1、2019-2020 学年辽宁省大连市普金新区九年级（上）期中数学试卷学年辽宁省大连市普金新区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2点 A（6，7）关于原点的对称点的坐标为（ ） A （6，7） B （6，7） C （6，7） D （7，6） 3如图，在O 中，AOB40，则ADC 的度数是（ ） A40 B30 C20 D15 4如图，ABC
2、是ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若ABC的面积与ABC 的面积比是 4：9，则 OB：OB 为（ ） A2：3 B3：2 C4：5 D4：9 5下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C菱形 D平行四边形 6抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，与 x 轴相交于 A、B 两点，已知点 B 坐标为（2，0） ，则点 A 坐标为（ ） A （4，0） B （3，0） C （0，3） D （0，4） 7将抛物线 y（x+3）22 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的抛物线解析式为（ ） Ay（x+6）2 By
3、x22 Cy（x6）2 Dy（x+6）2 8在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、3 为半径的圆，一定（ ） A与 x 轴相切，与 y 轴相切 B与 x 轴相切，与 y 轴相交 C与 x 轴相交，与 y 轴相切 D与 x 轴相交，与 y 轴相交 9如图，DEC 是由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到的图形，若点 E 恰好落在 AB 上，且A20，DE 与 AC 交于点 F，则AFD 的度数是（ ） A70 B60 C50 D40 10如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，其顶点 P 在线段 MN 上移动若点 M、N 的坐标分别为（1，2） 、 （1，2
4、） ，点 B 的横坐标的最大值为 3，则点 A 的横坐标的最小值为 （ ） A3 B1 C1 D3 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11如图所示，将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点 B，A，C在同一条直线上，则三 角板 ABC 旋转的角度是 12已知三角形的三条边分别为 3、4、5，则该三角形的外接圆半径是 13如图，AB 是O 的弦，直径 CDAB 垂足为 E，且 AB8，CE2，则 OC 14抛物线 y2x24x3，当1x4 时，y 的取值范围是 15如图，抛物线 yx22x+k（k0）与 x
5、轴相交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，其中 x10 x2，当 x x1+2 时，y 0（填“” “”或“”号） 16如图，CD 是O 的直径，CD4，ACD20，点 B 为弧 AD 的中点，点 P 是直径 CD 上的一个 动点，则 PA+PB 的最小值为 三、解笞题（本题共三、解笞题（本题共 4 小题，其中小题，其中 17、18、19 题各题各 9 分，分，20 题题 12 分，共分，共 39 分）分） 17 （9 分）一个二次函数的图象经过（1，10） ， （1，4） ， （2，7）三点，求这个二次函数的解析式并写出 图象的顶点 18 （9 分）如图，平面直角坐标系中，A、B、C
6、坐标分别是（2，4） 、 （0，4） 、 （1，1） （1）将ABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90后得A1B1C1，画出A1B1C1； （2）写出 A1、B1、C1的坐标； （3）画出ABC 关于点 O 的中心对称图形A2B2C2 19 （9 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，且 CDAB，垂足为 P 求证：PC2PAPB 20 （12 分）如图，BD、CE 是ABC 的高，BD 与 CE 相交于点 F，连接 DE （1）求证：ABDACE； （2）当A60，BC6，求 DE 的长 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 21、22 题各题各 9 分，分
7、，23 题题 10 分，共分，共 28 分）分） 21 （9 分）某宾馆有 50 个房间供游客居住当每个房间每天的定价为 240 元时，房间会全部住满；当每个 房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？ 22 （9 分） 如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象顶点在 x 轴上，且 OA1，与一次函数 yx1 的 图象交于 y 轴上一点 B 和另一交点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为线段 BC 上一点，过点 D 作 DEx 轴，垂足为 E，交抛物线于点 F
