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辽宁省大连市普金新区2019-2020学年九年级上期中数学试卷(含答案)

1、2019-2020 学年辽宁省大连市普金新区九年级(上)期中数学试卷学年辽宁省大连市普金新区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项正确) 1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 2点 A(6,7)关于原点的对称点的坐标为( ) A (6,7) B (6,7) C (6,7) D (7,6) 3如图,在O 中,AOB40,则ADC 的度数是( ) A40 B30 C20 D15 4如图,ABC

2、是ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的,若ABC的面积与ABC 的面积比是 4:9,则 OB:OB 为( ) A2:3 B3:2 C4:5 D4:9 5下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C菱形 D平行四边形 6抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1,与 x 轴相交于 A、B 两点,已知点 B 坐标为(2,0) ,则点 A 坐标为( ) A (4,0) B (3,0) C (0,3) D (0,4) 7将抛物线 y(x+3)22 向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,所得的抛物线解析式为( ) Ay(x+6)2 By

3、x22 Cy(x6)2 Dy(x+6)2 8在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心、3 为半径的圆,一定( ) A与 x 轴相切,与 y 轴相切 B与 x 轴相切,与 y 轴相交 C与 x 轴相交,与 y 轴相切 D与 x 轴相交,与 y 轴相交 9如图,DEC 是由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到的图形,若点 E 恰好落在 AB 上,且A20,DE 与 AC 交于点 F,则AFD 的度数是( ) A70 B60 C50 D40 10如图,一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,其顶点 P 在线段 MN 上移动若点 M、N 的坐标分别为(1,2) 、 (1,2

4、) ,点 B 的横坐标的最大值为 3,则点 A 的横坐标的最小值为 ( ) A3 B1 C1 D3 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 11如图所示,将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转,使得点 B,A,C在同一条直线上,则三 角板 ABC 旋转的角度是 12已知三角形的三条边分别为 3、4、5,则该三角形的外接圆半径是 13如图,AB 是O 的弦,直径 CDAB 垂足为 E,且 AB8,CE2,则 OC 14抛物线 y2x24x3,当1x4 时,y 的取值范围是 15如图,抛物线 yx22x+k(k0)与 x

5、轴相交于 A(x1,0) 、B(x2,0)两点,其中 x10 x2,当 x x1+2 时,y 0(填“” “”或“”号) 16如图,CD 是O 的直径,CD4,ACD20,点 B 为弧 AD 的中点,点 P 是直径 CD 上的一个 动点,则 PA+PB 的最小值为 三、解笞题(本题共三、解笞题(本题共 4 小题,其中小题,其中 17、18、19 题各题各 9 分,分,20 题题 12 分,共分,共 39 分)分) 17 (9 分)一个二次函数的图象经过(1,10) , (1,4) , (2,7)三点,求这个二次函数的解析式并写出 图象的顶点 18 (9 分)如图,平面直角坐标系中,A、B、C

6、坐标分别是(2,4) 、 (0,4) 、 (1,1) (1)将ABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90后得A1B1C1,画出A1B1C1; (2)写出 A1、B1、C1的坐标; (3)画出ABC 关于点 O 的中心对称图形A2B2C2 19 (9 分)如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,且 CDAB,垂足为 P 求证:PC2PAPB 20 (12 分)如图,BD、CE 是ABC 的高,BD 与 CE 相交于点 F,连接 DE (1)求证:ABDACE; (2)当A60,BC6,求 DE 的长 四、解答题(本题共四、解答题(本题共 3 小题,其中小题,其中 21、22 题各题各 9 分,分

7、,23 题题 10 分,共分,共 28 分)分) 21 (9 分)某宾馆有 50 个房间供游客居住当每个房间每天的定价为 240 元时,房间会全部住满;当每个 房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用房价定为多少时,宾馆利润最大?最大利润是多少? 22 (9 分) 如图,已知二次函数 yax2+bx+c 的图象顶点在 x 轴上,且 OA1,与一次函数 yx1 的 图象交于 y 轴上一点 B 和另一交点 C (1)求抛物线的解析式; (2)点 D 为线段 BC 上一点,过点 D 作 DEx 轴,垂足为 E,交抛物线于点 F

