，点 C 的对应点为 C，当ABC 时，四边形 ABCO 为菱形 19大鸿寨风景区位于禹州市鹏山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅游 区之一，某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量如图，他们先在 山脚 A 处测得山顶 B 的仰角BAD 为 45，然后沿着倾斜角为 25的斜坡向上走了 350
8、米达到点 C， 在点 C 处测得山顶 B 的仰角BCE 为 50，求大鸿寨主峰卧佛山的高度 BD （结果精确到 1 米， 参考数据： sin250.4， cos250.9， tan250.5， sin500.8， cos500.6， tan501.2） 20某中学组织师生共 60 人，从 A 市乘高铁前往 B 市参加学习交流活动，高铁票价格如图所示：（教师按 成人票价购买，学生按学生票价购买） 运行区间 一等座 二等座 出发站 终点站 成人票价 （元/张） 成人票价（元/张） 学生票价（元/张） A 市高铁站 B 市高铁站 132 80 60 若师生均购买二等座票，则共需 3800 元 （1）
9、求参加活动的教师和学生各有多少人？ （2）由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票， 而后续前往的教师和学生均购买二等座票设提早前往的教师有 x 人，购买一、二等座票全部费用为 w 元 求 w 关于 x 的函数关系式； 若购买一、二等座票全部费用不多于 4000 元，则提早前往的教师最多只能多少人？ 21在同一平面内，如果仅原点重合的两条数轴不垂直，我们将这样的坐标系称为斜坐标系如图 1，若点 P 是斜坐标系 xOy 中任意一点， 过点 P 分别作两坐标轴的平行线， 与 x 轴， y 轴交于点 M， N， 如果点 M， N 对应的实数为 a，b，则点
10、 P 的坐标为（a，b） （1）如图 1，点 E 在斜坐标系 xOy 中的坐标为 A（4，2） B（4，2） C（3，2） D（3，2） （2）如图 2，在斜坐标系 xOy 中，直线 l 与 x 轴，y 轴交于点 A（3，0），B（0，4） 若点 Q（x，y）是直线 l 上一点，请写出 y 关于 x 的关系式，并就点 Q 在 BA 延长线上时的情况进行证 明； 若 x 轴与 y 轴的夹角BOA60，经过原点 O 的直线 m 交直线 l 于点 F，当FOA30时，请直 接写出点 F 的坐标 22小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所 有的反比例函
11、数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数 图象上也存在不同的两点关于原点对称 （1）下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 ； y2x；yx3；y2x；y2x+3 （2）已知二次函数 yax2+bx4a（a0）的图象上存在不同的两点 A（m，m）与 B 关于原点对称， 其中 m0 求 m 及 b 的值； 点 C 是该二次函数图象上点 A， B 之间的一个动点 （含端点 A， B） ， 若点 C 的纵坐标 t 最小值为5a， 求此二次函数解析式 23 三角形的布洛卡点 （ Brocardpoint） 是法国数学家和数学教育家克洛尔 （A
12、 LCrelle17801855） 于 1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意1875 年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡 （ Brocard18451922）重新发现，并用他的名字命名如图 1，若ABC 内一点 P 满足PABPBC PCA，则点 P 是ABC 的布洛卡点， 是布洛卡角 （1）如图 2，点 P 为等边三角形 ABC 的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 ；PA、PB、PC 的数 量关系是 ； （2）如图 3，点 P 为等腰直角三角形 ABC（其中BAC90）的布洛卡点，且123 请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； 若ABC 的面积为，求PBC 的面积 参
13、考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 13 的绝对值是（ ） A B3 C D3 【分析】利用绝对值的定义求解即可 解：3 的绝对值是 3 故选：D 2某班数学老师结合中国共产党建党一百周年，在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，下 图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“党”字所在面对面上的汉字是（ ） A礼 B年 C百 D赞 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “礼”与“赞”是相对面， “建”与“百
