1、2021 年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 122 的绝对值等于（ ） A22 B C D22 2如图所示的是一个由 5 块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的左视图是（ ） A B C D 3甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好是 9.4 环，方差分别是 S甲 20.90， S乙 21.22，S 丙 20.45，S 丁 21.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4如图，12356，则4 的度数是（ ） A56 B114 C124 D1
2、46 5数学家斐波那契编写的算经中有如下问题，一组人平分 10 元钱，每人分得若干，若再加上 6 人， 平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为 x 人，则 可列方程为（ ） A10 x40（x+6） B C D10（x+6）40 x 6如图，ABC 与DEF 是以 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积比 为（ ） A4：9 B3：5 C4：7 D2：3 7如图的三角形纸片中，AB8，BC6，AC5，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上 的点 E 处，折痕为 BD，则AED 的周长是（ ）
3、 A7 B8 C11 D14 8如图，直线 OA 的解析式为 yx，点 P1坐标为（1，0），过 P1作 PQ1x 轴交 OA 于 Q1，过 Q1作 P2Q1 OA 交 x 轴于 P2，过 P2作 P2Q2x 轴交 OA 于 Q2，过 Q2作 P3Q2OA 交 x 轴于 P3，按此规律进行 下去，则 P100的坐标为（ ） A（21001，0） B（5050，0） C（299，0） D（100，0） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9因式分解：ab34ab2+4ab 10如图，将ABC 就点 C 按逆时针方向旋转 75后得到ABC，若ACB25，则BCA
4、的度数 为 11二次函数 yx22x+m 图象上的最低点的横坐标为 12如图，在平面直角坐标系中，直线 yx 和 yx+b 相交于点 A（1，m），则不等式xx+b 的解集为 13如图，在等边三角形 ABC 中，EFBC，连接 BF、CE 交于 G，若 CF2AF2，BCG 的面积 为 14如图，在 RtACB 中，ACB90，A30，CB2，BD 平分ABC，点 P 为线段 BD 上一 动点， 以 P 为圆心， 以 1 为半径长作圆， 当P 与ACB 的边相切时， 则 BP 长为 15如图，点 A、B 在反比例函数 y的图象上，直线 AB 经过原点，点 C 在 y 轴正半轴上，且 ABBC，
5、 SBAC12，ACO45，则 k 的值为 16如图，ADBC，垂足为 C，BFBC，点 P 为线段 BC 上一动点，连接 AP，过 D 作 DEAP 交 BF 于 E，连接 PE，若 ACBC4，CD1，则 PE 长的最小值为 三、解答题（每题三、解答题（每题 8 分，共分，共 16 分）分） 17先化简，再求值：（+），其中 m1 18如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 DC 延长线、BC 延长线上两点，AE、AF 分别与 BC、CD 交 于 G，H 两点，若EF，求证：ABGADH 四、解答题（每题四、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 19近几年购物的支付方式
6、日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有： A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查 统计，得到两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了 名购买者； （2）补全条形统计图； （3）若该超市这一周内有 1000 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名？ 20在 2021 年电影春节档，多部电影都有不俗的票房表现；甲、乙两名同学在春节假期分别从刺杀小说 家、唐人街探案 3、你好，李焕英三部电影中任意选择一部观看 （1）甲选择电影唐人街探案 3观看的