8、,请求出线段 DF 的最大 值 23 (10 分)如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D (1)求证:AC 平分DAB; (2)直线 AB、CD 交于点 E,若 AB6,AC4,请画出点 E,求 CE 的长 五、解答题(本题共五、解答题(本题共 3 小题,小题,24 题题 11 分,分,25、26 题各题各 12 分,共分,共 35 分)分) 24 (11 分)如图,在 RtABC 中,A90,AB6,AC8,以 BC 边上的点 P 为旋转中心,把这个 三角形按逆时针方向旋转 90得到DEF设 PCx,DEF 与ABC 重叠部分的面积为 y (

9、1)当 x4 时,求 y 的值; (2)求 y 与 x 的函数解析式,并求自变量的取值范围 25 (12 分)已知:如图 1,在四边形 ABCD 中,ABAD,BADBCD90,连接 AC,过点 A 作 AEBC,垂足为点 E (1)填空:EAC ; (2)如图 2,将ABE 以 AE 为轴翻折,点 B 的对称点为点 F,过 E 作 EGAF,垂足为点 GO 为 AC 的中点,连接 EO,延长 OG 交 BC 于点 H探究 GO、GE 和 GA 的数量关系; (3)如图 3,若(2)中,点 F 为 EC 的中点,求的值 26 (12 分)定义:将函数 l 的图象绕点 P(m,0)旋转 180,

10、得到新的函数 l的图象,我们称函数 l是函 数 l 关于点 P 的相关函数 例如:当 m2 时,函数 y(x1)2+2 关于点 P(2,0)的相关函数为 y(x3)22 (1)当 m0 时, 一次函数 yx+3 关于点 P 的相关函数为 ; 点 A(1,)在二次函数 y2ax2+4ax1(a0)关于点 P 的相关函数的图象上,求 a 的值; (2)函数 y2(x+1)23 关于点 P 的相关函数是 y2(x7)2+3,则 m ; (3) 当 m1xm+2 时, 函数 yx23mx+m2关于点 P (m, 0) 的相关函数的最大值为 9, 求 m 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、

11、选择题(本题共一、选择题(本题共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项正确) 1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误; B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误; D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确 故选:D 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形轴对称图形的关键

12、是寻找对称轴,图形两部分折 叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合 2点 A(6,7)关于原点的对称点的坐标为( ) A (6,7) B (6,7) C (6,7) D (7,6) 【分析】根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系进行判断即可 【解答】解:点 A(6,7)关于原点的对称点 B 的坐标为(6,7) , 故选:C 【点评】本题考查关于原点对称点的坐标特征,掌握点 P(a,b)与点 P1(a,b)关于原点对称是 正确判断的前提 3如图,在O 中,AOB40,则ADC 的度数是( ) A40 B30 C20 D15 【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出AO

13、CAOB40,再由圆周角定理即可得出结论 【解答】解:连接 CO,如图: 在O 中, AOCAOB, AOB40, AOC40, ADCAOC20, 故选:C 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理;熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 4如图,ABC是ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的,若ABC的面积与ABC 的面积比是 4:9,则 OB:OB 为( ) A2:3 B3:2 C4:5 D4:9 【分析】先求出位似比,根据位似比等于相似比,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可 【解答】解:由位似变换的性质

14、可知,ABAB,ACAC, ABCABC ABC与ABC 的面积的比 4:9, ABC与ABC 的相似比为 2:3, 故选:A 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质,如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相 交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心 5下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C菱形 D平行四边形 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解:A、等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; B、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本

15、选项错误; C、菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确; D、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误 故选:C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分 折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原来的图形重合 6抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1,与 x 轴相交于 A、B 两点,已知点 B 坐标为(2,0) ,则点 A 坐标为( ) A (4,0) B (3,0) C (0,3) D (0,4) 【分析】利用抛物线的对称性得到 A 点坐标为(4,0) 【解答】解:抛物线 yax2