14、”是相对面， “党”与“年”是相对面； 故选：B 3如图，直线 a 与 b 相交，1+2240，3（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】根据对顶角相等可得1 的度数，再利用邻补角互补可得答案 解：12，1+2240， 12120， 318012060 故选：C 4某社区为了解该社区居民年龄结构，从社区住户中随机抽取了 80 名居民的信息进行调查，将抽取年龄 按“老“、“中”、“青”、幼”划分为四个等级，统计数据分别为 20 人、20 人、28 人、12 人若该 社区共有 3000 人，则估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为（ ）人 A1500 B1600 C1700 D1800
15、【分析】用“中”和“青“的总人数所占的百分比乘以该社区的总人数即可 解：30001800（人）， 答：估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为 1800 人 故选：D 5已知 a22a1，则 3a26a4 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】先变形得出 3a26a43（a22a）4，再代入求出答案即可 解：a22a1， 3a26a4 3（a22a）4 314 1， 故选：A 6北京时间 4 月 22 日 20 时 40 分，天空迎来“天琴座流星雨”，每小时有一二十颗流星划过天空，让人 叹为观止已知地球的质量约为 61021吨，而在 46 亿年的时间内大约有 20 万吨的流星体下落，那
16、么地 球的质量大约是这些流星体的（ ）倍 A31014 B31015 C31016 D31017 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数据此解答即可 解：61021（2105）31016， 故选：C 7在O 中，直径 AB10，弦 DEAB 于点 C，若 OC：OA4：5，则ODE 的周长为（ ） A13 B14 C15 D16 【分析】根据勾股定理求出 DC，根据垂径定理求出 DE，根据
17、三角形的周长公式计算，得到答案 解：AB10， OA5， OC：OA4：5， OC4， 在 RtOCD 中，DC3， DEAB， DE2DC6， ODE 的周长OD+OE+DE5+5+616， 故选：D 8如图，把一块长为 50cm宽为 40cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿 虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为 400cm2，设剪去小正方形 的边长为 xcm则可列方程为（ ） A（40 x）（502x）400 B（402x）（502x）400 C（40 x）（50 x）400 D（402x）（50 x）400 【分析】设剪去小正方
18、形的边长为 xcm，则纸盒的底面为长（502x）cm，宽为（402x）cm 的长方形， 根据纸盒的底面积为 400cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 解：设剪去小正方形的边长为 xcm，则纸盒的底面为长（502x）cm，宽为（402x）cm 的长方形， 依题意，得：（502x）（402x）400 故选：B 9在平面直角坐标系内，点 A（2，3），B（1，4），C（2，a）分别在三个不同的象限，若反比例函数 y（k0）的图象经过其中两点，则 a 的值为（ ） A3 B2 C2 D3 【分析】根据已知条件得到点 B（1，4）在第二象限，求得点 C（2，a）一定在第四象限，由于反比
19、例函数 y （k0） 的图象经过其中两点， 于是得到反比例函数 y （k0） 的图象经过 B （1， 4） ， C（2，a），于是得到结论 解：A（2，3），B（1，4），C（2，a）分别在三个不同的象限，点 A（2，3）在第一象限，点 B （1，4）在第二象限， 点 C（2，a）一定在第四象限， 反比例函数 y（k0）的图象经过其中两点， 反比例函数 y（k0）的图象经过 B（1，4），C（2，a）， k142a， a2， 故选：B 10 如图， 在平面直角坐标系中， RtABO 的顶点 B 在 x 轴的正半轴上， ABO90， 点 A 的坐标为 （1， ），将ABO 绕点 O 逆时针旋转，
20、使点 B 的对应点 B落在边 OA 上，则 A的坐标为（ ） A（1，） B（，1） C（，1） D（1， ） 【分析】证明 A，A关于 y 轴对称，可得结论 解：设 AB交 y 轴于点 F A（1，），ABO90， OB1，AB， tanAOB， AOB60， 由旋转的性质可知，AOBAOA60， FOB90， AOFAOF30， A，A关于 y 轴对称， A（1，）， 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11（） 1 1 【分析】先化简算术平方根，负整数指数幂，然后再计算 解：原式23 1， 故答案为：1 12将直线