7、概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两人选择不同的电影观看的概率 五、解答题（每题五、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 21胜利广场中心的雕像盛世是鞍山市的地标建筑，小睿同学利用无人机测量雕像的高度如图中， AB 为雕像盛世，无人机悬停在点 C 处测量得到雕像顶部点 A 处俯角ECA 为 38，雕像底部点 B 处俯角ECB 为 72.9， 无人机的悬停高度 CD 为 39 米， 求雕像 盛世 AB 的高度 （参考数据： sin38 0.62，cos380.79，tan380.78，sin72.90.96，cos72.90.29，tan72.93.25，结果精确 到
8、 1 米） 22如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象交于 A、B 两点，与 x 轴交于点 E，已知 点 A 坐标为（2，4），点 B 横坐标为 4 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点 P 为线段 OE 上一点，且 SPAB2，求 P 点坐标 六、解答题（每题六、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 23如图，在O 中，AB 为O 直径，直线 MN（在直径 AB 上方）交O 于 C、D 两点，且 MNAB，连 接 CB，DB；点 P 为直径 AB 下方O 上一点，连接 DP，BP （1）求证：BDC+BCN90； （2）若 tanP，O 半径为
9、5，求 CD 的长 242021 年春节期间，我市某烟花经销商销售某款烟花，该款烟花进价为 90 元/件，售价为 120 元/件，投 放市场之后出现供不应求的情况，平均每天可以售出 100 件；该经销商决定涨价销售，售价每上涨 1 元/ 件，则平均每天少售出 2 件；若设上涨 x 元/件，每天销售利润为 y 元； （1）当售价上涨多少元/件时，每天销售利润最大，最大利润为多少元？ （2）该经销商按原价销售烟花 6 天之后开始按照（1）中的价格进行涨价销售，该款烟花库存量为 1000 件，春节期间只能销售烟花 22 天；该经销商决定从其他同行处购进一批同款烟花满足市场需求，若 6 天之后每天销售
10、情况相同，且该经销商销售这款烟花共获利润 38400 元，求该经销商从同行购进烟花的 价格为多少元/件 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 25如图，在ABC 中，ABAC，ADBC，垂足为 D；点 E 为线段 AD 上一点，且 BDDE，延长 BE 交 AC 边于 F，过 F 作 FGAB 分别交 AB、BC 延长线于 G、H 两点 （1）求证：BAC2FHC； （2）过 E 作 EPGH 分别交 BH、AC 于 P、Q 两点； 如图 1，求证：PHPC； 如图 2，连接 DF 交 EP 于 N，连接 BN，若DFC+ENB90，BNFC，求的值 八、解答题（本题八、解答题（本
11、题 14 分）分） 26如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，抛物线 y x2+bx+c 经过 A、C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 B 为 y 轴上一点，点 P 为直线 AB 上一点，过 P 作 PQBC 交 x 轴于点 Q，当四边形 BCPQ 为 菱形时，请直接写出 B 点坐标； （3）在（2）的条件下，且点 B 在线段 OC 上时，将抛物线 yx2+bx+c 向上平移 m 个单位，平移后 的抛物线与直线 AB 交于点 D（点 D 在第二象限），点 N 为 x 轴上一点，若DNB90，且符合条件 的点 N 恰好有 2 个，
12、求 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 122 的绝对值等于（ ） A22 B C D22 【分析】利用绝对值的意义求解 解：|22|22 故选：D 2如图所示的是一个由 5 块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形 故选：D 3甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好是 9.4 环，方差分别是 S甲 20.90， S乙 21.22，S 丙