16、+bx+c(a0)与 x 轴交于 A、B 两点, 点 A 和点 B 关于直线 x1 对称, B(2,0) , A 点坐标为(4,0) , 故选:A 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 yax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)与 x 轴 的交点坐标问题转化解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质 7将抛物线 y(x+3)22 向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,所得的抛物线解析式为( ) Ay(x+6)2 Byx22 Cy(x6)2 Dy(x+6)2 【分析】根据左加右减,上加下减,可得答案 【解答】解:将抛物线 y(x+3)22 向

17、左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,所得的抛物线解析 式为 y(x+3+3)22+2,即 y(x+6)2, 故选:D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,函数图象平移规律是:左加右减,上加下减 8在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心、3 为半径的圆,一定( ) A与 x 轴相切,与 y 轴相切 B与 x 轴相切,与 y 轴相交 C与 x 轴相交,与 y 轴相切 D与 x 轴相交,与 y 轴相交 【分析】由已知点(2, 3) 可求该点到 x 轴,y 轴的距离,再与半径比较,确定圆与坐标轴的位置关系设 d 为直线与圆的距离,r 为圆的半径,则有若 dr,则直线与圆相交;若 dr,

18、则直线于圆相切;若 d r,则直线与圆相离 【解答】解:点(2,3)到 x 轴的距离是 3,等于半径, 到 y 轴的距离是 2,小于半径, 圆与 y 轴相交,与 x 轴相切 故选:B 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小 关系完成判定 9如图,DEC 是由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到的图形,若点 E 恰好落在 AB 上,且A20,DE 与 AC 交于点 F,则AFD 的度数是( ) A70 B60 C50 D40 【分析】 由旋转的性质可得 CBCE, BDEC70, 由等腰三角形的性质可求BCEB70, 即可求解 【解答】解:A2

19、0,ACB90, B70, DEC 是由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到的图形, CBCE,BDEC70, BCEB70, AEF40, AFDA+AEF60, 故选:B 【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,掌握旋转的性质是解题的关键 10如图,一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,其顶点 P 在线段 MN 上移动若点 M、N 的坐标分别为(1,2) 、 (1,2) ,点 B 的横坐标的最大值为 3,则点 A 的横坐标的最小值为 ( ) A3 B1 C1 D3 【分析】根据顶点 P 在线段 MN 上移动,又知点 M、N 的坐标分别为(1,2) 、

20、(1,2) ,分别求 出对称轴过点 M 和 N 时的情况,即可判断出 A 点坐标的最小值 【解答】解:根据题意知,点 B 的横坐标的最大值为 3, 即可知当对称轴过 N 点时,点 B 的横坐标最大, 此时的 A 点坐标为(1,0) , 当可知当对称轴过 M 点时,点 A 的横坐标最小,此时的 B 点坐标为(1,0) , 此时 A 点的坐标最小为(3,0) , 故点 A 的横坐标的最小值为3, 故选:A 【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点,解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴 的特点,此题难度一般 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分

21、,共 18 分)分) 11如图所示,将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转,使得点 B,A,C在同一条直线上,则三 角板 ABC 旋转的角度是 150或 210 【分析】由旋转的性质可得旋转角为CAC,由平角的性质可求解 【解答】解:当顺时针旋转时, 将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转,使得点 B,A,C在同一条直线上, 旋转角为CAC,BAC+CAC180, CAC150, 当逆时针旋转时,旋转角为 210, 故答案为:150或 210 【点评】本题考查了旋转的性质,掌握旋转的性质是本题的关键 12已知三角形的三条边分别为 3、4、5,则该三角形的外接圆半径是

