1、2021 年江苏省扬州市广陵区中考数学一模试卷年江苏省扬州市广陵区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 12 的倒数是（ ） A B C2 D2 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 3下列各式中，计算结果为 a6的是（ ） Aa2 a 3 Ba3+a3 Ca12a2 D（
2、a2）3 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A三棱锥 B三棱柱 C四棱柱 D四棱锥 5已知某圆锥的底面半径为 3cm，母线长 5cm，则它的侧面展开图的面积为（ ） A30cm2 B15cm2 C30cm2 D15cm2 6小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分 2 8.8 8.9 8.5 0.14 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 7如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得ABC，ADC则竹竿 AB 与 AD 的长度
3、之比 为（ ） A B C D 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，0）、B（0，1）、C（1， 0）、D（0，1），点 P（0，2）绕点 A 旋转 180得点 P1，点 P1绕点 B 旋转 180得点 P2，点 P2绕点 C 旋转 180得点 P3，点 P3绕点 D 旋转 180得点 P4，点 P4绕点 A 旋转 180得点 P5，重复操作 依次得到点 P1，P2，P3，P4，P5，则点 P2021的坐标为（ ） A（2，2） B（2，0） C（0，2） D（0，0） 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题
4、3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题 卡相应位置上）卡相应位置上） 9截止 2021 年 3 月 31 日，扬州高铁东站已经输送旅客约 1200000 人次用科学记数法表示 1200000 是 10分解因式：a34a 11方程（x+1）（x3）4 的解为 12已知反比例函数 y（x0），y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 13如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果： 投篮次数 n 48 82 124 176 230 287 328 投中次数 m 33 59 83 118 159 195 223 投中频率
5、0.69 0.72 0.67 0.67 0.69 0.68 0.68 根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为 （结果精确到 0.01） 14命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 15如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若O 半径为 4，且C2A，则的长 为 16如图，在 RtACB 中，C90，BC4，AB5，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，则 AD 17若一次函数 ykx+b，当3x1 时，对应的 y 值为 1y9，则一次函数的解析式 为 18如图，矩形 ABCD 中，AB8，AD4，E 为边 AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点
6、G 绕点 E 逆时针旋转 90得到点 F，连接 CF，则CEF 面积的最小值是 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 19（1）计算：（） 1+|1 |tan30； （2）化简：（a） 20解不等式组，并求其整数解 21中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选 报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的
7、信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中 a %，并补全条形图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个 （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有 1800 人，如果体育中考引体向上达 6 个以上（含 6 个）得 满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 22甲、乙、丙 3 名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作 （1）随机抽取 1 名，则恰是甲的概率是 ； （2）随机抽取 2 名，求甲在其中的概率 23为支援非洲人民战胜疫情，某疫苗生产厂家在清明节期间接到紧急任务，要求在几天内生产 700 万支 疫苗疫苗厂干部职工放弃休息时间，开足全厂疫苗生产线进
8、行生产，结果每天比原来多生产 30 万支， 提前 3 天完成了任务原来要求几天完成这项紧急任务？ 24如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，E 是 CD 的中点，过点 C 作 AB 的平行线交 AE 的延长线于 点 F，连接 BF （1）求证：CFAD； （2）若 CACB，ACB90，试判断四边形 CDBF 的形状，并说明理由 25如图，点 O 在ABC 的 BC 边上，O 经过点 A、C，且与 BC 相交于点 D点 E 是下半圆弧的中点， 连接 AE 交 BC 于点 F，已知 ABBF （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 OC3，OF1，求 cosB 的值 26请阅读下列