13、 20.45，S 丁 21.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差的意义求解即可 解：S甲 20.90，S 乙 21.22，S 丙 20.45，S 丁 21.9， S丙 2S 甲 2S 乙 2S 丁 2， 在本次射击测试中，成绩最稳定的是丙， 故选：C 4如图，12356，则4 的度数是（ ） A56 B114 C124 D146 【分析】根据对顶角相等得到25，结合12，得到15，即可判定 l1l2，根据平行线的 性质得出656，再根据邻补角的定义求解即可 解：如图， 12，25， 15， l1l2， 36， 356， 656， 4+6180，
14、418056124， 故选：C 5数学家斐波那契编写的算经中有如下问题，一组人平分 10 元钱，每人分得若干，若再加上 6 人， 平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为 x 人，则 可列方程为（ ） A10 x40（x+6） B C D10（x+6）40 x 【分析】设第二次分钱的人数为 x 人，则第一次分钱的人数为（x6）人，根据两次每人分得的钱数相 同，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解 解：设第二次分钱的人数为 x 人，则第一次分钱的人数为（x6）人， 依题意得： 故选：B 6如图，ABC 与DEF 是以 O 为位似中心的位似图形，且相
15、似比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积比 为（ ） A4：9 B3：5 C4：7 D2：3 【分析】 先利用位似的性质得到ABCDEF， 相似比为 2： 3， 然后根据相似三角形的性质解决问题 解：ABC 与DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 2：3， ABCDEF，相似比为 2：3， ABC 与DEF 的面积之比为 22：324：9 故选：A 7如图的三角形纸片中，AB8，BC6，AC5，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上 的点 E 处，折痕为 BD，则AED 的周长是（ ） A7 B8 C11 D14 【分析】根据翻折变换的性质得到 DCDE，
16、BEBC，根据已知求出 AE 的长，根据三角形周长公式计 算即可 解：由折叠的性质可知，DCDE，BEBC6， AB8，AEABBE2， AED 的周长为：AD+AE+DEAC+AE7， 答：AED 的周长为 7 故选：A 8如图，直线 OA 的解析式为 yx，点 P1坐标为（1，0），过 P1作 PQ1x 轴交 OA 于 Q1，过 Q1作 P2Q1 OA 交 x 轴于 P2，过 P2作 P2Q2x 轴交 OA 于 Q2，过 Q2作 P3Q2OA 交 x 轴于 P3，按此规律进行 下去，则 P100的坐标为（ ） A（21001，0） B（5050，0） C（299，0） D（100，0） 【
17、分析】由直线 OA 的解析式为 yx 可得AOP145，进而可得OP1Q1，P1P2Q1，P2P3Q2均 为等腰直角三角形，进而可求解 P1，P2，P3的坐标，即可求解 解：直线 OA 的解析式为 yx， AOP145， PQ1x 轴， OP1Q1为等腰直角三角形， 点 P1坐标为（1，0）， P1Q1OP11， P2Q1OA， OP1Q1P245， P1P2Q1为等腰直角三角形， P1P2P1Q11， P2（2，0）， 同理可得 P3（4，0），P4（8，0），Pn（2n1，0）， P100（299，0）， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9
18、因式分解：ab34ab2+4ab ab（b2）2 【分析】直接提取公因式 ab,再利用公式法分解因式得出答案 解：ab34ab2+4ab ab(b24b+4) ab（b2）2 故答案为：ab（b2）2 10如图，将ABC 就点 C 按逆时针方向旋转 75后得到ABC，若ACB25，则BCA的度数 为 50 【分析】易知旋转角ACA75，则根据BCAACAACB 即可 解：根据旋转的定义可知旋转角ACA75， BCAACAACB752550， 故答案为：50 11二次函数 yx22x+m 图象上的最低点的横坐标为 1 【分析】由二次项系数知抛物线开口向上，最低点为顶点，求出对称轴即可 解：二次函
19、数 yx22x+m 的二次项系数大于 0， 抛物线开口向上， 最低点为顶点， 最低点的横坐标在对称轴上， 抛物线的对称轴为直线 x， 最低点的横坐标为 1， 故答案为：1 12如图，在平面直角坐标系中，直线 yx 和 yx+b 相交于点 A（1，m），则不等式xx+b 的解集为 x1 【分析】利用图象，可得 A 点右侧部分xx+b，可直接得到答案 解：直线 yx 和 yx+b 相交于点 A（1，m）， 不等式xx+b 的解集为：x1 故答案为：x1 13 如图， 在等边三角形ABC中， EFBC， 连接BF、 CE交于G， 若CF2AF2， BCG的面积为 【分析】连接 AG 并延长，分别交
