1、6.16.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一课时第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础达标 一、选择题 1某同学从 4 本不同的科普杂志，3 本不同的文摘杂志，2 本不同的娱乐新闻杂 志中任选一本阅读，则不同的选法共有( ) A24 种 B9 种 C3 种 D26 种 解析 不同的杂志本数为 4329，从其中任选一本阅读，共有 9 种选法 答案 B 2已知 x2，3，7，y31，24，4，则(x，y)可表示不同的点的个数 是( ) A1 B3 C6 D9 解析 可分为两步完成：第一步，在集合2，3，7中任
2、取一个值 x 有 3 种方法； 第二步，在集合31，24，4中任取一个值 y 有 3 种方法根据分步乘法计 数原理知，有 339(个)不同的点 答案 D 3 某体育场南侧有 4 个大门， 北侧有 3 个大门， 小李到体育场看比赛， 则他进、 出门的方案有( ) A12 种 B7 种 C14 种 D49 种 解析 完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体 育场 第一步进门共有 437(种)方法， 第二步出门共有 437(种)方法 由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有 7749(种) 答案 D 45 名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不 同的报
3、名方法共有( ) A10 种 B20 种 C25 种 D32 种 解析 每位同学限报其中的一个小组，各有 2 种报名方法，根据分步乘法计数原 理，不同的报名方法共有 2532(种) 答案 D 5如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面 组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “平行线面组”的个数是( ) A60 B48 C36 D24 解析 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6636(个)， 另外含 4 个顶 点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6212(个)， 所以共有 3612 48(个) 答案 B 二、填空题 6
4、已知 a2， 4， 6， 8， b3， 5， 7， 9， 则能使 logab1 的对数值有_ 个 解析 分四类，当 a2 时，b 取 3，5，7，9 四种情况； 当 a4 时，b 取 5，7，9 三种情况； 当 a6 时，b 取 7，9 两种情况； 当 a8 时，b 取 9 一种情况， 所以总共有 432110 种，又 log23log49， 所以对数值有 9 个 答案 9 7 用0到9这十个数字， 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为_ 解析 由题意知本题是一个分类计数问题 若个位数字为 0，前两位的排法种数为 9872； 若个位数字不为 0，则确定个位数字有 4 种方法， 确定百位数字有
5、 8 种方法，确定十位数字有 8 种方法， 所以排法种数为 488256. 所以可以组成 25672328(个)没有重复数字的三位偶数 答案 328 8 如图所示， 在 A， B 间有四个焊接点， 若焊接点脱落， 则可能导致电路不通 今 发现 A，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种 解析 按照焊接点脱落的个数进行分类： 第 1 类，脱落 1 个，有 1，4，共 2 种； 第 2 类，脱落 2 个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共 6 种； 第 3 类，脱落 3 个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共 4
6、种； 第 4 类，脱落 4 个，有(1，2，3，4)，共 1 种 根据分类加法计数原理，共有 264113(种)焊接点脱落的情况 答案 13 三、解答题 9用 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比 其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数 解 分三类： 第一类，千位数字为 3 时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有 3 210，共 1 个； 第二类，千位数字为 4 时，“渐降数”有 4 321，4 320，4 310，4 210，共 4 个； 第三类，千位数字为 5 时，“渐降数”有 5 432，5 431，5 430，5 42
7、1，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共 10 个 由分类加法计数原理，得共有 141015 个“渐降数” 10王华同学有课外参考书若干本，其中有 5 本不同的外语书，4 本不同的数学 书，3 本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读 (1)若他从这些参考书中带 1 本去图书馆，则有多少种不同的带法？ (2)若带外语、数学、物理参考书各 1 本，则有多少种不同的带法？ (3)若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的 带法？ 解 (1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都 已完成 ，从而确定应用分类加法
8、计数原理，共有 54312(种)不同的带法 (2)完成的事情是带 3 本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选 1 本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，共有 54360(种)不 同的带法 (3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步乘法计数原理，有 5420 种选法； 同样，选外语书、物理书各 1 本，有 5315 种选法；选数学书、物理书各 1 本，有 4312 种选法即有三类情况，应用分类加法计数原理，共有 2015 1247(种)不同的带法 能力提升 11如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边 的三角形有_个 解析 满足条件的有两类：
9、 第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有 m18(个)； 第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有 m28432(个)， 所以满足条件的三角形共有 83240(个) 答案 40 12已知集合 A2，4，6，8，10，B1，3，5，7，9，在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2) 其中所取两数满足 mn 的数对有多少个？ 解 (1)集合 A2，4，6，8，10，B1，3，5，7，9，在 A 中任取一元 素 m 和在 B 中任取一元素 n，组成数对(m，n)，先选出 m 有 5 种结果，再选出 n 有 5 种结果，根据分步乘法
10、计数原理知共有 5525(个)不同的数对 (2)在(1)中的 25 个数对中所取两数满足 mn 的数对可以分类来解， 当 m2 时， n1，有 1 种结果；当 m4 时，n1，3 有 2 种结果；当 m6 时，n1，3， 5 有 3 种结果；当 m8 时，n1，3，5，7 有 4 种结果；当 m10 时，n1，3， 5，7，9 有 5 种结果综上所述共有 1234515(个)不同的数对 创新猜想 13(多空题)在如图 1 的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有_ 种不同的方法；在如图 2 的电路中，合上两个开关可以接通电路，有_ 种不同的方法 解析 对于图 1，按要求接通电路，只要在 A 中
11、的两个开关或 B 中的三个开关中 合上一个即可，故有 235(种)不同的方法 对于图 2，按要求接通电路必须分两步进行： 第一步，合上 A 中的一个开关； 第二步，合上 B 中的一个开关， 故有 236(种)不同的方法 答案 5 6 14(多空题)一个科技小组中有 4 名女同学、5 名男同学，从中任选 1 名同学参 加学科竞赛，共有不同的选派方法_种；若从中任选 1 名女同学和 1 名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_种 解析 根据分类加法计数原理， 从中任选1名同学参加学科竞赛共有549(种) 选派方法根据分步乘法计数原理，从中任选 1 名女同学和 1 名男同学参加学科 竞赛共有 4520(种)选派方法 答案 9 20