9、材料： 问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA2，PB，PC1、求BPC 度数的大小和等 边三角形 ABC 的边长 李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60，画出旋转后的图形（如图 2），连接 PP，可 得PPB 是等边三角形，而PPA 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APB 150，而BPCAPB150，进而求出等边ABC 的边长为，问题得到解决 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA， BP，PC1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长 27如图，在边长为 6 的等边ABC
10、中，D 是 AB 边上一点，AD4，E 是 BC 边上一动点，DEF60 交 AC 边于 F （1）找出图中一对相似三角形，并说明理由； （2）在点 E 从 B 点运动到 C 点的过程中： 求 AF 长的最小值； 线段 DF 的中点所经过的路径长为 ；线段 EF 的中点到 BC 的最大距离 为 28已知，点 M 为二次函数 yx2+2bxb2+4b+1 图象的顶点，直线 ymx+5 分别交 x 轴正半轴和 y 轴于 点 A，B （1）判断顶点 M 是否在直线 y4x+1 上，并说明理由； （2）如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx+5x2+2bxb2+4b+1，结合图象，求 x
11、的取值范 围； （3）如图 2，点 A 坐标为（5，0），点 M 在AOB 内，若点 C（，y1），D（，y2）都在二次函数 图象上，试比较 y1与 y2的大小 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 12 的倒数是（ ） A B C2 D2 【分析】根据倒数的定义即可求解 解：2 的倒数是 故选：A 2函数 y
12、中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据被开方数大于等于 0，列式计算即可得解 解：由题意得，x20， 解得 x2 故选：B 3下列各式中，计算结果为 a6的是（ ） Aa2 a 3 Ba3+a3 Ca12a2 D（a2）3 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则 逐一判断即可 解：A、a2a3a5，故本选项不合题意； B、a3+a32a3，故本选项不合题意； C、a12a2a10，故本选项不合题意； D、（a2）3a6，故本选项符合题意； 故选：D 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A三棱
13、锥 B三棱柱 C四棱柱 D四棱锥 【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案 解：由三视图知，该几何体是三棱柱， 故选：B 5已知某圆锥的底面半径为 3cm，母线长 5cm，则它的侧面展开图的面积为（ ） A30cm2 B15cm2 C30cm2 D15cm2 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2 解：底面半径为 3cm，则底面周长6cm，侧面面积6515cm2 故选：D 6小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分 2 8.8 8.9 8.5 0.14 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一
14、定不发生变化的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断 解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均数、众数可能发生变化，数据的波动性变小，方差变小， 而 7 个数据按由小到大排列，最中间的一个数没有变化，所以数据的中位数一定不发生变化 故选：B 7如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得ABC，ADC则竹竿 AB 与 AD 的长度之比 为（ ） A B C D 【分析】根据题意可得，DCA90，ABC，ADC，再根据锐角三角函数即可求出竹竿 AB 与 AD 的长度之比 解：根据题意可知： DCA90，ABC，ADC， 在
15、 RtABC 中，ACABsin， 在 RtADC 中，ACADsin， ABsinADsin， 故选：D 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，0）、B（0，1）、C（1， 0）、D（0，1），点 P（0，2）绕点 A 旋转 180得点 P1，点 P1绕点 B 旋转 180得点 P2，点 P2绕点 C 旋转 180得点 P3，点 P3绕点 D 旋转 180得点 P4，点 P4绕点 A 旋转 180得点 P5，重复操作 依次得到点 P1，P2，P3，P4，P5，则点 P2021的坐标为（ ） A（2，2） B（2，0） C（0，2） D（0，0） 【
16、分析】通过前几个点坐标确定周期，即可判断 P2021在周期内所处位置 解：结合图象确定前几个点的坐标为： P1 （2，2）、P2 （2，0）、P3 （0，0）、P4 （0，2）、P5 （2，2） 发现周期为 4， 202145051， 故 P2021是周期内的第 1 个， 同 P1 坐标 故选：A 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题 卡相应位置上）卡相应位置上） 9 截止 2021 年 3 月 31 日， 扬州高铁东站已经输送旅客约 12000