20、EF，BC 于点 M，N证明AECAFB（SAS），可得ACE ABF由等边三角形得ABCACB，从而得出GBCGCB，BGCG可得 AN 垂直平分 BC解 直角三角形得出 AMAFsinAFM， ANACsinACN 求出 MN， 证明EFGCBG， 由相似三角形的性质得 NG3MGMN，根据三角形的面积公式即可求解 解：如图，连接 AG 并延长，分别交 EF，BC 于点 M，N 三角形 ABC 是等边三角形， ABAC，BACABCACB60， EFBC， AEFABC60，AFCACB60， 三角形 AEF 是等边三角形， AEAF， 在AEC 和AFB 中， ， AECAFB（SAS）
21、， ACEABF 又ABCACB， GBCGCB，BGCG 又 ABAC， AN 垂直平分 BC 由 CF2AF2，得 AF1，AC3 在 RtAMF 中，AMAFsinAFM 在 RtANC 中，ANACsinACN MNANAM EFBC， EFGCBG， ， NG3MG， NGMN， BCAC3， SBCGBCNG 3 故答案为： 14如图，在 RtACB 中，ACB90，A30，CB2，BD 平分ABC，点 P 为线段 BD 上一 动点，以 P 为圆心，以 1 为半径长作圆，当P 与ACB 的边相切时，则 BP 长为 2 或 【分析】由直角三角形的性质求出 BD4，若P 与 BC 相切
22、于点 E，连接 PE，则PEB90，由 直角三角形的性质可求出 PB2，由角平分线的性质得出此时圆 P 与 AB 相切；若P 与 AC 相切于点 E，连接 PE，则 PEAC，由直角三角形的性质求出 PD 的长，则可求出答案 解：ACB90，A30， ABC60， BD 平分ABC， ABDCBD30， BC2， DC， BD2DC4， 若P 与 BC 相切于点 E，连接 PE，则PEB90， PE1，PBE30， PB2， BD 平分ABC， 过点 P 作 PFAB， PEPF， 此时P 与 AB 相切； 若P 与 AC 相切于点 E，连接 PE，则 PEAC， PEBC， DPE30， P
23、E1， DE， PD2DE， PBBDPD4， 综合以上可得，当P 与ACB 的边相切时，BP 长为 2 或 4 故答案为 2 或 15如图，点 A、B 在反比例函数 y的图象上，直线 AB 经过原点，点 C 在 y 轴正半轴上，且 ABBC， SBAC12，ACO45，则 k 的值为 4 【分析】 作 ADy 轴于 D， BEy 轴于 E， 根据题意得到ADC 是等腰直角三角形， 即可得出 ADCD， CADACD45，通过证得CBEAOD，得出 BE2OD，设 A（m，n），则 B（m，n）， ADm，ODn，所以 m2n，从而得到 OC3n，AD2n，根据三角形面积公式得到 SAOCOC
24、AD 2n6，求得 n，从而求得 m2，即可求得 kmn4 解：作 ADy 轴于 D，BEy 轴于 E， ACO45， ADC 是等腰直角三角形， ADCD，CADACD45， 点 A、B 在反比例函数 y的图象上，直线 AB 经过原点， OAOBAB， ABBC， OABC，BACBCA， BCEDAO， BECADO90， CBEAOD， 2， BE2OD， 设 A（m，n），则 B（m，n），ADm，ODn， m2n， OCm+n3n， SBAC12， SAOC6， OCAD2n6， n， m2n2， kmn24， 故答案为：4 16如图，ADBC，垂足为 C，BFBC，点 P 为线段
25、BC 上一动点，连接 AP，过 D 作 DEAP 交 BF 于 E，连接 PE，若 ACBC4，CD1，则 PE 长的最小值为 2 【分析】过 D 作 DGBF 于 G，推出四边形 CDGB 是矩形，根据矩形的性质的 DGBC4，BGCD 1，由余角的性质得到APCDEB，根据全等三角形的性质得到 CPEG，设 BEx，则 CPEG 1+x，根据勾股定理得到 PE，于是得到结论 解：过 D 作 DGBF 于 G， BFBC，ADBC， DCBCBGG90， 四边形 CDGB 是矩形， DGBC4，BGCD1， DEAP， 1+BED1+APC90， APCDEB， 在APC 与DEB 中， ，
