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【人教版】数学九年级下:26.1.2.2反比例函数的图象和性质的的综合运用ppt课件

1、26.1.2 反比例函数的图象和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用,第二十六章 反比例函数,学习目标,1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义,并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化,学习数形结合的思想方法,进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点),导入新课,反比例函数的图象是什么?,反比例函数的性质与 k 有怎样的关系?,反比例函数的图象是双曲线,当 k 0 时,两条曲线分别位于第一、三象限,在

2、每个象限内,y 随 x 的增大而减小;,当 k 0 时,两条曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.,复习引入,问题1,问题2,典例精析,例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2,6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如何变化?,解:因为点 A (2,6) 在第一象限,所以这个函数的图象位于第一、三象限;在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.,(2) 点B(3,4),C( , ),D(2,5)是否在这个 函数的图象上?,解:设这个反比例函数的解析式为 ,因为点 A (2,6)在其图象上,所以有 ,解得 k =12.,因为点 B,C 的坐标

3、都满足该解析式,而点 D的坐标不满足,所以点 B,C 在这个函数的图象上,点 D 不在这个函数的图象上.,所以反比例函数的解析式为 .,练一练,已知反比例函数 的图象经过点 A (2,3)(1) 求这个函数的表达式;,解: 反比例函数 的图象经过点 A(2,3), 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,,解得 k = 6. 这个函数的表达式为 .,(2) 判断点 B (1,6),C(3,2) 是否在这个函数的图象上,并说明理由;,解:分别把点 B,C 的坐标代入反比例函数的解析 式,因为点 B 的坐标不满足该解析式,点 C的坐标满足该解析式,所以点 B 不在该函数的图象上,点 C 在该函数的图象上

4、,(3) 当 3 x 0, 当 x 0 时,y 随 x 的增大而减小, 当 3 x 1 时,6 y 2.,(1) 图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围是什么?,例2 如图,是反比例函数 图象的一支. 根据图象,回答下列问题:,解:因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限,所以另一支必位于第三象限.,由因为这个函数图象位于第一、 三象限,所以m50, 解得m5.,(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和点B (x2,y2). 如果x1x2,那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系?,解:因为 m5 0,所以在这个函数图象的任一支上,y 都随 x 的增大而减小,因此当

5、x1x2时,y1y2.,练一练,如图,是反比例函数 的图象,则 k 的值可以是 ( ),A1 B3 C1 D0,B,1. 在反比例函数 的图象上分别取点P,Q 向 x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形,填写下页表格:,合作探究,5,P,S1,S2,4,4,S1=S2,S1=S2=k,5,4,3,2,1,4,3,2,3,2,4,5,1,Q,2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P,Q 两点,填写表格:,4,4,S1=S2,S1=S2=k,S1,S2,由前面的探究过程,可以猜想:,若点P是 图象上的任意一点,作 PA 垂直于 x 轴,作 PB 垂直于 y 轴,矩形 AOBP

6、 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|.,S,我们就 k 0,b 0的情况.,点 Q 是其图象上的任意一点,作 QA 垂直于 y 轴,作QB 垂直于x 轴,矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= .推理:QAO与QBO的面积和 k 的关系是SQAO=SQBO= .,Q,对于反比例函数 ,,A,B,|k|,归纳:,反比例函数的面积不变性,A. SA SBSC B. SASBSC C. SA =SB=SC D. SASC0) 图像上的任意两点, PA,CD 垂直于 x 轴. 设 POA 的面积为 S1,则 S1 =;梯形CEAD 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小关系是

7、 S1 S2;POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S2 S3.,2,S1,S2,S3,如图所示,直线与双曲线交于 A,B 两点,P 是AB 上的点, AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .,S1 = S2 S3,练一练,解析:由反比例函数面积的不变 性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一 支交于点 F,连接 OF,易知, SOFE = S1 = S2,而 S3SOFE, 所以 S1,S2,S3的大小关系为 S1 = S2 0 b 0,k1 0,k2 0 b 0,合作探究,k2 0 b 0,k1 0,例6 函数 y=kxk 与 的