17、00 人次 用科学记数法表示 1200000 是 1.2 106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 解：12000001.2106， 故答案为：1.2106 10分解因式：a34a a（a+2）（a2） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 解：原式a（a24） a（a+2）（a2） 故答案为：a（a+2）（a2） 11方程（x+1）（x3）4 的解为 x1x21 【分析】先
18、将原方程转化为一般形式，然后利用直接开平方法解方程 解：由原方程，得 x22x+10， （x1）20， x1x21； 故答案是：x1x21 12已知反比例函数 y（x0），y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 m2 【分析】根据反比例函数的性质可得 2m0，解不等式即可 解：反比例函数 y（x0），y 随 x 的增大而增大， 2m0， 解得：m2 故答案为：m2 13如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果： 投篮次数 n 48 82 124 176 230 287 328 投中次数 m 33 59 83 118 159 195 223 投中频率 0.69 0.72 0.67 0
19、.67 0.69 0.68 0.68 根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为 0.68 （结果精确到 0.01） 【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案 解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数 0.68 附近， 这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为 0.68， 故答案为：0.68 14命题“对顶角相等”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假”） 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断 解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题 故答案为假 15如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若
20、O 半径为 4，且C2A，则的长为 【分析】 连接 OB、 OD， 根据圆内接四边形的性质求出A 的度数， 根据圆周角定理求出BOD 的度数， 利用弧长公式计算即可 解：连接 OB、OD， 四边形 ABCD 是O 的内接四边形， A+C180， C2A， 3A180， A60， 由圆周角定理得，BOD2A120， 的长：， 故答案为 16如图，在 RtACB 中，C90，BC4，AB5，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，则 AD 【分析】根据勾股定理得到 AC3，过 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线的性质得到 CD DE，根据全等三角形的性质得到 BEBC4，根据勾股定理即可得到结论
21、 解：在 RtACB 中，C90，BC4，AB5， AC3， 过 D 作 DEAB 于 E， BD 平分ABC，C90， CDDE， 在 RtBCD 与 RtBED 中， RtBCDRtBED（HL）， BEBC4， AE1， AD2DE2+AE2， AD2（3AD）2+12， AD， 故答案为： 17若一次函数 ykx+b，当3x1 时，对应的 y 值为 1y9，则一次函数的解析式为 y2x+7 或 y 2x+3 【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为3x1，值域为 1y9，进行分类讨论 k 大于 0 还是小于 0，列出二元一次方程组求出 k 和 b 的值 解：（）当 k0 时
22、， 解得：， 此时 y2x+7， （）当 k0 时， 解得：， 此时 y2x+3， 综上，所求的函数解析式为：y2x+7 或 y2x+3 18如图，矩形 ABCD 中，AB8，AD4，E 为边 AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点 G 绕点 E 逆时针旋转 90得到点 F，连接 CF，则CEF 面积的最小值是 15 【分析】过点 F 作 AD 的垂线角 AD 的延长线于点 H，则FEHEBA，设 AEx，可得出CEF 面积 与 x 的函数关系式，在根据二次函数图像的性质求得最小值 解：过点 F 作 AD 的垂线角 AD 的延长线于点 H， AH90，FEB90， FEH90B
23、EAEBA， FEHEBA， ， 设 AEx， AB8，AD4， HFx，EH4，DHx， SCEFS 梯形DCFH+SCDESEFH（x2）2+15， 当 x2 时，SCEF取最小值，最小值是 15， 故答案为：15 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 19（1）计算：（） 1+|1 |tan30； （2）化简：（a） 【分析】（1）根据负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案 （
24、2）根据分式的运算法则即可求出答案 解：（1）原式4+（1）3 4+13 （2）原式 1a 20解不等式组，并求其整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集，继而可得答案 解：由 3x4x1 得：x1， 由x2 得：5x12x4， x1， 不等式组的解集为：1x1， 不等式组的整数解为 0，1 21中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选 报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出