22、 2.5 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状,根据其外接圆的半径等于斜边的一半即可求得 三角形的外接圆半径 【解答】解:三角形的三条边长分别为 3、4、5, 32+4252, 此三角形是以 5 为斜边的直角三角形, 这个三角形外接圆的半径为 522.5 故答案为:2.5 【点评】本题主要考查直角三角形的外接圆半径的求法;判断出三角形的形状是解决本题的关键 13如图,AB 是O 的弦,直径 CDAB 垂足为 E,且 AB8,CE2,则 OC 3 【分析】连接 OA,根据垂径定理求出 AE,设O 的半径为 R,根据勾股定理得出方程,再求出方程的 解即可 【解答】解:连接 AO, 直

23、径 CDAB 垂足为 E,AB8, AEBE4,AEO90, 设O 的半径为 R, 由勾股定理得:OA2AE2+OE2, AOOCR,CE2,AE4, R242+(R2)2, 解得:R5, 即 OC5, OEOCCE523, 故答案为:3 【点评】本题考查了垂径定理,勾股定理等知识点,能熟记垂径定理是解此题的关键,注意:垂直于弦 的直径平分这条弦 14抛物线 y2x24x3,当1x4 时,y 的取值范围是 5y13 【分析】首先利用配方法求出二次函数的最值,进而利用 x 的取值范围得出 y 的取值范围 【解答】解:y2x24x3 2(x22x)3, 2(x22x+11)3, 2(x1)25,

24、当 x1 时,y最小值5, 1x4,且|41|11|, x4 时,y最大13, 当1x4 时,y 的取值范围是:5y13 故答案为5y13 【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及配方法的应用,根据已知得出顶点坐标是解题关键 15如图,抛物线 yx22x+k(k0)与 x 轴相交于 A(x1,0) 、B(x2,0)两点,其中 x10 x2,当 x x1+2 时,y 0(填“” “”或“”号) 【分析】根据抛物线方程求出对称轴方程 x1,然后根据二次函数的图象的对称性知 x1与对称轴 x1 的距离大于 1,所以当 xx1+2 时,抛物线图象在 x 轴下方,即 y0 【解答】解:抛物线 yx22x

25、+k(k0)的对称轴方程是 x1, 又x10, x1与对称轴 x1 的距离大于 1, x1+2x2, 当 xx1+2 时,抛物线图象在 x 轴下方, 即 y0 故答案是: 【点评】本题考查了二次函数的性质解答此题时,利用了二次函数图象的对称性 16如图,CD 是O 的直径,CD4,ACD20,点 B 为弧 AD 的中点,点 P 是直径 CD 上的一个 动点,则 PA+PB 的最小值为 2 【分析】首先作 A 关于 CD 的对称点 Q,连接 BQ,然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的 性质解答 【解答】解:作 A 关于 CD 的对称点 Q,连接 CQ,BQ,BQ 交 CD 于 P,此时

26、 AP+PBQP+PBQB, 根据两点之间线段最短,PA+PB 的最小值为 QB 的长度, 连接 OQ,OB, 点 B 为弧 AD 的中点, BODACD20, QOD2QCD22040, BOQ20+4060 OBOQ, BOQ 是等边三角形, BQOBCD2,即 PA+PB 的最小值为 2 故答案为 2 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题,解答此题的关键是找到点 A 的对称点,把题目的问题转 化为两点之间线段最短解答 三、解笞题(本题共三、解笞题(本题共 4 小题,其中小题,其中 17、18、19 题各题各 9 分,分,20 题题 12 分,共分,共 39 分)分) 17 (9 分)一

27、个二次函数的图象经过(1,10) , (1,4) , (2,7)三点,求这个二次函数的解析式并写出 图象的顶点 【分析】设二次函数的解析式为 yax2+bx+c,把(1,10) , (1,4) , (2,7)三点坐标代入,列方程 组求 a、b、c 的值,确定函数解析式,根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标 【解答】解:设二次函数的解析式为 yax2+bx+c,把(1,10) , (1,4) , (2,7)各点代入上式得 , 解得 则抛物线解析式为 y2x23x+5; 由 y2x23x+52(x)2+可知,抛物线顶点坐标为(,) 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征, 用待定

