1、第 1 页，共 20 页 2021-2022 学年学年人教版人教版九年级（上）期中数学九年级（上）期中数学模拟模拟试卷试卷（三）（三） 一、选择题（本大题共 14 小题，共 42 分） 1. 下列图形是轴对称而不是中心对称图形的是( ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等边三角形 2. 抛物线 = 1 2( + 1) 2 2的顶点坐标是( ) A. (1,2) B. (1,2) C. (1,2) D. (1,2) 3. 下列一元二次方程中，常数项为0的是( ) A. 2+ = 1 B. 22 12 = 0 C. 2(2 1) = 3( 1) D. 2(2+ 1) = + 2 4
2、. 方程22 + 1 = 0的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 5. 下列说法正确的是( ) A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆的内接四边形的对角相等 C. 三点确定一个圆 D. 三角形的任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心 6. 如图， 是 的内接三角形， = 45， = 5， 的直径为( ) A. 5 B. 52 C. 53 D. 10 7. 如图， 绕点逆时针旋转90得，其 中 = 3， = 5， = = = 90，则的长为( ) A. B. C. D. 8. 5.下列二次函数中，其图象对称轴是 的是 ( )
3、 A. B. C. D. 第 2 页，共 20 页 9. 将抛物线 = 2 6 + 5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( ) A. = ( 4)2 6 B. = ( 1)2 3 C. = ( 2)2 2 D. = ( 4)2 2 10. 如图，为 的直径，点是弧的中点.过点 作 于点，交 于点，若 = 8， = 2，则 的半径长是( ) A. 5 B. 6.5 C. 7.5 D. 8 11. 方程22+ 6 1 = 0的两根为1、2，则1+ 2等于( ) A. 6 B. 6 C. 3 D. 3 12. 如图，点，分别在轴，轴正半轴上(含坐标原点)滑动，且满
4、足 + = 6，点为线段的中 点，将线段绕点顺时针旋转90得到线段，当由点向右移动时，点移动的路径长为( ) A. 3 B. 4 C. 32 D. 3 2 13. 二次函数 = 2+ (6 ) + 8，当 2时，随 的增大而减小； 当 1 2时，的取值范围是( ) A. 1 4 4 B. 1 2 2 C. 1 8 8 D. 1 4 2 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15 分） 15. 写一个开口向下，与轴的交点纵坐标为1的抛物线的解析式 16. 在平面直角坐标内，点(,3)，与点(1,)关于原点对称，那么 + =_ 17. 已知关于的一元二次方程：2 ( + 2) + 2+ 1 = 0。
5、如果方程的两个实数根1，2，(1 0；2 0；2 + 三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分） 20. 解下列方程： (1)2 2 2 = 0； (2)(2 3)2= (3 2)2 21. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为(2,6)，(0,4)，(3,3).(正方形网格的每个小 正方形的边长都是1个单位长度) (1) 平移后，点的对应点1的坐标为(6,6)，画出平移后的 111； (2)画出 111绕点1旋转180得到的 221； (3) 绕点(_)旋转180可以得到 221，请连接、2，并求在旋转过程中所扫过 的面积 第 4 页，共 20 页 22. 如图， 在矩形中， =
6、 4.5， = 6， 点是线段上的一个动点， 以点为 圆心，为半径作 ，连接 (1)当 经过的中点时，的长为_； (2)当平分时，判断与 的位置关系，说明理由，并求出的长 23. 如图，经过原点的抛物 = 2+ + ( 0)与轴交于另一点 (3 2,0)，在第一象限内与直线 = 交于(2,) (1)求点的坐标 (2)求这条抛物线的表达式 (3)在第四象限内的抛物线上有一点，满足以，为顶点的三角形 的 面积为2，求点的坐标 24. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元调查发现：销售单价是30元时，月销售量 是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能