25、扇形图中 a 25 %，并补全条形图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 5 个、 5 个 （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有 1800 人，如果体育中考引体向上达 6 个以上（含 6 个）得 满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【分析】（1）用 1 减去其他天数所占的百分比即可得到 a 的值，用 360乘以它所占的百分比，即可求 出该扇形所对圆心角的度数； （2）根据众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以 1800 即可 解：（1）扇形统计图中 a130%15%10%20%25%， 设引体向上
26、6 个的学生有 x 人，由题意得 ，解得 x50 条形统计图补充如下： （2）由条形图可知，引体向上 5 个的学生有 60 人，人数最多，所以众数是 5； 共 200 名同学，排序后第 100 名与第 101 名同学的成绩都是 5 个，故中位数为（5+5）25 （3）1800810（名） 答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有 810 名 故答案为：25；5，5 22甲、乙、丙 3 名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作 （1）随机抽取 1 名，则恰是甲的概率是 ； （2）随机抽取 2 名，求甲在其中的概率 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有 6 种等可
27、能的结果数，再找出甲在其中的结果数，然后根据概率公式求解 解：（1）随机抽取 1 名，则恰是甲的概率是； （2）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为 4， 所以甲在其中的概率 故答案为， 23为支援非洲人民战胜疫情，某疫苗生产厂家在清明节期间接到紧急任务，要求在几天内生产 700 万支 疫苗疫苗厂干部职工放弃休息时间，开足全厂疫苗生产线进行生产，结果每天比原来多生产 30 万支， 提前 3 天完成了任务原来要求几天完成这项紧急任务？ 【分析】设原来要求 x 天完成这项紧急任务，由题意：要求在几天内生产 700 万支疫苗疫苗厂干部职 工放弃休息时间， 开足全厂疫苗生产
28、线进行生产， 结果每天比原来多生产30万支， 提前3天完成了任务 列 出分式方程，解方程即可 解：设原来要求 x 天完成这项紧急任务， 根据题意，得：， 解得：x110，x27， 经检验，x110，x27 是所列方程的解，x270，不合题意舍去， x10， 答：原来要求 10 天完成这项紧急任务 24如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，E 是 CD 的中点，过点 C 作 AB 的平行线交 AE 的延长线于 点 F，连接 BF （1）求证：CFAD； （2）若 CACB，ACB90，试判断四边形 CDBF 的形状，并说明理由 【分析】 （1） 由平行线的性质得出内错角相等CFEDAE
29、， FCEADE， 再根据 AAS 证明ECF EDA，得出对应边相等即可； （2）先证明四边形 CDBF 为平行四边形，再由BDC90得出四边形 CDBF 为矩形，然后证出 CD BD，即可得出结论 【解答】（1）证明：CFAB， CFEDAE，FCEADE， E 为 CD 的中点， CEDE， 在ECF 和EDA 中， ， ECFEDA（AAS）， CFAD； （2）解：四边形 CDBF 为正方形，理由如下： CD 是 AB 边上的中线， ADBD， CFAD， CFBD； CFBD，CFBD， 四边形 CDBF 为平行四边形， CACB，CD 为 AB 边上的中线， CDAB，即BDC9
30、0， 四边形 CDBF 为矩形， 等腰直角ABC 中，CD 为斜边上的中线， CDABBD， 四边形 CDBF 为正方形 25如图，点 O 在ABC 的 BC 边上，O 经过点 A、C，且与 BC 相交于点 D点 E 是下半圆弧的中点， 连接 AE 交 BC 于点 F，已知 ABBF （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 OC3，OF1，求 cosB 的值 【分析】 （1） 根据垂径定理求出EOF90， 根据等腰三角形性质求出BAFBFA， EOAE， 求出OAE+BAF90，根据切线的判定得出即可； （2）设 ABx，则 BFx，OBx+1，根据勾股定理求出 AB 的长，解直角三角形求
31、出即可 【解答】（1）证明：连接 OA、OE， 点 E 是下半圆弧的中点，OE 过 O， OEDC， FOE90， E+OFE90， OAOE，ABBF， BAFBFA，EOAE， AFBOFE， OAE+BAF90， 即 OAAB， OA 为半径， AB 是O 的切线； （2）解：设 ABx，则 BFx，OBx+1， OAOC3， 由勾股定理得：OB2AB2+OA2， （1+x）232+x2， 解得：x4， cosB 26请阅读下列材料： 问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA2，PB，PC1、求BPC 度数的大小和等 边三角形 ABC 的边长 李明同学的思路是：将BP
32、C 绕点 B 逆时针旋转 60，画出旋转后的图形（如图 2），连接 PP，可 得PPB 是等边三角形，而PPA 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APB 150，而BPCAPB150，进而求出等边ABC 的边长为，问题得到解决 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA， BP，PC1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长 【分析】（1）参照题目给出的解题思路，可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，根据旋 转的性质知： BPCBPA，进而可判断出BPP是等腰直角三角形，可得BPP45；然后根据 AP、 PP