26、 APCDEB（AAS）， CPEG， 设 BEx，则 CPEG1+x， PB4（1+x）3x， PE， 当 x1 时，PE 的最小值为 2， 故答案为：2 三、解答题（每题三、解答题（每题 8 分，共分，共 16 分）分） 17先化简，再求值：（+），其中 m1 【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把 m 的值代入计算即可求出 值 解：原式+ ， 当 m1 时，原式 18如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 DC 延长线、BC 延长线上两点，AE、AF 分别与 BC、CD 交 于 G，H 两点，若EF，求证：ABGADH 【分析】直接利用菱形的性质得出
27、 ABAD，BD，ABCD，ADBC，进而得出EBAG， FDAH，再利用全等三角形的判定方法得出答案 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ABAD，BD，ABCD，ADBC， EBAG，FDAH， EF， BAGDAH， 在ABG 和ADH 中， ， ABGADH（ASA） 四、解答题（每题四、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 19近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有： A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查 统计，得到两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息
28、，解答下列问题： （1）本次一共调查了 200 名购买者； （2）补全条形统计图； （3）若该超市这一周内有 1000 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名？ 【分析】（1）根据支付方式 B 的人数和所占的百分比，可以计算出本次一个调查了多少名购买者； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出 B 和 D 的人数，从而可以将条形统计图补充完 整； （3）根据统计图中的数据，可以计算出使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名 解：（1）5628%200（名）， 即本次一共调查了 200 名购买者， 故答案为：200； （2）支付方式为 D 的有：
29、20020%40（人）， 支付方式为 A 的有：20056444060（人）， 补全的条形统计图如右图所示； （3）1000580（人）， 答：估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有 580 人 20在 2021 年电影春节档，多部电影都有不俗的票房表现；甲、乙两名同学在春节假期分别从刺杀小说 家、唐人街探案 3、你好，李焕英三部电影中任意选择一部观看 （1）甲选择电影唐人街探案 3观看的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两人选择不同的电影观看的概率 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）将刺杀小说家、唐人街探案 3、你好，李焕英三部电影分别记作 A、B、C，
30、画树状图 列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 解：（1）甲选择电影唐人街探案 3观看的概率为， 故答案为：； （2）将刺杀小说家、唐人街探案 3、你好，李焕英三部电影分别记作 A、B、C， 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，其中甲、乙两人选择不同的电影观看的有 6 种结果， 甲、乙两人选择不同的电影观看的概率为 五、解答题（每题五、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 21胜利广场中心的雕像盛世是鞍山市的地标建筑，小睿同学利用无人机测量雕像的高度如图中， AB 为雕像盛世，无人机悬停在点 C 处测量得到雕像顶部点 A 处俯角ECA 为 38，
31、雕像底部点 B 处俯角ECB 为 72.9， 无人机的悬停高度 CD 为 39 米， 求雕像 盛世 AB 的高度 （参考数据： sin38 0.62，cos380.79，tan380.78，sin72.90.96，cos72.90.29，tan72.93.25，结果精确 到 1 米） 【分析】过 A 作 ANCD 交于 N，根据题意构造直角三角形通过解直角三角形求得 AE、DC 的长度， 进而可解即可求出答案 解：如图，过 A 作 ANCD 交于 N， 设 AN 为 x 米 BANABDBDN90， 四边形 ANDB 为矩形， ANBDx 米，DNAB ECAN，ECBD， CANECA38，