8、，请求出线段 DF 的最大 值 23 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D （1）求证：AC 平分DAB； （2）直线 AB、CD 交于点 E，若 AB6，AC4，请画出点 E，求 CE 的长 五、解答题（本题共五、解答题（本题共 3 小题，小题，24 题题 11 分，分，25、26 题各题各 12 分，共分，共 35 分）分） 24 （11 分）如图，在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，以 BC 边上的点 P 为旋转中心，把这个 三角形按逆时针方向旋转 90得到DEF设 PCx，DEF 与ABC 重叠部分的面积为 y （
9、1）当 x4 时，求 y 的值； （2）求 y 与 x 的函数解析式，并求自变量的取值范围 25 （12 分）已知：如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BADBCD90，连接 AC，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E （1）填空：EAC ； （2）如图 2，将ABE 以 AE 为轴翻折，点 B 的对称点为点 F，过 E 作 EGAF，垂足为点 GO 为 AC 的中点，连接 EO，延长 OG 交 BC 于点 H探究 GO、GE 和 GA 的数量关系； （3）如图 3，若（2）中，点 F 为 EC 的中点，求的值 26 （12 分）定义：将函数 l 的图象绕点 P（m，0）旋转 180，
10、得到新的函数 l的图象，我们称函数 l是函 数 l 关于点 P 的相关函数 例如：当 m2 时，函数 y（x1）2+2 关于点 P（2，0）的相关函数为 y（x3）22 （1）当 m0 时， 一次函数 yx+3 关于点 P 的相关函数为 ； 点 A（1，）在二次函数 y2ax2+4ax1（a0）关于点 P 的相关函数的图象上，求 a 的值； （2）函数 y2（x+1）23 关于点 P 的相关函数是 y2（x7）2+3，则 m ； （3） 当 m1xm+2 时， 函数 yx23mx+m2关于点 P （m， 0） 的相关函数的最大值为 9， 求 m 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、
11、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形轴对称图形的关键
12、是寻找对称轴，图形两部分折 叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 2点 A（6，7）关于原点的对称点的坐标为（ ） A （6，7） B （6，7） C （6，7） D （7，6） 【分析】根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系进行判断即可 【解答】解：点 A（6，7）关于原点的对称点 B 的坐标为（6，7） ， 故选：C 【点评】本题考查关于原点对称点的坐标特征，掌握点 P（a，b）与点 P1（a，b）关于原点对称是 正确判断的前提 3如图，在O 中，AOB40，则ADC 的度数是（ ） A40 B30 C20 D15 【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出AO
13、CAOB40，再由圆周角定理即可得出结论 【解答】解：连接 CO，如图： 在O 中， AOCAOB， AOB40， AOC40， ADCAOC20， 故选：C 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 4如图，ABC是ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若ABC的面积与ABC 的面积比是 4：9，则 OB：OB 为（ ） A2：3 B3：2 C4：5 D4：9 【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可 【解答】解：由位似变换的性质
14、可知，ABAB，ACAC， ABCABC ABC与ABC 的面积的比 4：9， ABC与ABC 的相似比为 2：3， 故选：A 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相 交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 5下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C菱形 D平行四边形 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本
15、选项错误； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原来的图形重合 6抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，与 x 轴相交于 A、B 两点，已知点 B 坐标为（2，0） ，则点 A 坐标为（ ） A （4，0） B （3，0） C （0，3） D （0，4） 【分析】利用抛物线的对称性得到 A 点坐标为（4，0） 【解答】解：抛物线 yax2