8、图象大致是 ( ),D.,x,y,O,y,y,x,B.,x,y,O,D,O,O,k0,k0,k0,k0,由一次函数增减性得k0,由一次函数与y轴交点知k0, 则k0,x,在同一直角坐标系中,函数 与 y = ax+1 (a0) 的图象可能是 ( ),B,练一练,例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象,观察图象,当 y1y2 时,x 的取值范围为 .,23,解析:y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图,可知23.,方法总结:对于一些题目,借助函数图象比较大小更加简洁明了.,练一练,如图,一次函数 y1= k1x + b (k10) 的图象与反比例函数

9、的图象交于 A,B 两点,观察图象,当 y1y2时,x 的取值范围是 ,A,B,12,例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (3,4).试求出它们的解析式,并画出图象.,由于这两个函数的图象交于点 P (3,4),则点 P (3,4) 是这两个函数图象上的点, 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.,解:设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 .,所以 , .,解得 , .,P,则这两个函数的解析式分别为 和 , 它们的图象如图所示.,这两个图象有何共同特点?你能求出另外一个交点的坐标吗?说说你发现了什么?,想一想:,反比例函数 的图象与正比例函数 y =

10、3x 的图象的交点坐标为 ,(2,6),(2,6),解析:联立两个函数解析式,解方程即可.,练一练,例9 已知 A(4, ),B(1,2)是一次函数 y= kx+b与反比例函数 图象的两个交点,求一次函数 解析式及 m 的值.,解:把A(4, ),B(1,2)代入 y = kx + b中,得,4k + b = ,,k + b =2,,所以一次函数的解析式为 y = x + .,把 B (1,2)代入 中,得 m =12=2.,当堂练习,A. 4 B. 2 C. 2 D.不确定,1. 如图所示, P 是反比例函数 的图象上一点,过点 P 作 PB x 轴于点 B,点 A 在 y 轴上,ABP 的

11、面积为 2,则 k 的值为 ( ),O,B,A,P,x,y,A,2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1,k),则反比例函数的解析式是_,3. 如图,直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x0)交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式k1x +b 的解集是_,1x5,4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2,4).(1) 求 k 的值;,解: 反比例函数 的图象经过点 A(2,4), 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,,解得 k = 8.,(2) 这个函数的图象分布在哪些象限?y 随 x 的增大如何变化?,解:这个函数的图象位于第二、四象限

12、,在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大.,(3) 画出该函数的图象;,解:如图所示:,(4) 点 B (1,8) ,C (3,5)是否在该函数的图象上?,因为点 B 的坐标满足该解析式,而点 C 的坐标 不满足该解析式, 所以点 B 在该函数的图象上,点 C 不在该函数 的图象上.,解:该反比例函数的解析式为 .,5. 如图,直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点A(1,2),B(m,4)两点,(1) 求直线与双曲线的解析式;,所以一次函数的解析式为 y = 4x2.,把A,B两点坐标代入一次函数解析式中,得到a =4,b =2.,解:把 B(1,2)代入双曲线解析式中,得 k = 2

13、,故其解析式为 . 当y =4时,m= .,(2) 求不等式 ax + b 的解集.,6. 如图,反比例函数 与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A,B 两点.(1) 求 A,B 两点的坐标;,解:,解得,所以A(2,4),B(4,2).,或,作ACx轴于C,BDx轴于D, 则AC=4,BD=2.,(2) 求AOB的面积.,解:一次函数与x轴的交点为M (2,0),OM=2.,M,C,D,SOMB=OMBD2=222=2,,SOMA=OMAC2=242=4,,SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.,课堂小结,面积问题,面积不变性,与一次函数的综合,判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象,要对系数进行分类讨论,并注意b 的正负,反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形,其与正比例函数的交点关于原点中心对称,反比例函数图象和性质的综合运用,