28、系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质, 熟练掌握待定系数法是解题的关键 18 (9 分)如图,平面直角坐标系中,A、B、C 坐标分别是(2,4) 、 (0,4) 、 (1,1) (1)将ABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90后得A1B1C1,画出A1B1C1; (2)写出 A1、B1、C1的坐标; (3)画出ABC 关于点 O 的中心对称图形A2B2C2 【分析】 (1)根据旋转的性质,找到A1B1C1的三个顶点位置即可; (2)根据点的位置可直接写出坐标; (3)根据中心对称的性质,找到A2B2C2的三个顶点位置即可 【解答】解: (1)如图,A1B1C1即为所求; (2)由(1)知:A

29、1 (4,2) ,B1 (4,0) ,C1 (1,1) ; (3)如图,A2B2C2即为所求 【点评】本题主要考查了作图旋转变换,坐标与图形的性质,中心对称等知识,解题的关键是掌握旋 转变换的性质,属于中考常考题型 19 (9 分)如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,且 CDAB,垂足为 P 求证:PC2PAPB 【分析】连接 AC、BC,根据圆周角定理以及同角的余角相等证得ACPABC,则根据有两个角对应 相等的三角形相似即可证得 【解答】证明:连接 AC、BC AB 为直径, ACB90 ACP+BCP90,ABC+BCP90, ACPABC, 又APCCPB90, APCCPB,

30、 , CP2APBP 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质,正确证明ACPB 是解决 本题的关键 20 (12 分)如图,BD、CE 是ABC 的高,BD 与 CE 相交于点 F,连接 DE (1)求证:ABDACE; (2)当A60,BC6,求 DE 的长 【分析】 (1)依据两角对应相等的两个三角形相似,即可得出ADBAEC; (2)依据相似三角形的对应边成比例,即可得到,再根据A 是公共角,即可判定ADE ABC,再根据相似三角形的性质即可得到 DE 的长 【解答】 (1)证明:BDAC,CEAB, AECADB90, 又EACBAD, ADBAEC; (2)解

31、:ADBAEC, , , 又DAEBAC, ADEABC, , 又BAC60, RtACE 中, , DE3 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的 公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关 键 四、解答题(本题共四、解答题(本题共 3 小题,其中小题,其中 21、22 题各题各 9 分,分,23 题题 10 分,共分,共 28 分)分) 21 (9 分)某宾馆有 50 个房间供游客居住当每个房间每天的定价为 240 元时,房间会全部住满;当每个 房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房

32、间空闲如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用房价定为多少时,宾馆利润最大?最大利润是多少? 【分析】设每个房间每天的定价增加 x 元,宾馆所得利润为 y 元,则可列方程:y(240+x20) (50 ) ,进行求解即可 【解答】解:设每个房间每天的定价增加 x 元,宾馆所得利润为 y 元, 根据题意,得 y(240+x20) (50) , 整理,得 yx2+26x+11000, 其中 0 x500,且 x 是 10 的倍数, 当 x130, 房价定为 240+130370 时,宾馆利润最大, y 最大值12690, 故房价定为 370 元时,宾馆利润最大,一天的最大利润

33、为 12690 元 【点评】此题考查的是二次函数的应用,根据题意列出方程,要求最值问题,即可转化为求二次函数的 顶点问题此题求最值也可用配方法进行求解 22 (9 分) 如图,已知二次函数 yax2+bx+c 的图象顶点在 x 轴上,且 OA1,与一次函数 yx1 的 图象交于 y 轴上一点 B 和另一交点 C (1)求抛物线的解析式; (2)点 D 为线段 BC 上一点,过点 D 作 DEx 轴,垂足为 E,交抛物线于点 F,请求出线段 DF 的最大 值 【分析】 (1)根据直线解析式求得点 B 坐标,由顶点 A 坐标设抛物线的顶点式,将点 B 坐标代入求解可 得; (2)令 DFW,根据