16、+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点， 点 A 和点 B 关于直线 x1 对称， B（2，0） ， A 点坐标为（4，0） ， 故选：A 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质 7将抛物线 y（x+3）22 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的抛物线解析式为（ ） Ay（x+6）2 Byx22 Cy（x6）2 Dy（x+6）2 【分析】根据左加右减，上加下减，可得答案 【解答】解：将抛物线 y（x+3）22 向
17、左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的抛物线解析 式为 y（x+3+3）22+2，即 y（x+6）2， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减 8在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、3 为半径的圆，一定（ ） A与 x 轴相切，与 y 轴相切 B与 x 轴相切，与 y 轴相交 C与 x 轴相交，与 y 轴相切 D与 x 轴相交，与 y 轴相交 【分析】由已知点（2， 3） 可求该点到 x 轴，y 轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系设 d 为直线与圆的距离，r 为圆的半径，则有若 dr，则直线与圆相交；若 dr，
18、则直线于圆相切；若 d r，则直线与圆相离 【解答】解：点（2，3）到 x 轴的距离是 3，等于半径， 到 y 轴的距离是 2，小于半径， 圆与 y 轴相交，与 x 轴相切 故选：B 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小 关系完成判定 9如图，DEC 是由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到的图形，若点 E 恰好落在 AB 上，且A20，DE 与 AC 交于点 F，则AFD 的度数是（ ） A70 B60 C50 D40 【分析】 由旋转的性质可得 CBCE， BDEC70， 由等腰三角形的性质可求BCEB70， 即可求解 【解答】解：A2
19、0，ACB90， B70， DEC 是由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到的图形， CBCE，BDEC70， BCEB70， AEF40， AFDA+AEF60， 故选：B 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 10如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，其顶点 P 在线段 MN 上移动若点 M、N 的坐标分别为（1，2） 、 （1，2） ，点 B 的横坐标的最大值为 3，则点 A 的横坐标的最小值为 （ ） A3 B1 C1 D3 【分析】根据顶点 P 在线段 MN 上移动，又知点 M、N 的坐标分别为（1，2） 、
20、（1，2） ，分别求 出对称轴过点 M 和 N 时的情况，即可判断出 A 点坐标的最小值 【解答】解：根据题意知，点 B 的横坐标的最大值为 3， 即可知当对称轴过 N 点时，点 B 的横坐标最大， 此时的 A 点坐标为（1，0） ， 当可知当对称轴过 M 点时，点 A 的横坐标最小，此时的 B 点坐标为（1，0） ， 此时 A 点的坐标最小为（3，0） ， 故点 A 的横坐标的最小值为3， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴 的特点，此题难度一般 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分
21、，共 18 分）分） 11如图所示，将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点 B，A，C在同一条直线上，则三 角板 ABC 旋转的角度是 150或 210 【分析】由旋转的性质可得旋转角为CAC，由平角的性质可求解 【解答】解：当顺时针旋转时， 将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点 B，A，C在同一条直线上， 旋转角为CAC，BAC+CAC180， CAC150， 当逆时针旋转时，旋转角为 210， 故答案为：150或 210 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键 12已知三角形的三条边分别为 3、4、5，则该三角形的外接圆半径是