21、y2x 向下平移 2 个单位长度，平移后的直线解析式为 y2x2 【分析】根据一次函数图象平移规律“上加下减”原则写出平移后的函数解析式 解：将直线 y2x 向下平移 2 个单位长度，平移后的直线解析式为 y2x2， 故答案为：y2x2 13某校计划以班级为单位开展“数学趣味赛“，七（1）班准备从小铭、小宇两名男生和小琪、小叶、小 萱三名女生中各随机选出一名男生和一名女生参加比赛，则小宇和小萱被选中的概率为 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出小宇和小萱的情况数， 再利用概率公式求解即可求得答案 解：画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，选出一男一女的有
22、2 种情况， 小宇和小萱被选中的概率为 故答案为： 14如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是边 BC 的中点，点 F 是边 CD 上一点，连接 AF，若FAE BAE，则线段 CF 的长度为 【分析】过点 E 作 EGAF 于点 G，连接 EF，利用角平分线的性质定理可得 EBEG；通过证明得到 EGFECF，可得 GFCF，设 CFx，在 RtADF 中，利用勾股定理列出方程即可求解 解：过点 E 作 EGAF 于点 G，连接 EF，如图， FAEBAE，ABBE，EGAF， EBEG 四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDDA2，CD90 点 E 是边 BC 的中点， BE
23、EC1， EGBE1 EGEC 在 RtEGF 和 RtECF 中， ， RtEGFRtECF（HL） FGFC 同理 RtABERtAGE（HL）， AGAB2 设 CFx，则 AFAG+FG2+x，DFDCCF2x 在 RtADF 中， AD2+DF2AF2， 22+（2x）2（x+2）2 解得：x CF 故答案为： 15如图，在扇形 AOB 中，AOB90，OA2，点 P 是弧 AB 上一动点，连接 OP，点 C 是 OP 的中点， 连接 AC 并延长，交 OB 于点 D，则图中阴影部分面积的最小值为 【分析】根据 S阴S扇形AOBSOBD OAODOD，推出当 OD 的值最大时，阴影
24、部分的面积最小，求出 OD 的最大值即可 解：如图，S阴S扇形AOBSOBD OAODOD， 当 OD 的值最大时，阴影部分的面积最小， OCOP1， 当 OCAD 时，OD 的值最大， 此时OA2OD，OCA90， OAD30， ODOA， 阴影部分的面积的最小值为： 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16（1）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 x2 ； （）解不等式，得 x3 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （）原不等式组的解集为 2x3 （2）解方程：1 【分析】（）（）先解一元一次不等式求出解集
25、； （）画数轴注意是实心点，是空心点； （）根据数轴求出解集； （2）解分式方程，先去分母、移项，合并同类项、把 x 系数化为 1，最后一定检验 解：（）解不等式，得 x2； （）解不等式，得 x3； （） （）原不等式组的解集为2x3； 故答案为：（）x2；（）x3；（）2x3； （2）原分式方程可化为：1， 2x+23， 解得，x7， 检验：把 x7 代入 x20， 原方程解是 x7 17近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机月收 入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的 10 名司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下：
26、 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 甲公司 a 6 c 1.2 乙公司 6 b 4 7.6 （1）填空：a 6 ；b 4.5 ；c 6 ； （2）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说 明理由 【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案； （2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可 解：（1）“6 千元”对应的百分比为 1（10%+20%+10%+20%）40%， a410%+520%+640%+720%+810%6，c6， b4.5， 故答案为：6、4.5、6； （2）选美团，理由如下：
27、因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定 18如图，在ABC 中，BAC90 （1）尺规作图：作出经过 A，B，C 三点的O （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 AO 并延长，交O 于点 D，连接 DB，DC 求证：BDCCAB； 将CAD 沿 AD 折叠，点 C 的对应点为 C，当ABC 60 时，四边形 ABCO 为菱形 【分析】（1）作 BC 的垂直平分线交 BC 于点 O，以 O 为圆心，以 OB 为半径作O，即可得到结果； （2）利用 OAOD，OBOC，得出四边形 ABDC 为平行四边形，得到 ABCD，BDAC，再利用 “SSS”即可证明BDCCAB；