34、DFDEEF 可得 W 关于 x 的解析式,配方后根据 x 的范围可得最值情况 【解答】解: (1)OA1, 抛物线的顶点 A 的坐标为(1,0) , 设抛物线解析式为 ya(x1)2, 在直线 yx1 中,当 x0 时,y1, 则点 B(0,1) ,代入得:a1, 抛物线解析式为 y(x1)2x2+2x1 (2)由,解得或, 即点 B(0,1) 、点 C(3,4) , 0 x3, 令 DFW, 则 W(x1)(x2+2x1)x2+3x(x)2+, 当 x时,W最大值, 即线段 DF 的最大值 【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、一次函数和二次函数图象上点的坐标特征及直线与 抛物线相

35、交问题,熟练掌握待定系数求函数解析式是解题的关键 23 (10 分)如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D (1)求证:AC 平分DAB; (2)直线 AB、CD 交于点 E,若 AB6,AC4,请画出点 E,求 CE 的长 【分析】 (1)根据切线的性质得到 OCDC,进而证明 OCAD,根据平行线的性质、等腰三角形的性 质得出OACDAC,证明结论; (2)连接 OC,BC,根据 AB 为O 的直径,可得ACB90,根据勾股定理可得 BC 的长,证明 DACOAC,对应边成比例计算得 DC,AD,由COEDAE,可得,进而 可得 CE 的长

36、 【解答】 (1)证明:如图,连接 OC, DC 是O 的切线, OCDC, ADDC, OCAD, OCADAC, OAOC, OCAOAC, OACDAC, AC 平分DAB; (2)解:如备用图,连接 OC,BC, AB 为O 的直径, ACB90, AB6,AC4, BC2, ADCACB90,DACOAC, DACOAC, , , DC,AD, OCEADE90,CEODEA, COEDAE, , , 解得 EC 答:CE 的长为 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质,切线的性质,圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过 切点的半径是解题的关键 五、解答题(本题共五、解答题(本题共

37、3 小题,小题,24 题题 11 分,分,25、26 题各题各 12 分,共分,共 35 分)分) 24 (11 分)如图,在 RtABC 中,A90,AB6,AC8,以 BC 边上的点 P 为旋转中心,把这个 三角形按逆时针方向旋转 90得到DEF设 PCx,DEF 与ABC 重叠部分的面积为 y (1)当 x4 时,求 y 的值; (2)求 y 与 x 的函数解析式,并求自变量的取值范围 【分析】 (1)根据CMPCQNCBA,可得:SCMPSABC246,SCQNSABC 24,再利用 S四边形MNQPSCQNSCMP,求面积; (2)点 P 从 C 点逐渐向 B 移动时,有三种情况,它

38、是由 BC 上的三段组成的 P 点的三个取值范围,如 图所示,即 P 在 CP1上、P 在 P1P2上、P 在 P2B 上这三段其中的 P1、P2是两个特殊的位置:P1的位 置是 FD 与 AB 有部分重合;P2的位置是 FE 过 A 点首先求出 CP1的长对于图 2 中的 P1位置,即是 下图 1 中,当 AN0 时的情况由 PCx 及FNMCPMCAB,可得 MCx,MNx,FN x,进而可求得 x;由CP2ACAB,可得 CP2;再分三种情况:当点 P 在 CP 之间, 即 0 x时,当 P 在 P1P2之间,即x时,当 P 在 P2B 之间,即x10 时,分别 求出函数解析式即可 【解

39、答】解: (1)A90,AB6,AC8, BC10, SABCABAC6824, PFPC4,ABC 绕点 P 逆时针旋转 90得到DEF,设 AC 分别与 EF、DF 交于 M、N,BC 与 DF 交于 Q, CPMFPQ90,CF,CMPFQP, PQPM, C+CMP90,CMPFMN, F+FMN90, FNMCNQ90, CNQCPMA90,MCPQCNBCA, CMPCQNCBA, ,即, MP3, PQ3,CQCP+PQ4+37, ()2()2,()2()2, SCMPSABC246,SCQNSABC24, S四边形MNQPSCQNSCMP6, y; (2)点 P 从 C 点逐渐