22、 2.5 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状，根据其外接圆的半径等于斜边的一半即可求得 三角形的外接圆半径 【解答】解：三角形的三条边长分别为 3、4、5， 32+4252， 此三角形是以 5 为斜边的直角三角形， 这个三角形外接圆的半径为 522.5 故答案为：2.5 【点评】本题主要考查直角三角形的外接圆半径的求法；判断出三角形的形状是解决本题的关键 13如图，AB 是O 的弦，直径 CDAB 垂足为 E，且 AB8，CE2，则 OC 3 【分析】连接 OA，根据垂径定理求出 AE，设O 的半径为 R，根据勾股定理得出方程，再求出方程的 解即可 【解答】解：连接 AO， 直
23、径 CDAB 垂足为 E，AB8， AEBE4，AEO90， 设O 的半径为 R， 由勾股定理得：OA2AE2+OE2， AOOCR，CE2，AE4， R242+（R2）2， 解得：R5， 即 OC5， OEOCCE523， 故答案为：3 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦 的直径平分这条弦 14抛物线 y2x24x3，当1x4 时，y 的取值范围是 5y13 【分析】首先利用配方法求出二次函数的最值，进而利用 x 的取值范围得出 y 的取值范围 【解答】解：y2x24x3 2（x22x）3， 2（x22x+11）3， 2（x1）25，
24、当 x1 时，y最小值5， 1x4，且|41|11|， x4 时，y最大13， 当1x4 时，y 的取值范围是：5y13 故答案为5y13 【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及配方法的应用，根据已知得出顶点坐标是解题关键 15如图，抛物线 yx22x+k（k0）与 x 轴相交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，其中 x10 x2，当 x x1+2 时，y 0（填“” “”或“”号） 【分析】根据抛物线方程求出对称轴方程 x1，然后根据二次函数的图象的对称性知 x1与对称轴 x1 的距离大于 1，所以当 xx1+2 时，抛物线图象在 x 轴下方，即 y0 【解答】解：抛物线 yx22x
25、+k（k0）的对称轴方程是 x1， 又x10， x1与对称轴 x1 的距离大于 1， x1+2x2， 当 xx1+2 时，抛物线图象在 x 轴下方， 即 y0 故答案是： 【点评】本题考查了二次函数的性质解答此题时，利用了二次函数图象的对称性 16如图，CD 是O 的直径，CD4，ACD20，点 B 为弧 AD 的中点，点 P 是直径 CD 上的一个 动点，则 PA+PB 的最小值为 2 【分析】首先作 A 关于 CD 的对称点 Q，连接 BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的 性质解答 【解答】解：作 A 关于 CD 的对称点 Q，连接 CQ，BQ，BQ 交 CD 于 P，此时
26、 AP+PBQP+PBQB， 根据两点之间线段最短，PA+PB 的最小值为 QB 的长度， 连接 OQ，OB， 点 B 为弧 AD 的中点， BODACD20， QOD2QCD22040， BOQ20+4060 OBOQ， BOQ 是等边三角形， BQOBCD2，即 PA+PB 的最小值为 2 故答案为 2 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此题的关键是找到点 A 的对称点，把题目的问题转 化为两点之间线段最短解答 三、解笞题（本题共三、解笞题（本题共 4 小题，其中小题，其中 17、18、19 题各题各 9 分，分，20 题题 12 分，共分，共 39 分）分） 17 （9 分）一
27、个二次函数的图象经过（1，10） ， （1，4） ， （2，7）三点，求这个二次函数的解析式并写出 图象的顶点 【分析】设二次函数的解析式为 yax2+bx+c，把（1，10） ， （1，4） ， （2，7）三点坐标代入，列方程 组求 a、b、c 的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标 【解答】解：设二次函数的解析式为 yax2+bx+c，把（1，10） ， （1，4） ， （2，7）各点代入上式得 ， 解得 则抛物线解析式为 y2x23x+5； 由 y2x23x+52（x）2+可知，抛物线顶点坐标为（，） 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征， 用待定
28、系数法求二次函数解析式， 二次函数的性质， 熟练掌握待定系数法是解题的关键 18 （9 分）如图，平面直角坐标系中，A、B、C 坐标分别是（2，4） 、 （0，4） 、 （1，1） （1）将ABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90后得A1B1C1，画出A1B1C1； （2）写出 A1、B1、C1的坐标； （3）画出ABC 关于点 O 的中心对称图形A2B2C2 【分析】 （1）根据旋转的性质，找到A1B1C1的三个顶点位置即可； （2）根据点的位置可直接写出坐标； （3）根据中心对称的性质，找到A2B2C2的三个顶点位置即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求； （2）由（1）知：A