32、CBDECB72.9， 在 RtBDC 中， CD3.25x39 米， x12， BDAN12（米）， 在 RtCAN 中， CN9.36（米）， ABDNCDCN399.3630（米） 答：高度约为 30 米 22如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象交于 A、B 两点，与 x 轴交于点 E，已知 点 A 坐标为（2，4），点 B 横坐标为 4 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点 P 为线段 OE 上一点，且 SPAB2，求 P 点坐标 【分析】（1）把 A 的坐标代入 y即可求得反比例函数的解析式，进而即可求得 B 的坐标，然后根 据待定系数法即可求得一
33、次函数的解析式； （2）过 P 作 PNy 轴交 AB 于 N，设 P（n，0）N（n，n+6），则 PNn+6，根据三角形面积公式 得到n+62，解得 n4，即可求得 P（4，0） 解：（1）反比例函数 y的图象过 A（2，4）， k2248， 反比例函数的表达式为， 把 x4 代入得 y2， B（4，2） 一次函数 yk1x+b 的图象过 A、B 两点， . ， ， 一次函数的表达式为 yx+6； （2）过 P 作 PNy 轴交 AB 于 N， 设 P（n，0），N（n，n+6）， PNn+6， ， n+62， 解得 n4， P（4，0） 六、解答题（每题六、解答题（每题 10 分，共分，
34、共 20 分）分） 23如图，在O 中，AB 为O 直径，直线 MN（在直径 AB 上方）交O 于 C、D 两点，且 MNAB，连 接 CB，DB；点 P 为直径 AB 下方O 上一点，连接 DP，BP （1）求证：BDC+BCN90； （2）若 tanP，O 半径为 5，求 CD 的长 【分析】（1）连接 AC，根据ACB90，证明BDCCAB，BCNABC，可得结论 （2）连接 AD，过 B 作 BEMN 交于 E求出 CE，DE，可得结论 【解答】（1）证明：连接 CA ， BDCCAB， MNAB， BCNCBA， AB 为O 直径， ACB90， CAB+CBA90， BDC+BCN
35、90 （2）解：连接 AD，过 B 作 BEMN 交于 E ， PDAB， AB10， 在 RtADB 中， 设 BD4x，AD3x， BD2+AD2AB2， （4x）2+（3x）2102， x2， BD8，AD6， BDNDBA，BDN+DBNDBA+DAB90， DBNDABP， 在 RtEDB 中， 设 DE4a，BE3a，DE2+BE2BD2， （4a）2+（3a）282， ， ， 四边形 BCDP 为圆内接四边形， BCD+P180，BCD+BCE180， BCEP 在 RtECB 中， 242021 年春节期间，我市某烟花经销商销售某款烟花，该款烟花进价为 90 元/件，售价为 1
36、20 元/件，投 放市场之后出现供不应求的情况，平均每天可以售出 100 件；该经销商决定涨价销售，售价每上涨 1 元/ 件，则平均每天少售出 2 件；若设上涨 x 元/件，每天销售利润为 y 元； （1）当售价上涨多少元/件时，每天销售利润最大，最大利润为多少元？ （2）该经销商按原价销售烟花 6 天之后开始按照（1）中的价格进行涨价销售，该款烟花库存量为 1000 件，春节期间只能销售烟花 22 天；该经销商决定从其他同行处购进一批同款烟花满足市场需求，若 6 天之后每天销售情况相同，且该经销商销售这款烟花共获利润 38400 元，求该经销商从同行购进烟花的 价格为多少元/件 【分析】（1
37、）根据每天的利润等于单件利润每天销售量列出函数关系式； （2）设该经销商从其他同行处购进烟花的价格为 a 元/件，先求出 6 天后每天的销售量，再求出库存烟 花销售的时间，从而求出购进烟花销售的天数，根据利润列出方程，解方程即可 解：（1）根据题意得：y（12090+x）（1002x）2x2+40 x+30002（x10）2+3200， a20， y 当 x10 时，y 有最大值，最大值 3200， 答：当售价上涨 10 元/件时，每天销售利润最大，最大利润为 3200 元； （2）设该经销商从其他同行处购进烟花的价格为 a 元/件， 6 天后每天销售烟花：10021080（件）， 库存烟花销
38、售：（天）， 由题意得：（12090）600+（13090）（1000600）+（130a）80（2211）38400， 解得：a125， 答：该经销商从其他同行处购进烟花的价格为 125 元/件 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 25如图，在ABC 中，ABAC，ADBC，垂足为 D；点 E 为线段 AD 上一点，且 BDDE，延长 BE 交 AC 边于 F，过 F 作 FGAB 分别交 AB、BC 延长线于 G、H 两点 （1）求证：BAC2FHC； （2）过 E 作 EPGH 分别交 BH、AC 于 P、Q 两点； 如图 1，求证：PHPC； 如图 2，连接 DF 交 E