33、、 PA 的长， 利用勾股定理得到APP是直角三角形的结论， 可得APP90， 即可求得BP A 的度数，进而可得BPC 的度数 （2）过 B 作 AP的垂线，交 AP的延长线于 E，易知BEP是等腰直角三角形，即可得到 PE、 BE 的长，进而可在 RtABE 中，利用勾股定理求得正方形的边长 解：（1）如图， 将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得BPA，则BPCBPA APPC1，BPBP； 连接 PP， 在 RtBPP 中， BPBP，PBP90， PP2，BPP45； 在APP 中，AP1，PP2，AP， ，即 AP2+PP2AP2； APP 是直角三角形，即APP90， APB9
34、0+45135， BPCAPB135 （2）过点 B 作 BEAP，交 AP的延长线于点 E；则BEP是等腰直角三角形， EPB45， EPBE1， AE2； 在 RtABE 中，由勾股定理，得 AB； BPC135，正方形边长为 27如图，在边长为 6 的等边ABC 中，D 是 AB 边上一点，AD4，E 是 BC 边上一动点，DEF60 交 AC 边于 F （1）找出图中一对相似三角形，并说明理由； （2）在点 E 从 B 点运动到 C 点的过程中： 求 AF 长的最小值； 线段 DF 的中点所经过的路径长为 ；线段 EF 的中点到 BC 的最大距离为 【分析】（1）根据等边三角形的性质及
35、相似三角形的判定可得答案； （2）根据相似三角形的性质可得，设 BEx，可表示 CF 的长，再由配方法可得答案； 设 DF 的中点为 G，作 GHAC 于 H，DKAC 于 K，根据图形及最值可得路径的长；设 EF 的中点为 M，作 MNBC 交 CF 于 N，NPBC 于 P，由此可得最大距离 解：（1）BDECEF， ABC 为等边三角形， BC， DEF60， BED+CEF120，BED+BDE120， BDECEF， BDECEF （2）BDECEF， 设 BEx，则，CFx2+3x（x3）2+， CF 长的最大值为，AF 长的最小值为， ， 设 DF 的中点为 G，作 GHAC 于
36、 H，DKAC 于 K， 则 GHDK， 由于 D 是定点， DK 是定值，故 GH 是定值， 点 G 的运动路径是一条平行于 AC 的线段， 当点 E 与 B 点重合时，点 F 与 C 点重合， 随后 CF 逐渐增大，直至最大，之后 CF 逐渐减小， 当点 E 与 C 点重合时，点 F 与 C 点重合， 线段 DF 的中点所经过的路径长即为 CF 长的最大值，为， 设 EF 的中点为 M，作 MNBC 交 CF 于 N，NPBC 于 P CNCF，NPCNCF， 线段 EF 的中点到 BC 的最大距离即为 N 点到 BC 的最大距离， 最大距离为： 故答案为：， 28已知，点 M 为二次函数
37、 yx2+2bxb2+4b+1 图象的顶点，直线 ymx+5 分别交 x 轴正半轴和 y 轴于 点 A，B （1）判断顶点 M 是否在直线 y4x+1 上，并说明理由； （2）如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx+5x2+2bxb2+4b+1，结合图象，求 x 的取值范 围； （3）如图 2，点 A 坐标为（5，0），点 M 在AOB 内，若点 C（，y1），D（，y2）都在二次函数 图象上，试比较 y1与 y2的大小 【分析】（1）点 M 在直线 y4x+1 上，理由如下：配方 yx2+2bxb2+4b+1（xb）2+4b+1， 表示出顶点 M 的坐标是（b，4b+1），把 x
38、b 代入 y4x+1，即可求解； （2）由直线关系式可得 B 点坐标为（0，5），代入二次函数关系式得 5（0b）2+4b+15，得 b 2，理由函数关系式求出 A（5，0），由图象，得当 mx+5x2+2bxb2+4b+1 时，x 的取值范围是 x 0 或 x5； （3）如图 2，直线 y4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F，利用 A（5，0），B（0，5）求出直 线 AB 的解析式为 yx+5，联立 EF，AB 得方程组，解得：，得点 E（，）， 而 F 点坐标为（0，1），由题意得 14b+1，求出 0b，根据 b 的范围进行分类讨论 解：（1）点 M 在直线 y4x+
39、1 上， 理由如下：yx2+2bxb2+4b+1（xb）2+4b+1， 顶点 M 的坐标是（b，4b+1）， 把 xb 代入 y4x+1，得 y4b+1， 点 M 在直线 y4x+1 上； （2）如图 1，直线 ymx+5 交 y 轴于点 B， B 点坐标为（0，5）， 又B 在抛物线上， 5（0b）2+4b+15， 解得 b2， 二次函数的解析是为 y（x2）2+9， 当 y0 时，（x2）2+90， 解得 x15，x21， A（5，0）， 由图象，得当 mx+5x2+2bxb2+4b+1 时，x 的取值范围是 x0 或 x5； （3）如图 2， 直线 y4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， 设直线 AB 的函数关系式为：ypx+q， 将 A（5，0），B（0，5）代入得， ， 解方程组得， 直线 AB 的解析式为 yx+5， 联立 EF，AB 得方程组， 解得：， 点 E（，），而 F 点坐标为（0，1）， 点 M（b，4b+1）在AOB 内， 14b+1， 0b， 当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，bb， b， 且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y4x+1 上， 综上：当 0b时，y1y2；当 b时，y1y2；当b时，y1y2