29、1 （4，2） ，B1 （4，0） ，C1 （1，1） ； （3）如图，A2B2C2即为所求 【点评】本题主要考查了作图旋转变换，坐标与图形的性质，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋 转变换的性质，属于中考常考题型 19 （9 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，且 CDAB，垂足为 P 求证：PC2PAPB 【分析】连接 AC、BC，根据圆周角定理以及同角的余角相等证得ACPABC，则根据有两个角对应 相等的三角形相似即可证得 【解答】证明：连接 AC、BC AB 为直径， ACB90 ACP+BCP90，ABC+BCP90， ACPABC， 又APCCPB90， APCCPB，
30、 ， CP2APBP 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，正确证明ACPB 是解决 本题的关键 20 （12 分）如图，BD、CE 是ABC 的高，BD 与 CE 相交于点 F，连接 DE （1）求证：ABDACE； （2）当A60，BC6，求 DE 的长 【分析】 （1）依据两角对应相等的两个三角形相似，即可得出ADBAEC； （2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到，再根据A 是公共角，即可判定ADE ABC，再根据相似三角形的性质即可得到 DE 的长 【解答】 （1）证明：BDAC，CEAB， AECADB90， 又EACBAD， ADBAEC； （2）解
31、：ADBAEC， ， ， 又DAEBAC， ADEABC， ， 又BAC60， RtACE 中， ， DE3 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的 公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关 键 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 21、22 题各题各 9 分，分，23 题题 10 分，共分，共 28 分）分） 21 （9 分）某宾馆有 50 个房间供游客居住当每个房间每天的定价为 240 元时，房间会全部住满；当每个 房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房
32、间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？ 【分析】设每个房间每天的定价增加 x 元，宾馆所得利润为 y 元，则可列方程：y（240+x20） （50 ） ，进行求解即可 【解答】解：设每个房间每天的定价增加 x 元，宾馆所得利润为 y 元， 根据题意，得 y（240+x20） （50） ， 整理，得 yx2+26x+11000， 其中 0 x500，且 x 是 10 的倍数， 当 x130， 房价定为 240+130370 时，宾馆利润最大， y 最大值12690， 故房价定为 370 元时，宾馆利润最大，一天的最大利润
33、为 12690 元 【点评】此题考查的是二次函数的应用，根据题意列出方程，要求最值问题，即可转化为求二次函数的 顶点问题此题求最值也可用配方法进行求解 22 （9 分） 如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象顶点在 x 轴上，且 OA1，与一次函数 yx1 的 图象交于 y 轴上一点 B 和另一交点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为线段 BC 上一点，过点 D 作 DEx 轴，垂足为 E，交抛物线于点 F，请求出线段 DF 的最大 值 【分析】 （1）根据直线解析式求得点 B 坐标，由顶点 A 坐标设抛物线的顶点式，将点 B 坐标代入求解可 得； （2）令 DFW，根据
34、DFDEEF 可得 W 关于 x 的解析式，配方后根据 x 的范围可得最值情况 【解答】解： （1）OA1， 抛物线的顶点 A 的坐标为（1，0） ， 设抛物线解析式为 ya（x1）2， 在直线 yx1 中，当 x0 时，y1， 则点 B（0，1） ，代入得：a1， 抛物线解析式为 y（x1）2x2+2x1 （2）由，解得或， 即点 B（0，1） 、点 C（3，4） ， 0 x3， 令 DFW， 则 W（x1）（x2+2x1）x2+3x（x）2+， 当 x时，W最大值， 即线段 DF 的最大值 【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、一次函数和二次函数图象上点的坐标特征及直线与 抛物线相
35、交问题，熟练掌握待定系数求函数解析式是解题的关键 23 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D （1）求证：AC 平分DAB； （2）直线 AB、CD 交于点 E，若 AB6，AC4，请画出点 E，求 CE 的长 【分析】 （1）根据切线的性质得到 OCDC，进而证明 OCAD，根据平行线的性质、等腰三角形的性 质得出OACDAC，证明结论； （2）连接 OC，BC，根据 AB 为O 的直径，可得ACB90，根据勾股定理可得 BC 的长，证明 DACOAC，对应边成比例计算得 DC，AD，由COEDAE，可得，进而 可得 CE 的长