40、向 B 移动时,有三种情况,它是由 BC 上的三段组成的 P 点的三个取值范围, 见图 2 所示,即 P 在 CP1上、P 在 P1P2上、P 在 P2B 上这三段其中的 P1、P2是两个特殊的位置:P1 的位置是 FD 与 AB 有部分重合;P2的位置是 FE 过 A 点下面先求出 CP1的长 对于图 2 中的 P1位置,即是图 1 中,当 AN0 时的情况由 PCx 及FNMCPMCAB,可得 MCx,MNx,FNx, NCMN+MCx+xx, ANACNC8x, 由 AN0,得 8x0,解得:x; 对于图 2 中点 P2的位置,CP2ACAB90,CC, CP2ACAB, ,即, CP2

41、; 当点 P 在 CP 之间,即 0 x时, ySFPQSFMNSCPMSFMNPCMPFNMNxxxxx2, 当 P 在 P1P2之间,即x时, ySABCSCPM24xx24x2, 当 P 在 P2B 之间,即x10 时, ySMPB (10 x) (10 x)(10 x)2, 故当 0 x时,yx2; 当x时,y24x2; 当x10 时,y(10 x)2 【点评】此题主要考查了旋转的性质,旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点 与旋转中心连线所构成的旋转角相等据此得判断出相等的对应角,得到相似三角形,利用相似三角形 的性质解答 25 (12 分)已知:如图 1,在四边形

42、 ABCD 中,ABAD,BADBCD90,连接 AC,过点 A 作 AEBC,垂足为点 E (1)填空:EAC 45 ; (2)如图 2,将ABE 以 AE 为轴翻折,点 B 的对称点为点 F,过 E 作 EGAF,垂足为点 GO 为 AC 的中点,连接 EO,延长 OG 交 BC 于点 H探究 GO、GE 和 GA 的数量关系; (3)如图 3,若(2)中,点 F 为 EC 的中点,求的值 【分析】(1) 过 A 作 AFCD, 交 CD 延长线于 F, 证出四边形 AECF 是矩形, 得出FAE90BAD, 证明AEBAFD,得出 AEAF,证出四边形 AECF 是正方形,得出ACBAC

43、D45,即可得 出结论; (2)过 O 作 OHOG,交 AF 于 H,证出ACE 是等腰直角三角形,AECE,证明OAHOEG, 得出 AHGE,HOGO,证出OGH 是等腰直角三角形,得出 GHGO,即可得出结论; (3)连接 OF,延长 AE、OH 交于点 M,由等腰直角三角形的性质得出 AECE2EF,OEF 是等腰 直角三角形,得出 OFEF,证明AEGAFEEFG,得出,因此 AG2EG 4FG,得出,证明 OF 是ACE 的中位线,得出 OFAE,OFAE,得出OFGMAG, 得出,因此 AM4OF,得出 EM2OF,由平行线得出OHFMHE, 设 FHa,则 EH2a,OFEF

44、3a,由勾股定理得出 HOa,即可得出结果 【解答】解: (1)过 A 作 AFCD,交 CD 延长线于 F,如图 1 所示: AEBC, AEBAECAFD90, BADBCD90, 四边形 AECF 是矩形, FAE90BAD, FADBAE90EAD, 在AEB 和AFD 中, AEBAFD(AAS) , AEAF, 四边形 AECF 是正方形, ACBACD45, EAC45, 故答案为:45; (2)GE+GOGA;理由如下: 过 O 作 OHOG,交 AF 于 H,如图 2 所示: 则GOH90, AEBC,EAC45, ACE 是等腰直角三角形,AECE, O 为 AC 的中点,