28、利用四边形 ABCO 为菱形，证明OAB 为等边三角形，即可求出ABC 的度数 【解答】（1）解：如图，作 BC 的垂直平分线交 BC 于点 O，以 O 为圆心，以 OB 为半径作O，O 就是所求作的圆； （2）证明：如图， OAOD，OBOC， 四边形 ABDC 为平行四边形， ABCD，BDAC， 在BDC 和CAB 中， ， BDCCAB（SSS）； 解：如图， 当四边形 ABCO 为菱形时，ABAO， OAOB， OAOBAB， OAB 为等边三角形， ABO60，即ABC60， 故答案为：60 19大鸿寨风景区位于禹州市鹏山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅
29、游 区之一，某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量如图，他们先在 山脚 A 处测得山顶 B 的仰角BAD 为 45，然后沿着倾斜角为 25的斜坡向上走了 350 米达到点 C， 在点 C 处测得山顶 B 的仰角BCE 为 50，求大鸿寨主峰卧佛山的高度 BD （结果精确到 1 米， 参考数据： sin250.4， cos250.9， tan250.5， sin500.8， cos500.6， tan501.2） 【分析】作 CFAD 于 F，解直角三角形 ACF 求得 CF140（米），AF315（米），根据等腰直角三 角形的性质，设 ADx，BDADx，即可得到
30、CEDFx315，BEx140，利用三角函数，求得 答案 解：作 CFAD 于 F， CAF25，AC350 米， CFsin25AC0.4350140（米），AFcos25AC0.9350315（米）， 设 ADx， BAD 为 45，BDAD， BDADx， CEDFx315，BEx140， BCE50，BDCE， tan50，即 1.2， 解得 x1190（米）， 大鸿寨主峰卧佛山的高度 BD 为 1190 米 20某中学组织师生共 60 人，从 A 市乘高铁前往 B 市参加学习交流活动，高铁票价格如图所示：（教师按 成人票价购买，学生按学生票价购买） 运行区间 一等座 二等座 出发站
31、终点站 成人票价 （元/张） 成人票价（元/张） 学生票价（元/张） A 市高铁站 B 市高铁站 132 80 60 若师生均购买二等座票，则共需 3800 元 （1）求参加活动的教师和学生各有多少人？ （2）由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票， 而后续前往的教师和学生均购买二等座票设提早前往的教师有 x 人，购买一、二等座票全部费用为 w 元 求 w 关于 x 的函数关系式； 若购买一、二等座票全部费用不多于 4000 元，则提早前往的教师最多只能多少人？ 【分析】（1）设参加活动的教师有 a 人，学生有 b 人，根据等量关系：师生共 60
32、人；若师生均购买二 等座票，则共需 3800 元；列出方程组，求出方程组的解即可； （2）根据购买一、二等座票全部费用购买一等座票钱数+教师购买二等座票钱数+学生购买二等座 票钱数，依此可得解析式； 根据不等关系：购买一、二等座票全部费用不多于 4000 元，列出不等式求解即可 解：（1）设参加活动的教师有 a 人，学生有 b 人，依题意有： ， 解得， 答：参加活动的教师有 10 人，学生有 50 人； （2）依题意有：y132x+80（10 x）+605052x+3800 故 y 关于 x 的函数关系式是 y52x+3800（0 x10）； 依题意有： 52x+38004000， 解得：x
33、 x 为整数， 提早前往的教师最多 2 人 21在同一平面内，如果仅原点重合的两条数轴不垂直，我们将这样的坐标系称为斜坐标系如图 1，若点 P 是斜坐标系 xOy 中任意一点， 过点 P 分别作两坐标轴的平行线， 与 x 轴， y 轴交于点 M， N， 如果点 M， N 对应的实数为 a，b，则点 P 的坐标为（a，b） （1）如图 1，点 E 在斜坐标系 xOy 中的坐标为 A A（4，2） B（4，2） C（3，2） D（3，2） （2）如图 2，在斜坐标系 xOy 中，直线 l 与 x 轴，y 轴交于点 A（3，0），B（0，4） 若点 Q（x，y）是直线 l 上一点，请写出 y 关于
34、x 的关系式，并就点 Q 在 BA 延长线上时的情况进行证 明； 若 x 轴与 y 轴的夹角BOA60，经过原点 O 的直线 m 交直线 l 于点 F，当FOA30时，请直 接写出点 F 的坐标 【分析】（1）根据斜坐标系中，坐标的定义判断即可 （2）过点 Q 分别作两坐标轴的平行线，与 x 轴、y 轴交于点 N、M，根据1，构建关系式， 可得结论 分两种情形确定直线 OF 的解析式，构建方程组，确定交点坐标即可 解：（1）观察图象可知 E（4，2）， 故选 A （2）y 关于 x 的关系式：yx+4 理由：过点 Q 分别作两坐标轴的平行线，与 x 轴、y 轴交于点 N、M， Q（x，y），A