36、 【解答】 （1）证明：如图，连接 OC， DC 是O 的切线， OCDC， ADDC， OCAD， OCADAC， OAOC， OCAOAC， OACDAC， AC 平分DAB； （2）解：如备用图，连接 OC，BC， AB 为O 的直径， ACB90， AB6，AC4， BC2， ADCACB90，DACOAC， DACOAC， ， ， DC，AD， OCEADE90，CEODEA， COEDAE， ， ， 解得 EC 答：CE 的长为 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，切线的性质，圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过 切点的半径是解题的关键 五、解答题（本题共五、解答题（本题共
37、3 小题，小题，24 题题 11 分，分，25、26 题各题各 12 分，共分，共 35 分）分） 24 （11 分）如图，在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，以 BC 边上的点 P 为旋转中心，把这个 三角形按逆时针方向旋转 90得到DEF设 PCx，DEF 与ABC 重叠部分的面积为 y （1）当 x4 时，求 y 的值； （2）求 y 与 x 的函数解析式，并求自变量的取值范围 【分析】 （1）根据CMPCQNCBA，可得：SCMPSABC246，SCQNSABC 24，再利用 S四边形MNQPSCQNSCMP，求面积； （2）点 P 从 C 点逐渐向 B 移动时，有三种情况，它
38、是由 BC 上的三段组成的 P 点的三个取值范围，如 图所示，即 P 在 CP1上、P 在 P1P2上、P 在 P2B 上这三段其中的 P1、P2是两个特殊的位置：P1的位 置是 FD 与 AB 有部分重合；P2的位置是 FE 过 A 点首先求出 CP1的长对于图 2 中的 P1位置，即是 下图 1 中，当 AN0 时的情况由 PCx 及FNMCPMCAB，可得 MCx，MNx，FN x，进而可求得 x；由CP2ACAB，可得 CP2；再分三种情况：当点 P 在 CP 之间， 即 0 x时，当 P 在 P1P2之间，即x时，当 P 在 P2B 之间，即x10 时，分别 求出函数解析式即可 【解
39、答】解： （1）A90，AB6，AC8， BC10， SABCABAC6824， PFPC4，ABC 绕点 P 逆时针旋转 90得到DEF，设 AC 分别与 EF、DF 交于 M、N，BC 与 DF 交于 Q， CPMFPQ90，CF，CMPFQP， PQPM， C+CMP90，CMPFMN， F+FMN90， FNMCNQ90， CNQCPMA90，MCPQCNBCA， CMPCQNCBA， ，即， MP3， PQ3，CQCP+PQ4+37， （）2（）2，（）2（）2， SCMPSABC246，SCQNSABC24， S四边形MNQPSCQNSCMP6， y； （2）点 P 从 C 点逐渐
40、向 B 移动时，有三种情况，它是由 BC 上的三段组成的 P 点的三个取值范围， 见图 2 所示，即 P 在 CP1上、P 在 P1P2上、P 在 P2B 上这三段其中的 P1、P2是两个特殊的位置：P1 的位置是 FD 与 AB 有部分重合；P2的位置是 FE 过 A 点下面先求出 CP1的长 对于图 2 中的 P1位置，即是图 1 中，当 AN0 时的情况由 PCx 及FNMCPMCAB，可得 MCx，MNx，FNx， NCMN+MCx+xx， ANACNC8x， 由 AN0，得 8x0，解得：x； 对于图 2 中点 P2的位置，CP2ACAB90，CC， CP2ACAB， ，即， CP2
41、； 当点 P 在 CP 之间，即 0 x时， ySFPQSFMNSCPMSFMNPCMPFNMNxxxxx2， 当 P 在 P1P2之间，即x时， ySABCSCPM24xx24x2， 当 P 在 P2B 之间，即x10 时， ySMPB （10 x） （10 x）（10 x）2， 故当 0 x时，yx2； 当x时，y24x2； 当x10 时，y（10 x）2 【点评】此题主要考查了旋转的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点 与旋转中心连线所构成的旋转角相等据此得判断出相等的对应角，得到相似三角形，利用相似三角形 的性质解答 25 （12 分）已知：如图 1，在四边形
42、 ABCD 中，ABAD，BADBCD90，连接 AC，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E （1）填空：EAC 45 ； （2）如图 2，将ABE 以 AE 为轴翻折，点 B 的对称点为点 F，过 E 作 EGAF，垂足为点 GO 为 AC 的中点，连接 EO，延长 OG 交 BC 于点 H探究 GO、GE 和 GA 的数量关系； （3）如图 3，若（2）中，点 F 为 EC 的中点，求的值 【分析】（1） 过 A 作 AFCD， 交 CD 延长线于 F， 证出四边形 AECF 是矩形， 得出FAE90BAD， 证明AEBAFD，得出 AEAF，证出四边形 AECF 是正方形，得出ACBAC