7、高于40元设每件玩具 的销售单价上涨了元时(为正整数)，月销售利润为元 (1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围 (2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ (3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 第 5 页，共 20 页 25. 如图，是 的直径，为 上一点，过点的切线交延长线于点， ，垂足为，交 于点 (1)求证：平分； (2)若 = 3， = 1，求的长 26. 已知抛物线 = 2+ 和直线： = (1)求证：抛物线与直线至少有一个公共点； (2)若抛物线与直线交于，两点，当线段上恰有2个纵坐标是整数的点时，求的取值范围； (3
8、)当 0时，将直线向上平移 + 1个单位长度得直线，若抛物线的顶点在直线上，且与直线的 另一个交点为，当点在直线上方的抛物线上时，求四边形面积的最大值 第 6 页，共 20 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形故正确 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折 叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原
9、图重合 2.【答案】 【解析】解：由 = 1 2( + 1) 2 2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,2) 故选 A 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标 考查将解析式化为顶点式 = ( )2+ ，顶点坐标是(,)，对称轴是 = 3.【答案】 【解析】解：、2+ 1 = 0，常数项为1，故本选项错误； B、22 12 = 0，常数项为12，故本选项错误； C、22 3 + 1 = 0，常数项为1，故本选项错误； D、22 = 0，常数项为0，故本选项正确 故选 D 要确定方程的常数项，首先要把方程化成一般形式 本题考查了一元二次方程的一般形式，注意一元二次方程的一般形式是：2+ +
10、 = 0(,是常数且 0)特别要注意 0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中2叫二次项，叫 一次项，是常数项其中，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 4.【答案】 第 7 页，共 20 页 【解析】解：= 12 4 2 1 = 7 0，方程有两个不相等 的实数根；当= 0，方程有两个相等的实数根；当 0， 1+ 2= 3， 故选： 12.【答案】 【解析】解：如图， + = 6，点为线段的中点， = ， 由旋转可知， = ， 当点在点处时， = 3， 此时(3,0)， + = 6， = 45， 当点在(6,0)处时即处， = 3， = 90， = 45， 为等腰直角三角形， =
11、 32， 点移动的路径长为32， 故选： 分别讨论点在点处，点在(6,0)处时，点的位置，从而确定点的轨迹为线段，再结合图形即可求解 本题考查点的运动轨迹，能够根据点运动情况确定点的运动轨迹，数形结合解题是关键 13.【答案】 【解析】解：当 2时，随的增大而减小；当 2时，随的增大而增大， 而 = 1 0， 抛物线的对称轴为直线 = 2， 6; 2(;1) = 2， = 10 故选： 第 11 页，共 20 页 根据二次函数的性质得到抛物线开口向下时， 在对称轴右侧， 随的增大而减小， 而在对称轴左侧， 随的 增大而增大，则可得到抛物线的对称轴为直线 = 2，然后根据对称轴方程即可求出的值
12、本题考查了二次函数的性质：二次函数 = 2+ + ( 0)的图象为抛物线，当 0， (4 2)2 4(2 ) 0， ( 1)( 2) 0， 1 0 2 0或 1 0 2 0， 解得， 2， 抛物线与轴的交点在轴的上方， 0， 2 0， 2， 1， 把(,)代入 = 2+ 2(2 ) + 2 得， = 2+ 3 + 2， 1 0，对称轴是直线 = 3 2， 1 2 1， 随着的增大而增大， 当 = 1 2时， = 1 4， 当 = 1时， = 1， 1 4 0，求出 2，最 后根据抛物线的递增情况求的取值范围 本题考查了二次函数的性质及坐标特点，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键 15.【答案