45、 OEAC, AOE90,OEACOAOC, OECAEC45,AOHEOG, EGAF,AEC90, EAGGEF, OAHOEG, 在OAH 和OEG 中, OAHOEG(AAS) , AHGE,HOGO, OGH 是等腰直角三角形, GHGO, AH+GHGA, GE+GOGA; (3)连接 OF,延长 AE、OH 交于点 M,如图 3 所示: 点 F 为 EC 的中点,AECE, AECE2EF,OEF 是等腰直角三角形, OFEF, AEF90,EGAF, AGEFGEAEF90, EAGFAE,EFGAFE, AEGAFEEFG, , AG2EG4FG, , O 为 AC 的中点,

46、点 F 为 EC 的中点, OF 是ACE 的中位线, OFAE,OFAE, OFGMAG, , AM4OF, EM2OF, OFAE,OFAE, OHFMHE, 设 FHa,则 EH2a,OFEF3a, HOa, 【点评】本题是四边形综合题目,考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正 方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识;本题综合性强, 有一定难度,证明三角形全等和三角形相似是解题的关键 26 (12 分)定义:将函数 l 的图象绕点 P(m,0)旋转 180,得到新的函数 l的图象,我们称函数 l是函 数 l 关于点 P 的相关函数

47、 例如:当 m2 时,函数 y(x1)2+2 关于点 P(2,0)的相关函数为 y(x3)22 (1)当 m0 时, 一次函数 yx+3 关于点 P 的相关函数为 yx3 ; 点 A(1,)在二次函数 y2ax2+4ax1(a0)关于点 P 的相关函数的图象上,求 a 的值; (2)函数 y2(x+1)23 关于点 P 的相关函数是 y2(x7)2+3,则 m 3 ; (3) 当 m1xm+2 时, 函数 yx23mx+m2关于点 P (m, 0) 的相关函数的最大值为 9, 求 m 的值 【分析】 (1)一次函数关于原点对称后 k 值不变,b 值变为相反数 先求出二次函数关于原点对称后的解析

48、式,然后将点 A 坐标代入求解 (2)分别求出两函数图象的顶点坐标,两顶点中点即为点 P,进而求 m 的值 (3)讨论抛物线对称轴与直线 xm1 和直线 xm+2 的位置关系,分别得到抛物线最高点,利用其纵 坐标为 9 列方程即可解决问题 【解答】解: (1)将函数 l 的图象绕点 P(m,0)旋转 180,得到新的函数 l的图象,我们称函数 l 是函数 l 关于点 P 的相关函数, 当 m0 时,函数 l 与 l关于原点对称, 一次函数 yx+3 关于原点对称后的解析式为 yx3, 故答案为:yx3; 二次函数 y2ax2+4ax1(a0)关于点 P 的相关函数为 y2ax2+4ax+1,

49、把点 A(1,)代入 y2ax2+4ax+1 得2a4a+1, 解得 a; (2)函数 2(x+1)23 的顶点坐标为(1,3) ,y2(x7)2+3 的顶点为(7,3) , 而点(1,3)与(7,3)的中点坐标为(3,0) , m3, 故答案为:3 (3)函数 yx23mx+m2关于点 P(m,0)的相关函数为 yx2+mx+m2, 抛物线 yx2+mx+m2(x)2+m2,顶点坐标为(,m2) , 抛物线开口向下, 当 m+2时,即 m4 时,抛物线上最高点为直线 xm+2 与抛物线交点, 把 xm+2 代入 y(x)2+m2得 ym22m4, 当 m22m49 时, 解得 m1+(舍)或 m1(舍) , 当mm1 时,即 m2 时,图象最高点为直线 xm1 与抛物线交点, 把 xm1 代入 y(x)2+m2得 ym2+m1, 当 m2+m19 时, 解得 m或 m(舍) , 当 m1mm+2 时,即4m2 时,抛物线顶点为最高点, 当m29 时, 解得 m(舍)或 m, 综上所述,m 的值为或 【点评】本题考查二次函数的综合应用,解题关键是熟练掌握二次函数的解析式变化规律及用分类讨论 的方法求解