39、P 于 N，连接 BN，若DFC+ENB90，BNFC，求的值 【分析】 （1） 由 ADBC， ABAC， 得BAD+ABD90， BAC2BAD， 而 FGAB， 有FHC+ ABD90，故BADFHC，即得BAC2FHC； （2）连接 CE，根据 ABAC，ADBC，BDDE，得BDE、CDE 是等腰直角三角形，可得EFC DAC+45，FEQ45+DAC，即知EFCFEQ，得 EQFQ，而 90EFC90 FEQ，可得 EQCQ，即得 FQCQ，故 PHPC； 解：过 C 作 CMFD 交于 M，过 B 作 BKFD 交 FD 延长线于 K，证明BDKCDM（AAS），得 BKCM，即
40、得BKNCMF（HL），从而BNKCFM，有ENK90，而 PEGH 知 GH DF，又 GHAB，故 DFAB，DF 是ABC 的中位线，即得，可得 PB2PH， 设 CDt，则 PCPH2t，PD3t，HD5t，根据PDNHDF，即得 【解答】（1）证明：ADBC，ABAC， BAD+ABD90，BAC2BAD， FGAB， FHC+ABD90， BADFHC， BAC2FHC； （2）证明：连接 CE，如图： ABAC，ADBC，BDDE， BDE、CDE 是等腰直角三角形， EBDBEDCED45， CEBCEF90， BED45， BAE+ABEBED45， EFCBAF+ABFDA
41、C+BAE+ABEDAC+45， FEQEBD+EPB45+EPB， 而EPBFHC，由（1）知FHCBACDAC， FEQ45+DAC， EFCFEQ， EQFQ，90EFC90FEQ，即ECQQEC， EQCQ， FQCQ， EPGH， PHPC； 解：过 C 作 CMFD 交于 M，过 B 作 BKFD 交 FD 延长线于 K，如图： ABAC，ADBC， BDCD， BKDCMD90，BDKCDM， BDKCDM（AAS）， BKCM， BKNCMF90，BNCF， BKNCMF（HL）， BNKCFM， CFD+ENB90， BNK+ENB90，即ENK90， PEDF， PEGH，
42、 GHDF， GHAB， DFAB， 而 BDCD， DF 是ABC 的中位线， ， DFAB， ， PEFH， ，即 PB2PH， 由知 PHPC， BCPCPH， 又 BDCDBC， 设 CDt，则 PCPH2t， PD3t，HD5t， PEFH， PDNHDF， 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，抛物线 y x2+bx+c 经过 A、C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 B 为 y 轴上一点，点 P 为直线 AB 上一点，过 P 作 PQBC 交 x 轴于点 Q，当四
43、边形 BCPQ 为 菱形时，请直接写出 B 点坐标； （3）在（2）的条件下，且点 B 在线段 OC 上时，将抛物线 yx2+bx+c 向上平移 m 个单位，平移后 的抛物线与直线 AB 交于点 D（点 D 在第二象限），点 N 为 x 轴上一点，若DNB90，且符合条件 的点 N 恰好有 2 个，求 m 的取值范围 【分析】（1）先求出 A、C 两点坐标，然后代入抛物线的解析式求； （2）设 B（0，a），求得 AB 的函数关系式，然后求出 Q 点的坐标，从而确定 OQ 的长，利用AOB COQ 求得； （3）从DNB90，且符合条件的点 N 恰好有 2 个条件转化为以 BD 为直径的圆与
44、x 轴相交，设圆心 为 I，根据直线和圆相交的条件：圆心到直线的距离小于半径，从而求得 D 点特殊位置，进而可求得 m 的范围 解：（1）由题意得， A（3，0），C（0，4）， ， ， 抛物线解析式为； （2）如图 1， 设 B（0，a）， PQBCBQ4a， A（3，0）， 直线 AB 的解析式是：y， 由4a 得， x ， OQ， 四边形 BCPQ 是菱形， PBCQ， ABOPBC， OCQBAO， AOBCOQ， ， ， a1，a26， ，B2（0，6）； （3）如图 2， 由（2）知， B（0，）， 直线 AB 的解析式是：y， 设 D（m，）， BD2（m2+ 2） ， DNB90，且符合条件的点 N 恰好有 2 个， 以 BD 为直径的圆与 x 轴相交，设圆心为 I， 则 I（，）， 作 IJOA 于 J， IJBD， （）2， m1 ，m2 （舍去）， 当 m时，y， 设平移后的抛物线为： 将 D 点坐标代入平移后解析式得， 解得：，