43、D45，即可得 出结论； （2）过 O 作 OHOG，交 AF 于 H，证出ACE 是等腰直角三角形，AECE，证明OAHOEG， 得出 AHGE，HOGO，证出OGH 是等腰直角三角形，得出 GHGO，即可得出结论； （3）连接 OF，延长 AE、OH 交于点 M，由等腰直角三角形的性质得出 AECE2EF，OEF 是等腰 直角三角形，得出 OFEF，证明AEGAFEEFG，得出，因此 AG2EG 4FG，得出，证明 OF 是ACE 的中位线，得出 OFAE，OFAE，得出OFGMAG， 得出，因此 AM4OF，得出 EM2OF，由平行线得出OHFMHE， 设 FHa，则 EH2a，OFEF
44、3a，由勾股定理得出 HOa，即可得出结果 【解答】解： （1）过 A 作 AFCD，交 CD 延长线于 F，如图 1 所示： AEBC， AEBAECAFD90， BADBCD90， 四边形 AECF 是矩形， FAE90BAD， FADBAE90EAD， 在AEB 和AFD 中， AEBAFD（AAS） ， AEAF， 四边形 AECF 是正方形， ACBACD45， EAC45， 故答案为：45； （2）GE+GOGA；理由如下： 过 O 作 OHOG，交 AF 于 H，如图 2 所示： 则GOH90， AEBC，EAC45， ACE 是等腰直角三角形，AECE， O 为 AC 的中点，
45、 OEAC， AOE90，OEACOAOC， OECAEC45，AOHEOG， EGAF，AEC90， EAGGEF， OAHOEG， 在OAH 和OEG 中， OAHOEG（AAS） ， AHGE，HOGO， OGH 是等腰直角三角形， GHGO， AH+GHGA， GE+GOGA； （3）连接 OF，延长 AE、OH 交于点 M，如图 3 所示： 点 F 为 EC 的中点，AECE， AECE2EF，OEF 是等腰直角三角形， OFEF， AEF90，EGAF， AGEFGEAEF90， EAGFAE，EFGAFE， AEGAFEEFG， ， AG2EG4FG， ， O 为 AC 的中点，
46、点 F 为 EC 的中点， OF 是ACE 的中位线， OFAE，OFAE， OFGMAG， ， AM4OF， EM2OF， OFAE，OFAE， OHFMHE， 设 FHa，则 EH2a，OFEF3a， HOa， 【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正 方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；本题综合性强， 有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键 26 （12 分）定义：将函数 l 的图象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新的函数 l的图象，我们称函数 l是函 数 l 关于点 P 的相关函数
47、 例如：当 m2 时，函数 y（x1）2+2 关于点 P（2，0）的相关函数为 y（x3）22 （1）当 m0 时， 一次函数 yx+3 关于点 P 的相关函数为 yx3 ； 点 A（1，）在二次函数 y2ax2+4ax1（a0）关于点 P 的相关函数的图象上，求 a 的值； （2）函数 y2（x+1）23 关于点 P 的相关函数是 y2（x7）2+3，则 m 3 ； （3） 当 m1xm+2 时， 函数 yx23mx+m2关于点 P （m， 0） 的相关函数的最大值为 9， 求 m 的值 【分析】 （1）一次函数关于原点对称后 k 值不变，b 值变为相反数 先求出二次函数关于原点对称后的解析
48、式，然后将点 A 坐标代入求解 （2）分别求出两函数图象的顶点坐标，两顶点中点即为点 P，进而求 m 的值 （3）讨论抛物线对称轴与直线 xm1 和直线 xm+2 的位置关系，分别得到抛物线最高点，利用其纵 坐标为 9 列方程即可解决问题 【解答】解： （1）将函数 l 的图象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新的函数 l的图象，我们称函数 l 是函数 l 关于点 P 的相关函数， 当 m0 时，函数 l 与 l关于原点对称， 一次函数 yx+3 关于原点对称后的解析式为 yx3， 故答案为：yx3； 二次函数 y2ax2+4ax1（a0）关于点 P 的相关函数为 y2ax2+4ax+1，
49、把点 A（1，）代入 y2ax2+4ax+1 得2a4a+1， 解得 a； （2）函数 2（x+1）23 的顶点坐标为（1，3） ，y2（x7）2+3 的顶点为（7，3） ， 而点（1，3）与（7，3）的中点坐标为（3，0） ， m3， 故答案为：3 （3）函数 yx23mx+m2关于点 P（m，0）的相关函数为 yx2+mx+m2， 抛物线 yx2+mx+m2（x）2+m2，顶点坐标为（，m2） ， 抛物线开口向下， 当 m+2时，即 m4 时，抛物线上最高点为直线 xm+2 与抛物线交点， 把 xm+2 代入 y（x）2+m2得 ym22m4， 当 m22m49 时， 解得 m1+（舍）或 m1（舍） ， 当mm1 时，即 m2 时，图象最高点为直线 xm1 与抛物线交点， 把 xm1 代入 y（x）2+m2得 ym2+m1， 当 m2+m19 时， 解得 m或 m（舍） ， 当 m1mm+2 时，即4m2 时，抛物线顶点为最高点， 当m29 时， 解得 m（舍）或 m， 综上所述，m 的值为或 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的解析式变化规律及用分类讨论 的方法求解