13、】 = 2+ 1(答案不唯一) 【解析】试题分析：首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为1得 到值即可得到函数的解析式 开口向下， = 2+ + 中 0，则1,2同号 (1 2)满足1+ |2| = 3 0 1 0，由(1 2)满足1+ |2| = 3，得到 0 1 0， 2 0， 0， 0，正确； 抛物线与轴有两个不同交点， = 2 4 0，2 4，错误； 当 = 2时， = 4 2 + 0，正确； 0 2 1， 2 0 ，正确 故答案为： 由抛物线的开口向上、对称轴在轴右侧、抛物线与轴交于轴负半轴，即可得出 0、 0、 0，正确；由抛物线与轴有两个不同的交点
14、，可得出 = 2 4 0，2 4， 错误；由当 = 2时 0，可得出4 2 + 0，正确；由抛物线对称轴的大致范围，可得 出2 0、 0 ，正确综上即可得出结论 第 14 页，共 20 页 本题考查了二次函数图象与系数的关系以及命题， 观察函数图象， 逐一分析四条结论的正误是解题的关键 20.【答案】解：(1)移项，得：2 2 = 2， 配方，得：2 2 + 1 = 2 + 1， 即( 1)2= 3， 两边开平方，得： 1 = 3， 解得：1= 1 + 3，2 = 1 3； (2)(2 3)2= (3 2)2， 两边开方得：2 3 = (3 2)， 解得：1= 1，2= 1 【解析】(1)移项
15、后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； (2)两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可 本题考查了解一元二次方程， 能选择适当的方法解方程是解此题的关键， 注意： 解一元二次方程的方法有： 直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等 21.【答案】5，3 【解析】解：(1)如图， 111即为所求 (2)如图， 221即为所求 (3) 绕点(5,3)旋转180可以得到 221，在旋转过程中所扫过的面积= 1 2 (32)2= 9 故答案为：5，3 (1)利用普遍化的性质分别作出，的对应点1，1，1即可 (2)利用旋转变换的性质分别作出1，1的对应点2，2即可
16、(3)对应点连线的交点即为点.利用扇形面积公式求解 第 15 页，共 20 页 本题考查作图旋转变换，平移变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质， 属于中考常考题型 22.【答案】33 【解析】解：(1) 四边形是矩形， = = 4.5， = 90， 经过的中点， = 2， 在 中，根据勾股定理得，2 2= 2， (2)2 2= 2， 32= 4.52， = 33 2 ， = 2 = 33， 故答案为：33； (2)如图，在 中，根据勾股定理得， = 2+ 2= 62+ (9 2) 2 = 15 2 ， 过点作 于， 平分， = ， 切 于， ()， = = 4.5，
17、 = = 3， 设 = ，则 = ， = = 6 ， 在 中，根据勾股定理得，2 2= 2， (6 )2 2= 32， = 9 4， 即的长为9 4 (1)先判断出 = 2，再利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论； (2)先判断出 = ， 再求出， 进而求出， 得出， 最后用勾股定理建立方程求解， 即可得出结论 此题主要考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用方程的思 第 16 页，共 20 页 想解决问题是解本题的关键 23.【答案】解：(1) (2,)在直线 = 上， = 2， (2,2)； (2)把、两点坐标代入抛物线解析式可得4 + 2 = 2 9
18、 4 + 3 2 = 0 ， 解得 = 2 = 3， 抛物线解析式为 = 22 3； (3)如图1， 过作/轴， 交轴于点， 交于点， 过作 于点， 点是抛物线上第四象限的点， 可设(,22 3)，则(,0)，(,)， = ， = 2 ， = (22 3) = 22+ 4， = + = 1 2 + 1 2 = 1 2(2 2 + 4)( + 2 ) = 22+ 4， 的面积为2， 22+ 4 = 2， 解得1= 2= 1， 当 = 1时，22 3 = 1； (1,1) 【解析】(1)将(2,)代入 = ，求出； (2)将与代入抛物线即可求函数解析式； (3)过作/轴，交轴于点，交于点，过作 于
19、点，设(,22 3)，则(,0)，(,)， 可求 = ， = 2 ， = (22 3) = 22+ 4，再由= + = 1 2 + 1 2 = 1 2(2 2 + 4)( + 2 ) = 22+ 4，并且 的面积为2，即可求出的值，进而确定点坐 标 本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，转化三角形面积求点的坐标 是解题的关键 24.【答案】解：(1)根据题意得： = (30 + 20)(230 10) = 102+ 130 + 2300， 自变量的取值范围是：0 10且为正整数； 第 17 页，共 20 页 (2)当 = 2520时，得102+ 130 + 230