35、（3，0），B（0，4） MQx，NQy，OB4，OA3， QNOB， ， ， OAMQ， ， ， 1， （）1， yx+4 BOA60，FOA30， 当点 F 在第一象限时，直线 OF 的解析式为 yx， 由，解得， F（，） 当点 F 在第四象限时，直线 OF 的解析式 yx， 由，解得， F（，） 综上所述，满足条件的点 F 的坐标为（，）或（，） 22小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所 有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数 图象上也存在不同的两点关于原点对称 （1）下列给出的一次
36、函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 ； y2x；yx3；y2x；y2x+3 （2）已知二次函数 yax2+bx4a（a0）的图象上存在不同的两点 A（m，m）与 B 关于原点对称， 其中 m0 求 m 及 b 的值； 点 C 是该二次函数图象上点 A， B 之间的一个动点 （含端点 A， B） ， 若点 C 的纵坐标 t 最小值为5a， 求此二次函数解析式 【分析】（1）根据一次函数性质，关于原点对称，即属于正比例函数，据此判断即可； （2）二次函数图像上点 A（m，m）关于原点对称的点 B 为（m，m），将桌 A 点 B 代入二次函数 yax2+bx4a（a0）中计算即可求得 m
37、 及 b 的值； 将中结论代入得，yax2x4a，化为二次函数顶点式，据此分析最小值即可求得 a 的值，从而求 出二次函数解析式 解：（1）根据题意，一次函数关于原点对称必经过原点， 故答案为：； （2）二次函数图像上点 A（m，m）关于原点对称的点 B 为（m，m）， 把点 A（mm）代入二次函数解析式得：am2+bm4am（）， 把点 B（m，m）代入二次函数解析式得：am2bm4am （）， （）式（）得：2bm2m， m0， b1， 把 b1 代入（）得，am24a0， a0，m0， m2； 由知二次函数解析式为：yax2x4a， 二次函数图象对称轴为 x（a0）， 当 02 时，因为
38、 a0， 所以 t 的最小值为5a， 解得 a，此时二次函数解析式为 yx2x2； 当2 时，因为 a0， 所以 A 点的纵坐标即为 t 的最小值， 即5a2，解得 a（不合题意，舍去） 综上所述，二次函数解析式为 yx2x2 23 三角形的布洛卡点 （ Brocardpoint） 是法国数学家和数学教育家克洛尔 （A LCrelle17801855） 于 1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意1875 年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡 （ Brocard18451922）重新发现，并用他的名字命名如图 1，若ABC 内一点 P 满足PABPBC PCA，则点 P 是A
39、BC 的布洛卡点， 是布洛卡角 （1）如图 2，点 P 为等边三角形 ABC 的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 30 ；PA、PB、PC 的数 量关系是 PAPBPC ； （2）如图 3，点 P 为等腰直角三角形 ABC（其中BAC90）的布洛卡点，且123 请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； 若ABC 的面积为，求PBC 的面积 【分析】（1）证明ACPBAP，推出 CPAP，同法可证 CPBP，推出 PAPBPC，从而PAB PBAPBCPCBPCAPAC30，即可解决问题； （2） 由ABC 是等腰直角三角形， 23， 即可得ABPBCP， 而12， 故ABPBCP； 过 A 作 A
40、HBP 交 BP 的延长线于 H，设 APm，由APH1+ABP2+ABP45，知 APH 是等腰直角三角形，即得 AHAPm，而，即可得 BPm，CP 2m， SBCP2SABP， 故 SAPCAPCPm2mm2， SABPBPAHmmm2， SBCP2SABPm2，可得m2，即可求出 SPBCm21 解：（1）如图： ABC 是等边三角形， ABBCAC，CABABCACB60， PABPBCPCA， PACPBAPCB， ACPBAP（ASA）， CPAP， 同法可证 CPBP， PAPBPC， PABPBAPBCPCBPCAPAC30， 故答案为：30，PAPBPC； （2）ABPBC
41、P，证明如下： 如图： ABC 是等腰直角三角形， CACB，ACB90， ABCACB45， 23， ABC2ACB3，即ABPBCP， 12， ABPBCP； 过 A 作 AHBP 交 BP 的延长线于 H，如图： 设 APm APH1+ABP2+ABP45， 而 AHBP， APH 是等腰直角三角形， AHAPm， 由知：ABPBCP， ，即，（）2（）2， BPm，CP2m，SBCP2SABP， SAPC APCPm2mm2， SABPBPAHmmm2， SBCP2SABPm2， SABCSAPC+SABP+SBCPm2+ m2+m2m2， ABC 的面积为， m2， 解得 m1 或 m1（舍去）， SPBCm21