20、0 = 2520， 解得1= 2，2= 11(不合题意，舍去) 当 = 2时，30 + = 32(元) 答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元 (3)根据题意得： = 102+ 130 + 2300 = 10( 6.5)2+ 2722.5， = 10 0， 当 = 6.5时，有最大值为2722.5， 0 10且为正整数， 当 = 6时，30 + = 36， = 2720(元)， 当 = 7时，30 + = 37， = 2720(元)， 答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元 【解析】(1)根据题意知一件玩具的利润为(30 + 2
21、0)元，月销售量为(230 10)，然后根据月销售利润 =一件玩具的利润月销售量即可求出函数关系式 (2)把 = 2520时代入 = 102+ 130 + 2300中，求出的值即可 (3)把 = 102+ 130 + 2300化成顶点式，求得当 = 6.5时，有最大值，再根据0 10且为正整 数，分别计算出当 = 6和 = 7时的值即可 本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用 到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程 25.【答案】(1)证明： 是 的切线， ， ， /， = ， = ， = ， = ，即平分； (2)解：连接， 设圆的半
22、径为， 第 18 页，共 20 页 在 中，2= 2+ 2，即( + 1)2= 2+ (3)2， 解得： = 1， = 2， = 30， = 90 30 = 60， = ， 为等边三角形， = = 1 【解析】(1)根据切线的性质得到 ，进而证明/，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得 出 = ，证明结论； (2)连接，根据勾股定理求出圆的半径，根据直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质解答即 可 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径 是解题的关键 26.【答案】解：(1)证明：把 = 代入 = 2+ ，得2+ = ， 整理，得2 (
23、 1) = 0 = ( 1)2 4 1 () = ( + 1)2 0， 方程必有实数根 抛物线与直线至少有一个公共点； (2)由(1)得方程2 ( 1) = 0 = ( 1) ( + 1)2 2 1 = ( 1) ( + 1) 2 1= ，2= 1， 当 = 时， = 0；当 = 1时， = 1 不妨设(,0)，(1,1 )， 线段上恰有2个纵坐标是整数的点 1 1 2或2 1 1， 解得3 2或0 1； (3) 直线向上平移 + 1个单位长度得直线 直线解析式为 = + 1， 抛物线的顶点在直线上 可设(, + 1) 第 19 页，共 20 页 抛物线解析式为 = ( )2+ + 1， 解方
24、程组 = ( ) 2 + + 1 = + 1 得1= ，2= 1 = ，= 1， = 1， = 1 由勾股定理，得 = 12+ 12= 2 如图，设直线分别交轴、轴于点、 则 = = 1 过点作 于点，过点作/轴，交直线 = + 1于点， = 1 2 = 2 2 = 1 2 = 1 2 2 2 2 = 1 2， 设点(,( )2+ + 1)，则点(, + 1) = ( )2+ + 1 ( + 1) = ( )2 ( )， 四边形= + = + + = 1 2 ( ) + 1 2 = 1 2 ( )2 ( ) 1 + 1 2 = 1 2 ( + 1 2) 2 + 5 8 当 = 1 2时，四边形面积的最大值为 5 8 【解析】(1)证明：把 = 代入 = 2+ ，得2+ = ，整理，得2 ( 1) = 0， = ( 1)2 4 1 () = ( + 1)2 0，即可求解； (2) = (;1)(:1)2 21 = (;1)(:1) 2 ，1= ，2= 1，当 = 时， = 0；当 = 1时， = 1 ，不妨 设(,0)，(1,1 )，即可求解； (3) = 1 2 = 2 2 ，四边形= + = + + ，即可求解 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，其中(3)，用拆分的方法求四边 第 20 页，共 20 页 形的面积，是此类题目的一般方法